Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

15.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 4241 42 > Следующая >>>

4*_	, Г йх_Г <1у

хУ(1 — У*) ’ 3 * ~ .)

Вычислим интеграл в правой части

С	й у	<- Уг+ уг	+	Г У&У _
)	У(1 - У 2)	у0 - у 2) <*У	+	3 (* — у*) —
		1н У — \ 1п (1 — уг) +	1п Сд.

Отсюда для первого уравнения

1п х = 1п у — 1п (1 — I/*) + 1пС,

и, потенцируя, имеем

хУТ^Гуг п

— :----- в Ь 1<

Теперь приступаем к интегрированию второго уравнения, при соединив к его правой части дробь ~ из системы (А)

Ау __		Аг я
у О — <Г*)		У(а — У*)'
	уА2 — гйу
ау2— уг — уг + уг
уАг — гАу		Ах%
	и 2
а	г	х ;

гйу уАг_____ йх я 02(1 — У2) * у2(а — уг) Т *

_	Ах л	уАг — гАу	Ахя
“	х •	ау2— уг “	ж*
			Ах
			х *

Интегрирование этого уравнения дает:
' " ( у - 0 ) = — 1п * +				1пС2,
откуда		г
*(г — ау)		г
	У	“	2’
Подобным же образом для третьего уравнения получим
х ( и — Ьу)		„
	и	—
и общий интеграл напишется так:
___ [ \* V 1 — У2	* (* — ау)			х{и — 6у)1
У	’	У	'	у	]*

Правило для интегрирования линейных уравнений

общего вида с частными производными		первого порядка
Это уравнение имеет вид
		(18,19)
где г — неизвестная функция	от хи хг, . . . ,	хп, а Х2, Х2, . . . , Х„,
2 — данные функции от хи	х2, . . . , хп, г.	От уравнения (18,13)

оно отличается тем, что его правая часть не нуль, а функция не* зависимых переменных и искомой функции г.

Правила интегрирования. Для интегрирования уравнения (18,19) следует написать соответствующую ему систему обыкновенных урав нений

йхх _ Лг\|	4*п _	(18.20)
~ хя		(18.20)

Проинтегрировав эту систему и разрешив ее интегралы отно сительно произвольных постоянных, получаем п различных интег ралов

УI (*1 > хг.

хп, 2) = СЛ>= 1 . 2 . 3,

л). ( 18.21)

Общий интеграл уравнения (18,19) есть неявная функция г и запи

сывается так:

УУи и и иа) = 0 ( 18,22)

где У — произвольная функция.

Произвольную функцию, входящую в общее решение, можно найти, если известно, что определяемая ею поверхность проходит через заданную линию (18,18). Эту поверхность находят описанным выше способом.

Задача 18,5. Проинтегрировать уравнение

„ д г , - д г	.
а Тх + Ь Т у=	1

и найти произвольную функцию из условия, что интегральная по верхность проходит через эллипс

Xа	(А)
т*

Р е ш е н и е . Система (18,20) обыкновенных уравнений, соответ ствующая этому уравнению, будет выглядеть так:

йх _ йу __ йг

а ~ Ь ~ 1 '

Выделяем уравнения у — у и у — у - Интегрируя, получаем

йх — айг;	х =■* аг +	Сх; х — аг—	(В)
йу *= Ьйг;	у «= Ьг +	Сг;у — Ьг Сг.	(С)

Согласно изложенной теории на основании (18,21) общее реше

ние имеет вид

V (х — аг, у — Ьг) =—0.

Сличая с формулой (18,5), заключаем, что полученное общее ре шение есть уравнение цилиндрических поверхностей.

Разрешим общее решение относительно искомой функции г

х — аг = / (у — Ьг);

г = ~ ~ ~ И у ~ Ь г ) .

Теперь найдем вид произвольной функции /, исходя пз условий задачи. Исключая для этого х, у и г из уравнений (А), (В) и (С) и найдем соотношение между Сх и С2

заменяя Сх и Сг их значениями	из (В) и (С), получаем
(дс —аг)> ,	(у — Ьг)* _ .
т а	п*

Это уравнение определяет эллиптический цилиндр. Задача 18,6. Найти общее решение уравнения

ди , ,ди

ди

„ _

а7Гх + ЬТу=" Сд^ = ХУ2’

Ре ш е н и е . Система обыкновенных уравнений, соответствующая данному, запишется так:

Лх	__ Лу __ Лг __				Ли
а	~		Ь	с ~~ хуг *
Выделим из этой системы		три		таких	уравнения:
<и __ Лц		в	Лх	Лг # Лх Ли_
а ~~ Ь		'	а	с * а	хуг *

Первые два из них дают возможность найти два первых интеграла

айу = Ьйх,

или

айу — Ьйх — 0. После интегрирования получим

ау — Ьх = Си

или

Сх -{■Ьх

У = -* -1----«

* а

Точно так же второе уравнение после интегрирования даст

аг — сх а. Сг,

или

г = С» + сх

Подставим полученные значения у и г в третье уравнение

ёх __ ёи

а~~ х у г *

что даст

Лх	а Ч и
о	(С1 + Ьх) (Са + сх) х 9
ИЛИ		сх) йх,
сРйи — х (С, + Ьх) (Сг +		сх) йх,
откуда, интегрируя, получаем
аы • СХС%	+ (ЬСг + сС,)	4"	+ Сг,

а, заменяя С, и С, их значениями, будем иметь о*ы = (ау— Ьх) (аг — сх)^ + [Ь (аг — сх) + с(ау —Ьх)) у +

+ Ьс^ ■+ С9,

или после упрощений

а'и — а3уг ~ — а(Ьг + су)-^ + Ьс^ + С,,

откуда

а*и — а*уг ^ + а(Ьг + су)^ — Ьс^ = Ся.

Общий интеграл запишется так:

V (а3и — а*уг^ + а(Ьг + с у ) ^ — Ь с а у — Ьх, аг — сх) = О,

или
а*и — а3угу	+ а(Ьг + су)-5- — Ьс^				=»?{ау —Ьх, аг—сх).
Задача 18,7.	Проинтегрировать уравнение
	„ дг	,	дг		ахг•
	У - З к	+	х У Т у	=	ахг•
Р е ш е н и е . Составляем систему				(18,20)		обыкновенных диффе
ренциальных уравнений, соответствующую						заданному
		ё х	__ ё у _		ё г
		у*	~~ х у	а хг •

Выделяем уравнения ^ = % и ^

хйх — уйу — О

Лу __ ёг

у~аг>

аинтегрируя, находим первые интегралы

Т2 т

или

х * - у ‘ = С1

1п у —— 1п г — - 1пС»,
а	а *

откуда

\п у - ± \п * - .

или

9 “ V гг : уа = с ; ; у5 = С г *

Общий интеграл будет выглядеть так:

откуда

р = /(* 4- 0г),

или

г = у>Ч(х2-!?)-

Задача 18,7. Найти общий интеграл уравнения

д г	,	д г	1
сЯс	‘	У д у	Н у '

Р е ш е н и е . Предложенное уравнение является линейным. Соот* ветствующая ему система (18,20) обыкновенных уравнений

йх __ й у _ йг

х 7 “ I

*У

или

ч - ч - * * -

Умножая на ху, запишем нашу систему в виде

уйх * хйу •« хгугйг\

а так	как
	уйх + хйу = й (ху),
можем	переписать,
	й(ху)	= аг,
	2х * у »	= аг,

или

1 . < Ц х у ) = йг.

(ху)1

Таким образом, мы получили два уравнения:

I Л(ху) _

ху И 2 (лй*~“2-

Интегрируем первое из них:

1п дг = 1п</ — 1пС,,

или

			-2 . _	с
т. е.			с,
т. е.			У. — С
			У. — С
Интегрирование	второго дает
	~ 2^ = г — С2;			г + ^	= С2,
а общий интеграл его		имеет	вид
					О
или
и окончательно
Задача 18,8.	Найти	общий интеграл			уравнения
		д г	д г	,
		У Г х - х Г у = х + У -
Р е ш е н и е .	Предложенное уравнение				является линейным. Си

стема (18,20) обыкновенных уравнений, которая ему соответствует, запишется так:

А х_ 4 у _ йг

Т ~ ~

^ ~ х +

у '

О х	й и	й х — й и	Л г
У	•*	х+ у	* + у

или

<Хх — <1у~ <Хг.

Интегрируем первое из них:

— хЛх — у<Ху,

т.	е.	хЛх +	уАу =	О,
откуда
		С л- С - с‘

т.	е.	Т +	Т ~ Т '

	Интегрируя же второе, будем иметь
	(Хх — (Ху = йг\ й{х — у) = <1г\
или		X— у = г + С2
		х — у	— г = С2.
Общий интеграл

	У(1 2 + <Д х — у — г) = О,
откуда
т,	X —	У — 2 = <р(х» +			у»),
	е.	х — у — <р (х* +			у1),
а	г =
	полагая
	— <Р ( * г + У2) — Д * * +				У*),
общее решение получим		в виде
	г -	* — у +		+
	Задача 18,9. Найти общий интеграл уравнения
	510*1 +		С 0 5 * !		1.
	Р е ш е н и е . Это уравнение		также	является линейным неодно

родным уравнением, и система (18,20) обыкновенных уравнений, ему соответствующая, будет такой:

йх	йг
5Ш х	СО$ * Т 1

откуда 1) ^ = ^

или ~^х йх = йу и 2) ^ = ^ .

Интегрируем первое иэ них:
1П 51П* =					у — Сх
или
у — 1п 51П х = Сг.
Интегрирование же второго уравнения дает
				=» г — С2
или
г — 1п					-у — С2.
общий интеграл
]/{г — 1п		,		у — 1п 51пд:] — О,
т. е.
г — 1п 1§-^ =					ч{у — 1п $\пх),
или
г = 1п Ц - \| +				<р(у — 1п $ т х).
Задача 18,10 (для самостоятельного решения). Найти общий
интеграл уравнения
Г»дг				Vя- ’,.*
*	Т х ~ х				УТу = 2‘
О т в е т .
V (ге(л- 1>**	ху) =			0; ге(л-1>*п = <р (ху).
Задача 18,11 (для самостоятельного решения). Найти общий
интеграл уравнения
у	дг	,		х	дг
Я Тх + & Щ ,~хУг'
О т в е т . Общий интеграл		уравнения
V [е(1~> х • г,	(х - 1 ) е х-(у -1 )е У )-;0 ,
откуда
е<1-) «г =	ф [(* — 1) е* — (у — 1) е«\
или
г а е*-1) «~х . «рЦж— 1)е — (у— 1)е»0.
Задача 18,12. Найти общий интеграл уравнения
>ди	,	. л	ди			ди
2	I	9	и и		. ^9
2	I				. ^9

или, решая относительно ие1, имеем

Задача 18,13. Определить общий интеграл уравнения

Р е ш е н и е . Система (18,20) обыкновенных уравнений, соответ ствующая этому линейному неоднородному уравнению, будет запи сана так:

ёх __ ё у __

ёг

у ~ \П?Т7*'

Из нее выделим два уравнения

ё х __ ё ^	ё х ______ ёг
“ у	Ух* + у*

Интегрируем первое,

1пж = 1п гг — 1п С|

или

ут. е,• 4г — Сг.

Спомощью полученного решения проинтегрируем второе урав

нение

ёх ______ ёг

х~ У ^ Т у *

которое преобразуем так:

—X	= .	ёх
		У*'
	х

Заменим в нем ^ на С». Сокращаем еще на :

ёг

йх

УТТс*

х = ■

; + С2

или, подставляя С1 — ~ , найдем

= С*

У ^ Г "

а отсюда

У * Т Ъ ~ Сг‘

Теперь общий интеграл запишется так:

у*

ИЛИ

х У х%+ уг — хг = У х%-(- уг <р

Обозначая

имеем окончательно

у хг + уг = 2 + / Ч .

Задача 18,14 (для самостоятельного решения). Найти общие интегралы уравнений

,.	дг ,	дг
	У Тх + Х Ту = *
а>	дг	о дг	«
2 ) Х У Т х ~ У г Ту = Х \
3) ху% + *% = 2У
4)	х Тх + У% = хУ + 2'
	дг	дг
5>	х Тх-УГу = х ~У-
О т в е т .	г = (х + у)1(хг — уг)‘,
1)	г = (х + у)1(хг — уг)‘,
2)	2 = ^	+ ^	( хУУ*
3)	г = хЧ(х-уу,
4)	г = ху + х!		;
5)	г = х + у + [ (ху).

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 4241 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги