Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

15.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 4236 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

а используя равенства (А) и (В), имеем доказываемое равенство

О Д Н + « * + -М * М			М * («
<*>		(5)
Учитывая, что вектор
ЛГ	Я / Т . д и - . ди -Г
^ ^	= 1 7 *	+ ~^1 + ИГк-
а вектор
8гаЛ У - % 1 + % ] + % * ,
для их скалярного произведения получаем
пт»лп „Г*л\г	ди	, м дV . ди дУ
ега(К/ • §гас1 V = -$-		ж + т- т- + .§ г - - .

Поэтому формула (С) может быть записана так:

Щ	УЬУ йх +		Щ	(§габ V • егаб V) йх = ГГЦ -Цра5.
(О			<«)	(5)
Задача	15,8	(для	самостоятельного решения). Основываясь			на
результате, полученном в предыдущей задаче, доказать, что
ОД«''+ОДШ+№П(•)					-Я
				(О	«%*■
				(О
У к а з а н и е .		В формуле (С) предыдущей.задачи взять V =				(Л
Задача	15,9 (для самостоятельного решения). Из формулы пре
дыдущей задачи, считая,				что V — гармоническая	функция, полу
чить формулу

О Д № * Ы * П *<5)-М *

(в гидродинамике эта формула используется при вычислении кине тической энергии в безвихревом движении жидкости).

Задача 15, 10. Исходя из результата задачи (15, 7), вывести первую формулу Грина

ЯЯ(МУ' - ш,>=Я(0^ - 1'19'й					<\|5'«
<*>				(5)
л	Оку	и	V г	вычисляются по внешней нормали	к по
(производные		и		вычисляются по внешней нормали	к по

верхности $ )•

Р е ш е н и е . В указанной задаче была* получена формула

УЬУдх +	^	(§гас11) • §габ 10 <1х=	^ ( V	а$.	(А)
Поменяем в этой формуле местами функции			V и V:
\| \| \| УШ й* +	Л \|	(§га<1 V • егас1У) 4т =	V	4з.	(В)
*	<т)		'(5 \|

Вычтем из равенства (А) равенство (В), учитывая, что скаляр ное произведение

§габ У • @гас! V = дгаб V • §габ У,

и получим первую формулу Грина:

Д О № » ■ ' -		^	~	Я	( у - ж - -	^ $	* .	/
(т)				(5,
Подчеркиваем,	что	эта формула			имеет место для		функций У
и V, непрерывных	вместе		с их	производными		первого		и второго
порядка в области т,		ограниченной поверхностью					5.	Стоящие

в правой части формулы производные^- и -^-берутся по направ

лению внешней нормали к поверхности 5. Формулу Грина можно записать в удобном для запоминания виде:

		6/	V		и	V	\|
	ДУ ДV				оп	дп	\|
Задача	15, 1 1 . Применить первую				формулу		Грина
	Ш ( Ь 'А * ' — »,А У > Л -			Я	(«• ж	- -	^	) *
	<4			(5)
к функции	У =» у ,	где	г — расстояние			от	постоянной точки
А (а, Ь, с) области т до		переменной		в этой		области		точки Р(х,у, г).
Р е ш е н и е . Расстояние

/•= У(х — а)г +(у —Ь)2 + (г — с)г.

Функция Г/ будет непрерывной функцией со своими частными про

изводными	во	всех	точках области	т за исключением точки А,
где г = 0.	В этой точке сама функция			У = ~ и ее производные
претерпевают		разрыв	непрерывности.

она непрерывна, вместе со своими частными производными до второго порядка включительно. Значит, в нашем случае эта функ

ция	будет	гармонической во	всей области	т	за исключением
точки	А.				точки А радиу
Выделим		из объема т сферу	о, описанную	из	точки А радиу

сом р, таким, что о и т не имеют общих точек. Часть области т,


полученную после этого выделения, назовем					х,, причем		в области
т1 функция I/ =		будет гармонической,		а	потому	в	ней ДК =
= Д ("Т") ~ 0- По		формуле Грина	(15,1)	для тройного			интеграла,
распространенного		на область	учитывая,		что II =	—	и в обла-
сти	Д(У = 0, будем иметь

причем во втором интеграле правой части производные

<э(—| берутся по внутренней нормали к поверхности о.

д п 1

Рассмотрим предельное значение равенства (А), когда радиус р сферы о стремится к нулю. В этом случае область -с, будет стре миться к области х и тройной интеграл левой части равенства (А) будет стремиться к тройному интегралу, распространенному на область т

к <»>

<<>

Первый интеграл в правой части равенства (А) распространен на поверхность 5, от р не зависит, поэтому при р -*-0 сохранит зна чение, которое имеет в равенстве (А). Остается рассмотреть пре дел второго интеграла правой части равенства (А) при р -*■ 0.

»Т, 12 И. А. Каплая	353

Определим сначала первый предел в правой части этого равен»

ства. На

поверхности сферы о

г =

р, поэтому ~

— . Обозначим

через

д У \

д У

точке

значение производной

некоторой

<2 на

сфере

о.

'Ьм'да,

используя теорему

о среднем,

получаем

Л _ “ 2 ( М - а Ш Я ’ Ь

(О)

<«>

(т (-Иг)»- М

= 4” (Ю< ■ |й р -

(учтено,

что

Л/*

сфе

] ]

йч —>4яр2, т. е. равен площади поверхности

ры в).

Что касается второго предела в

правой части

равенства (В), то

прежде

чем

его вычислять, учтем, что

нормаль

к сфере о и ее

радиус совпадают, но направление

нормали

противоположно

на

правлению радиуса-вектора р точек поверхности сферы. Поэтому вычисление производной по нормали пх можно заменить вычисле нием производной по р, но тогда

д п ,

др

р5”

(С )

Если теперь обозначить через (У)е, значение функции V в не которой точке <2, сферы о н учесть (С),, то для рассматриваемого предела найдем

	д(—)
	■ * г	Л — “ 5 ^
(•)		(«)
— Нш (10<?« • 4 - • 4р = — 4* • Нш (10«г. = — 4* <У)Л ,
	г	р—О
так как при р -►0 тогда С!		поверхности схеры обудет стремиться
к точке А.
Таким образом,
— Нш	г дпм	4° = — 4«{У)л
р -»0	г дпм	д я , )

и равенство (А) дает

<*>

(5)

Отсюда окончательно

З а м е ч а н и е .		Проведенные		рассуждения		понадобились					нам
в связи с тем, что точка А находилась внутри						области т, поэтому
функция	I) — ~ в этой точке		претерпевала		разрыв непрерывности.
Если бы точка А находилась			вне области х, то функция						у	,	как
функция точки Р (х,у,г), была				бы непрерывной			и тогда,		учиты
вая, что эта функция гармоническая, т, е. что А (т) ~									мы		из
первой формулы Грина сразу бы получили
		ДУЛ =
Эта формула называется второй формулой Грина.
Если	функция	V — V (х, у, г) — гармоническая					в области			т, то
ДУ = 0	и тогда формула (Ь)		запишется так:
		1	ЛУ.							(15.2)
		г дп
Эта формула дает		выражение	гармонической функции внутри								об
ласти через значения, принимаемые данной функцией								н ее произ
водной по нормали на границе этой области.							V =	V (х, у, г) —
Задача 15, 12 . Доказать, что				если функция
гармоническая функция в некоторой области, а						5 — сфера			радиуса
К с центром в точке А{а, Ь, с),				лежащая	со своими			внутренними
точками	в этой области, то			И V
		V* ~
				(5)

Р е ш е н и е . Формулу (15,2), полученную в предыдущей задаче, применим к случаю, когда 5 — сфера радиуса Я.

	Вычисляя первый интеграл		этой формулы, следует г			заменить
его значением на поверхности сферы, т. е. на К, а величину							,
как	постоянную, вынести за знак интеграла
		(5 )	(5)
так	как	V — гармоническая функция, а поэтому
задачу		15,2).		(5 )

	Во втором интеграле производная от функции — ,				вычисленная
по	внешней нормали, будет равна производной			от	этой функции
по К, так как нормаль к сфере совпадает с ее				радиусом,		причем
направление внешней нормали			совпадает с направлением			радиуса

вектора & точек сферы. Значение этой производной должно быть

вычислено на	поверхности сферы,			т. е. при г = К. Итак,
		дп	дЯ	I .
		дп	дЯ	ТР
Учитывая	эти	рассуждения, получаем. для значения функции
V в центре сферы		А


что и требовалось доказать.				Гаусса: значение гармониче
Это равенство			выражает теорему
ской функции		в	центре сферы есть	среднее арифметическое из
ее значений на поверхности сферы.
Если	V — потенциал скорости жидкости, то эта формула выра
жает среднее		значение потенциала скорости жидкости			на любой
сферической поверхности, которой ограничивается объем,					целиком
лежащий	в жидкости, и показывает,			что это среднее	значение
равно значению потенциала скорости в центре сферы.

ШЕСТНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

С о д е р ж а н и е . Оператор Гамильтона

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Студентам рекомендуется изучать этот вопрос по книге Н. Е. Кочина «Векторное исчисление и начало тензорного исчисления».

Под оператором Гамильтона понимается символический диф ференциальный оператор, обозначаемый знаком у (набла) и опре деляемый в декартовой системе координат равенством

?=* - Й- ? + - 5 7 /7+	^ * ’	(16’П
где », /, к — единичные векторы координатных осей Ох,		Оу, Ог.
Этот оператор в дальнейшем называется	«Оператор у».

Основная цель введения оператора у состоит в упрощении таких операций над векторами и скалярами, как получение градиента скалярной функции, образование дивергенции и ротора вектора, образование оператора Лапласа.

Следует запомнить, что оператор у является символическим вектором.

Оператор у .часто встречается в приложениях векторного ана


лиза и усвоение правил обращения с ним					значительно облегчает
изучение, например, такого предмета, как электротехника.
Хотя вектор у является символическим вектором,								а не	реаль
ным, мы будем формально считать,			что		он	обладает свойствами
реального вектора, и рассматривать его произведение								на	скаляр
ную функцию, скалярное		и векторное		произведение				его	на век
торы, а также и другие операции с ним.
Это не должно смущать читателя, так как							из дальнейшего
видно, что	в результате	воздействия		оператора			у	на скаляры
н векторы	получаются	величины,	имеющие			не	символический,

а вполне реальный определенный смысл. (Однако укажем, что недопустимо употреблять, например, такие термины: «вектор у

параллелен вектору а» или «вектор у перпендикулярен вектору а». Бессмысленно также, например, говорить, что «вектор у равен

вектору а», так как символический вектор у не может быть ра

вен реальному вектору а, как он не может быть ему параллелен или перпендикулярен).

Вдальнейшем приняты такие обозначения:

1.Для численного произведения вектора а на функцию <р (х, у, г)

о<Р (*. У. г).

2. Для скалярного произведения векторов а и Ь

а • Ь.

3. Для векторного произведения двух векторов а и Ь

ахЬ.

4.Из (16,1) видно, что проекции оператора у на оси прямоугольной системы координат равны

		а	а		а
	V* ~	дх ’	Чу ~ ~ду;	? г ~	дг ’
Сводка правил	обращения		с оператором
!. Оператор у действует на величины,					стоящие за	ним, и не
действует на величины, которые стоят				перед ним. Так, в записи
(о . у) <р оператор у		действует на <р и		не действует на а.
Иногда для того, чтобы указать величину, на которую не рас
пространяется	действие оператора у,			у этой величины		ставится

индекс, показывающий, что данная величина рассматривается как постоянная Например, в записи (у - а,)? следует считать, что у на аг не действует, а на <р действует.

Выражение такого вида надо, если это возможно, преобразо

вать так, чтобы величины с индексом с стали впереди у. Как только это будет достигнуто, индекс с можно опустить, поскольку оператор у на величины, стоящие перед ним, не действует.

2. Численное произведение оператора у на сумму двух функ ций вычисляется по формуле

У ('Р + Ф) = V ‘Р + V Ф-

(16.2)

3. Скалярное произведение оператора у на сумму двух векто ров вычисляется по формуле

у • (а + Ь) = у • а + у • Ъ.

(16,3)

4. Векторное произведение оператора у на сумму двух векто ров вычисляется по формуле

Произведение 99

оператора

на

скалярную

функцию 9

равно градиенту функции

так как

™ = { к т+ к 1 + к * ) * -

= к

<*р>+ к

(' <р) +

{~к?) "

У9 = §габ9

(16.5)

При вычислении, например ^ (19), постоянный

вектор 7

выне

сен за знак производной. Так

же было сделано и при вычислении

Ту

н Тг

Скалярное произведение оператора

на

вектор

а (х, у, г) = ах(х, у, г) 7 +

ау(х, у, г)] + аг(х, у, г) Ъ

равно дивергенции вектора а.

гг

у„ =

то

ска

Действительно, так как у , *

у г = ^ ,

лярное произведение у - а, равное алгебраической

сумме

произве

дений одноименных

проекций, можно записать в виде

V * 0 " Т ха * + Т уа У+ Т г ^

Если теперь условиться под произведением^о,

понимать

част-

ную производную от ах

по х,

т. е. дах ,

аналогично

считать,

дои

_даг

ЧГОд-уаУ = Т; НТга*=-5Т‘

то

“

дох .

дои ,

до*

«•

7 *а =

а7 +

Г =

с11Уа-

• а =

сИуо

(16,6)

7. Векторное произведение оператора у на вектор

а I*. У. г) = ах(х, у. г)! + а„(х, у, г)~/ + аг(х, у, г)к.

равно ротору вектора а.

12 И. А. Каши*

359

Действительно,	так как векторное		произведение двух векторов
а и Ь вычисляется	по формуле
	г	/	*
	Ь х а — Ьх	Ьу	Ьг
	о,	оу	аг

то, заменяя		здесь	вектор Ъ			оператором у = ^ 7 +				4 . ^ к и
учитывая,	что проекции			оператора у на координатные оси
						д
будем иметь		V* ~		дх ’	^ ‘ &
будем иметь
						‘	/	д
			у	X а	=	<Э	^	д
			у	X а	=	Зх	ду	Я
						Зх	ду	Я
						а.	а..
	(да.	даЛ	; .	/да х		даЛа	,	(даи	дах\т
”	( ^	^		а 7 -		- л ) < +		Ы	~ ъ ) 1 ~ ш а -
				у	х	а — го! а				(16,7)

8. Оператор у применяется к скалярному и векторному произ ведению двух множителей так, как к ним применяется производ ная, т. е. для того чтобы применить оператор к произведению двух множителей, надо образовать сумму двух слагаемых, в каж дом из которых оператор действует только на один из сомножите лей, в то время как другой остается постоянным. Например,

у (о х Ь) —у (а х Ьс) + у (ае х Ь)

(16,8)

причем наличие у вектора индекса с, как указывалось выше, озна чает, что на этот вектор оператор у не действует.

Выражения, полученные от воздействия оператора у на произ ведение двух сомножителей, надо преобразовать так, чтобы посто янные сомножители были поставлены перед оператором у.-

Диф ф еренциальные операции первого порядка

Задача 16,1. Найти градиент произведения двух функций /,

И ( 2*

Решение. По правилу 8 из сводки правил, применяя фор мулу (16,5), имеем

§гас!(/1/2) = У(/|/г) = V Ц и ! 2 ) + У ( Ы Л

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 4236 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги