книги / Применение метода конечных элементов
..pdfтак как вдоль рассматриваемой границы Li = 0. Теперь для тепло вого потока получаем следующее выражение:
(17.26)
Фиг. 17.1. Поток тепла на границе элемента.
Подстановка (17.26) в (17.22) дает
j [W]r |
-fj- d°z=h J [Л^]7' [W] {Ф} <№— j IN]T |
(17.27) |
|
26 |
26 |
26 |
|
где N =[0 L2 L3]. В ы п о л н я я |
интегрирование в (17.27) с |
помощью |
|
плоских L-координат, приходим к результатам, идентичным тем, |
|||
что получены в гл. 8. |
|
|
|
Использование метода |
Галёркина непосредственно |
приводит |
|
к слагаемым, |
которые в |
вариационной формулировке |
должны |
быть добавлены к функционалу, чтобы учесть граничные условия. Метод Галёркина применяется также при решении двумерных и трехмерных задач теории упругости [5]. В результате получается система уравнений, подобная той, которая соответствует вариаци онной формулировке этих задач.
17.4. Задача Коши
Метод Галёркина может быть использован при решении зада чи Коши, а также при решении переходной задачи, обсуждавшей ся в гл. 11. В этом разделе будет рассмотрена задача Коши для одного дифференциального уравнения, а затем проведено обобще ние на случай системы дифференциальных уравнений первого по рядка.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
^ г + 4 у = 0 |
(17.28) |
с начальными условиями у(0 )= 0 и у '(0 )= 4 . Это |
уравнение име |
ет очевидное решение |
|
y = 4s\n2t. |
|
Приближенное решение этого уравнения можно получить числен но. Чтобы проиллюстрировать применение метода Галёркина, ис пользуем именно этот способ.
Подставляя (17.28) в (17.1), получаем |
|
t |
|
j W (чрг + *у) dt= ° - |
07.29) |
о |
|
Мы уже указывали на необходимость разбиения интеграла на сумму и преобразования интеграла, содержащего производную высокого порядка, в интеграл от первой производной. Подобное преобразование уже рассматривалось по отношению к dzy/dxz. Учитывая формулу (17.9), получаем
W ! ? - < # = № |
- J |
1 - « , |
где Те— шаг по времени (длина) отдельного элемента. Уравнение (17.29) может быть записано теперь в виде
|
7 -4 " /=0 |
£ |
% |
- 4 [ № ‘Г |
y ) d t = 0 , (17.30) |
|
e=i |
rt |
|
|
|
|
|
|
|
||
где Ti |
и Tj — значения времени, соответствующие узлам i и / эле |
||||
мента, a R — число элементов. |
|
|
|||
Применение формулы (17.30) будет проиллюстрировано с по |
|||||
мощью |
линейного интерполяционного |
полинома |
для у: |
обходимость; могут варьироваться и функции формы, входящие в [ЛДе)]. В случае большой величины шага по времени можно ис пользовать элементы высокого порядка.
Изменение шага по времени вызовет модификацию системы уравнений (17.35). Эта модификация будет выражаться в появле нии более одной пары рекуррентных соотношений типа (17.36). Некоторые из этих соотношений будут включать как новые, так и старые приращения времени.
Если вместо линейного интерполирования (17.31) применить функции формы для квадратичного элемента, вместо двух будут получены три уравнения. Первые два уравнения используются для определения У2 и Уз. Третье соотношение рекуррентное, оно выра жает последовательно одно из узловых значений через три пре дыдущих:
Такая ситуация всегда возникает при решении задачи Коши с по мощью метода Галёркина; всегда имеется достаточное число урав нений, чтобы можно было вычислить значения У, требуемые для проведения вычислений по рекуррентным формулам.
17.5. Система дифференциальных уравнений первого порядка
Система дифференциальных уравнений первого порядка вида
[ С ] 4 { ф } + [^П ф ) + И = о |
(17.37) |
обсуждалась в гл. 11, где было дано конечно-разностное решение этих уравнений. Теперь решим эту систему методом Галёркина. В результате для вычисления значений {Ф} получим матричное уравнение, которое несколько отличается от уравнения (11.23).
Используя для интегрирования неизвестной величины ф линей ную модель, можно записать
Фр) =Ы^Фи + |
|
ф р = № ? Ф и +№ *Ф 2}, |
(17.38) |
Ф<«)=ЛГМФ„+ т е)фг.г
где индексы i и / используются для обозначения двух узловых зна чений, разделенных во времени на величину шага длины Те, а г обозначает общее число узлов. Соотношение (17.38) в матричном виде имеет вид
Здесь {Ф }— матрица размера n X l, а ЛД*> и N<г)— функции фор
мы. Подстановка выражения (17.39) в (17.1) дает два матричных уравнения:
те |
+[7С1{Ф) 4{ F ) y t = 0 |
|
||
Jл Ц [ С ] - ^ } |
(17.40а) |
|||
* е |
|
|
|
|
J Nj ([С] - 4 М |
+ 1К\ {Ф} 4- [F)) d t = 0. |
(17.406) |
||
Дифференцируя по времени соотношение (17.39), получаем |
||||
{Ф}. _ |
|
(ф). |
(фЬ. |
(17.41) |
Подставляя (17.41) и (17.38) в (17.40а) и выполняя интегриро вание, имеем
- 4 - 1C] ({Ф },-{Ф Ь )+ -£ -[* ](2 (Ф},+ (ФЬ) + 4 ‘ {^ h = °- |
(17.42) |
Преобразуя точно так же уравнение (17.406), получаем |
|
- 4 - 1C] ((Ф Ь- (ФЬ) + - £ - № «Ф }|+ 2 (ФЬ) + 4 -{^ Ь = 0 . |
(17.43) |
Последние два уравнения могут быть объединены в одно: |
|
(-4 ic ]+ -^ !*j)(4 -[c i+ -£ -ro ) (I®},) |
1|(f|,| |
||
( — g - L C l H — |
[ / С ] ) ^ 4 _ [ С ] + - ^ |
[ / С ] ) |
2 ( И Л |
Это уравнение для элемента, |
соответствующее одному шагу |
по времени. Для получения системы уравнений, определяющей значения {Ф}ь {ФЬ и {Ф}з, ...» оно должно быть объединено с аналогичными уравнениями для соседних временных шагов. Пусть всем элементам соответствуют одни и те же приращения времени; объединяя уравнения для первых двух шагов по времени, по-
УЧЕБНЫЕ ПРОГРАММЫ
Во всех предыдущих главах подчеркивалась необходимость машинной реализации метода конечных элементов. Очевидно, что метод конечных элементов не пригоден для проведения расчетов вручную. В этой главе будут рассмотрены некоторые программы, которыми следует пользоваться при изучении материала, пред ставленного в гл. 2, 6 и 8— 12. Настоящая глава не должна рас сматриваться как последняя глава этой книги. Изложенный здесь материал нужно использовать в качестве приложения при обсуж дении конкретных применений метода конечных элементов.
Программы, приведенные в этой главе, далеки от тех сложных программ, которые могут решать самые различные задачи. Они не предназначены для того, чтобы конкурировать с имеющимися стандартными программами. Эти программы преследуют только учебные цели. Такие несложные программы весьма желательны с учебной точки зрения, так как они сокращают до минимума класс ное время, требуемое для объяснения ее работы. Перечислим не которые характерные особенности, которые приводят к упрощени ям в программе:
1.Используются элементы только одного типа — линейные треугольники.
2.При разбиении области на элементы характеристики мате риала каждого элемента предполагаются одинаковыми.
3. Главные оси инерции параллельны координатным осям
х, у.
4. Каждая программа решает только однотипные задачи, на пример задачу о кручении упругого стержня, двумерный случай переноса тепла, двумерные течения жидкости или двумерные за дачи теории упругости.
5.Редко встречающиеся варианты счета исключаются.
6.Программы мало отличаются между собой в отношении тре буемых исходных данных и организации их ввода.
Даже в том случае, когда разнообразие вариантов счета в программе сведено к минимуму, методика программирования включает такие характеристики, которые делают эффективным ис пользование этих вариантов. Все коэффициенты системы уравне ний [К]!{Ф} = {Г} хранятся в машинной памяти в виде отдельного вектор-столбца. Такой способ исключает необходимость заранее проставлять размеры отдельных компонент [К], {Ф} и {F} и зна