книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци
.pdfР е ш е н и е . Пусть во всех точках объема V, кроме точки А,
дивергенция вектора а равна нулю: сйуа = 0. |
Окружим точку А |
||
поверхностью |
(5^ (см. |
чертеж). Тогда по условию задачи всюду |
|
в объеме, заключенном |
между поверхностями 5 |
и 5 Ь сПу а = 0, а |
|
поток вектора |
а через |
поверхность 5 + 5х равен нулю на основа |
|
нии результата |
предыдущей задачи, т. е. |
|
или иначе
(Л)
В этой формуле а„ — проекция вектора а на внешнюю нор маль п к поверхности 5, а а„, — проекция вектора а на внешнюю нормаль п, к поверхности 5,. Внешняя нормаль к поверхности 5Х направлена внутрь (противоположно направлению внешней нормали на поверхности 5). Учитывая, что изменение направления нормали на противоположное изменяет знак интеграла, получим
Заменяем в (А) второе слагаемое в левой части равенства его значением из (В):
15)(5.)
и окончательно
что и требовалось доказать. Решим задачу на применение этого результата.
Задача 13,11. Напряженность Е поля точечного электричес* кого заряда е на расстоянии г от этого заряда
|
|
|
|
|
|
|
|
Е = |
|
|
|
|
|
(А) |
||
где г — радиус-вектор, |
проведенный |
из заряда |
в рассматриваемую |
|||||||||||||
точку |
поля |
А. |
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
поток |
вектора |
|
Е через любую замкнутую поверх |
||||||||||||
ность |
в двух случаях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
заряда |
е и |
|||||
1) |
когда эта |
поверхность не охватывает |
||||||||||||||
2) |
когда |
заряд |
е |
расположен |
внутри замкнутой поверхности. |
|||||||||||
Р е ш е н и е . |
1. |
Для |
ответа |
на |
первый |
вопрос |
воспользуемся |
|||||||||
формулой |
(13,17). |
Поток вектора |
через |
замкнутую |
поверхность 5 |
|||||||||||
|
|
|
|
Я - |
|
{ ! * • * " Ш («Vа&о. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
(У) |
|
|
|
|
Будем |
считать, |
что |
заряд |
|
с помещен в |
начале |
координат, а |
|||||||||
точка |
А |
имеет |
координаты _х, |
у |
и г. |
Тогда |
радиус-вектор г =■ |
|||||||||
= х1 + у} + |
гк, |
а его модуль |
г — У х2+ у* + гг |
|
||||||||||||
Поэтому |
равенство |
(А) |
перепишется так: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
^ = |
7 » (XI + |
у[+ гк), |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Ех = ~ х\ |
Е„ = ^ у , |
Ег ~ - р г. |
|
|||||||||
тт |
г |
|
|
|
дЕх |
|
дЕи |
и |
дЕг |
|
|
|
|
|
||
Найдем теперь - ^ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
дЕх |
е |
|
|
7* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Их “ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Но г = Ух* + у*- + ? , |
а |
д* |
|
|
2х |
|
|
х |
||||||||
X |
|
|
* |
|
|
|
|
2 Ух* + у* + г* |
Ух*+у* + . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
дЕх . |
/ * |
Зг2г ' |
/■ |
|
_г* — 3/-V |
.г* — 3** |
||||||||
|
|
|
дх |
|
|
|
га |
|
|
|
|
г7 |
|
|
г* |
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г* —Ь* |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дЕг |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дЕи . |
дЕг |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ЗГ Г |
дг |
» |
|
|
поэтому
Л у Ё |
с |
('* - |
З*1) + |
(г» - З у*) + (г* - Зг«) |
З л « - 3 (* Ч - у » + г » ) . |
|
|
|
у* + |
г* |
г* |
Но так |
как |
х* + |
г* — г*, то числитель последней дроби равен |
||
нулю и в рассматриваемом случае <Ну Е — 0. |
|
Поскольку знаменатель последней дроби г*, то это заключение
является верным |
только тогда, когда г Ф 0 , т. е. |
всюду, кроме |
начала координат. |
В рассматриваемом случае, когда |
поверхность 5 |
не охватывает заряда е, радиус-вектор г не может быть равен нулю, поэтому поток вектора 5
З а к л ю ч е н и е . Поток |
Я вектора Е — напряженности элект |
рического поля точечного |
заряда — через всякую замкнутую по |
верхность равен нулю, если эта поверхность не охватывает зарода е. 2. Когда заряд е расположен внутри замкнутой поверхности, т. е. когда начало координат находится внутри замкнутой по
верхности сделанное |
выше заключение |
оказывается неверным, так |
|||||
как |
в этом случае радиус-вектор г в начале координат равен нулю. |
||||||
Для ответа на второй вопрос задачи воспользуемся резуль |
|||||||
татами задачи |
(13,10). |
|
|
|
|
||
Поскольку |
в рассматриваемом |
случае во |
всех точках объема |
||||
V, |
ограниченного |
поверхностью |
5,. |
кроме |
начала |
координат, |
|
(Ну 2: = 0, то' |
поток вектора Я не |
зависит от формы |
поверхности |
||||
5, в связи с чем за |
поверхность 5 примем сферу радиуса Я с цен |
||||||
тром |
в начале |
координат. |
|
|
|
|
|
Так как внешняя нормаль в любой точке сферы совпадает с |
|||||||
направлением |
радиуса-вектора ~г этой |
точки, |
то вектор ~Ё имеет |
то же направление, что и внешняя нормаль к сфере, поэтому
проекция Е„ вектора Е на |
внешнюю нормаль равна |
его |
модулю. |
||||||
Так как Е =* ^-г = ^ |
, |
а |
-у есть единичный векторг0 ради |
||||||
уса-вектора г точки, то Е |
|
• г0, а его |
модуль |
Е =* |
. Поэтому |
||||
Модуль радиуса-вектора |
|
точек |
сферы |
равен |
радиусу |
Я сферы, |
|||
поэтому |
г — Я н тогда Е„ = |
^ , а |
поток |
вектора Е |
|
|
|||
так как |
равен поверхности |
сферы, |
т. е. 4*/?1. |
|
|
||||
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
323 |
З а к л ю ч е н и е . |
Если |
точечный заряд |
е расположен |
внутри |
||||||||
замкнутой |
поверхности, |
то поток вектора |
Е — напряженности ноля |
|||||||||
данного заряда — через эту поверхность |
равен 4ке. |
|
|
|
||||||||
Задача |
13,12. Найти |
поток |
вектора |
а = хЧ + |
у2/ |
г2к через |
||||||
положительный |
октант |
|
сферы |
х2-+• у2+ |
г2= /?* |
(х > |
0, |
у > О, |
||||
2 > |
0). |
|
Воспользуемся |
формулой (13,11), в |
которой надо |
|||||||
Р е ш е н и е . |
||||||||||||
взять ах = |
х2; ау = у*; аг = г2. Тогда поток вектора |
|
|
|||||||||
|
|
|
П = |
^ |
|
+ |
фйхЛг + |
г24хйу, |
|
|
(А) |
|
где |
под 5 |
понимается |
поверхность сферы, |
расположенная |
в пер* |
|||||||
ьом |
октанте. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Представим интеграл в формуле (А) в виде суммы трех интег |
||||||||||||
ралов. Областями |
интегрирования при вычислении этих |
интегралов |
будут проекции поверхности 5 соответственно на координатные
плоскости уОг, |
Юг и Юу. Это видно |
из |
наличия в первом |
ин |
||||
теграле произведения йуйг, во втором йхйг, в третьем йхйу |
|
|||||||
|
П — |
х2йуйг + |
у2йхАг-\- | | |
г2Ахйу. |
|
|||
|
\У°г______ 1 |
______ | |
|
______ | |
|
|||
|
|
Л |
1% |
|
|
|
/, |
|
При |
вычислении |
интеграла |
выразим |
х2 через у2 и г2. Из урав |
||||
нения сферы х2 + у2 + г2 = Я2 следует, |
что |
х2= /?* — (у2 + |
г2). |
|||||
Перейдем к полярным координатам, в |
которых у2+ г2= р*; х2 ** |
|||||||
= |
— ра, а <1у йг надо заменить на |
р4 р4<р. |
|
|
||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
К |
|
л = Ц * луйгш* ^У — р*) р |
^ |
|
^ |
5 (^* — р*) р |
: |
|||
|
5*0* |
5уОг |
к |
|
• |
« |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
__ |
я /? 4 |
* |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
8 |
|
Вычисляя |
/ 2 и |
/ э, |
найдем, |
что каждый |
из этих интегралов |
||||
- |
*/?4 |
потому |
поток |
|
|
|
|
||
также равен |
. а |
|
|
|
|
||||
|
п |
|
, |
*#4 |
. |
«/?4 |
|
3 |
т |
|
77 = |
“Г + |
“Г |
+ |
- Г |
= |
Т 1'/ ? - |
Задача 13,13 (для самостоятельного решения). Найти поток
вектора |
а = х2! + у2/ + |
через поверхность |
сферы |
х2 + у2 + |
||||
Ч- 22 = |
I?2. |
|
|
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
Воспользоваться формулой (13,11). Удобно |
начать |
||||||
с вычисления ] ^ гМ хйу. Из уравнения |
сферы |
х2 + у2 + |
г* = /?2 |
|||||
|
5дЮу |
|
|
|
координатам. |
|||
найти г2 — Яг— (х2 Ч- у2). Перейти к полярным |
||||||||
О т в е т . Я = |
-у |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 13,14. |
Найти |
поток |
вектора |
5 = у 1 |
+ г/ + |
хБ |
через |
|
часть плоскости |
х + у + |
г = а, |
расположенную |
в первом октанте |
||||
(х > 0, у > 0, г > 0). |
|
|
2 |
|
|
|
||
Р е ш е н и е . Воспользуемся фор- |
|
|
|
|||||
мулой (13,8), по |
которой |
|
|
|
|
|
|
л- Ц м * .
ивычислим проекцию а„ вектора
ана внешнюю нормаль к плоскости
х + у + г = а |
по |
формуле |
(13,9) |
|
|
|
|
|
||
а„ = ахсо$ (я, |
х) + аусо$ (л, |
у) + |
|
|
|
|
|
|
||
Ч- аг соз (л,г). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как эта нормаль |
образует |
|
|
|
|
|
||||
с осью Ог острый угол, в формуле |
|
|
|
|
|
|||||
для соз (л, г) |
возьмем знак |
плюс, |
|
|
|
|
|
|||
а направляющие косинусы нормали х |
|
К задаче 13.14 |
||||||||
найдем по формулам (13,3) и (13,4). |
|
|
||||||||
соз (л, х) = — |
-------- ; |
соз |
(л, |
у) = |
|
4 |
] |
|||
1 7 |
|
/ 1 + Р2 - М 2 |
|
1 ’ Ю |
/ 1 + ^ + 4* |
|||||
|
|
СОЗ (Л, 2) |
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д г |
|
д г |
|
|
|
|
Уравнение |
плоскости |
х + у + |
г«=а |
разрешим |
относительно г |
|||||
и получим г ■* а — х — у, |
откуда |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
д г |
|
. |
4 = |
д г |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
5; = — '; |
|
|
|||
С05(" ' |
- - |
у ’1 + (_ Т ) .- К - 1Р или С05("* |
= |
Г з ; |
||||||
|
соз (л, у) = |
|
соз (л, |
г) = |
^=. |
|
|
Из условия |
задачи аж— у, |
ау = |
г: аг ™ х. |
Поток |
Я |
вектора о |
|||
будет равен на основании (13,10) |
|
|
|
|
|
|
|||
77 “ И |
г * 7 |
3 |
• |
л71)Л |
“ |
р з |
И |
+ " |
|
"(5) ' |
|
|
|
|
|
|
(5) |
х 4 - у + г = а, |
|
где интеграл |
5 распространен |
на |
часть |
плоскости |
|||||
расположенную в первом октанте. |
Но |
в |
последнем |
интеграле по* |
|||||
дынтегральную функцию х + у + г можно |
заменить |
из |
уравнения |
||||||
поверхности |
на а, так как на |
поверхности 5 |
х + у + г = а, |
Треугольник АВС равносторонний (АВ = АС = ВС), значит, каждый его угол равен 60°. Из равнобедренного прямоугольного
треугольника АОС следует, |
что АС -»У а2+ а2= а У~2. Высота |
|
ВО = АС • $ т 60° =* АС • ^ |
— а У 2 • ^ |
, а потому |
З ^ л с - у А С • ВО - \ а У 2 .
и окончательно
„о в* /3 а»
Задача 13,15 (для самостоятельного решения). Определить по* ток вектора а ~ у? г/ + хй из предыдущей задачи через полную поверхность пирамиды, ограниченной плоскостью х + у -|- г = а и
координатными |
плоскостями (см. |
чертеж к предыдущей задаче). |
У к а з а н и е |
. Искомый поток |
рассмотреть как сумму потоков |
через грани пирамиды АОВ, ВОС, АОС и АВС, причем использо вать результат предыдущей задачи: через грань АВС поток вектора
а П = у . При вычислении |
потока этого вектора, например через |
||||||||
грань АОВ, учесть, |
что |
на |
этой |
грани |
соз(п, |
х) = |
соз (п, г) = 0 , |
||
а |
со$ (а, у) — — 1 и вычисление |
потока |
через |
эту |
грань |
приведет |
|||
к |
интегралу — ^ г 4$, в |
котором элемент 4$ |
площади |
треуголь |
|||||
ника АОВ должен |
быть |
заменен |
на Лхйг. Уравнение прямой АВ: |
||||||
х + г -• о. Отсюда |
ПАов — — у . |
|
|
|
|
|
Поток через полную поверхность рассматриваемой пирамиды равен нулю.
О т в е т . Я = 0.
Задача 13,16 (для самостоятельного решения). Найти поток
вектора а = |
хН + у2] + г2к через сферу (х — а)г + (у — Ь)2-+■ |
+ ( г - с ) а = |
Яа. |
У к а з а н и я . Искомый поток |
вычисляется по формуле (13,И). |
|||||||||
1. |
Удобно |
перейти к сферическим |
координатам. Положим |
|
||||||
|
|
|
х — а = |
Л соз |
з т 0; |
|
|
|
||
|
|
|
у — Ь = |
/?зш<рз1п0; |
|
.д |
||||
|
|
|
г — с = |
ксо50; |
|
|
' |
' |
||
|
|
|
(О < <р< |
2*; 0 < 9 < *). |
|
|
||||
Проверьте, действительно ли (х — а)г + {у— Ь)2+ (г— с)2 «■ Я2. |
|
|||||||||
2. |
При вычислении, |
например ^ г М х й у , рассмотреть его |
как |
|||||||
сумму двух интегралов |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
г%йхйу «= |
ггАхйу + ^ |
ггйхйу, |
|
|||||
|
|
(5| |
|
«,) |
|
|
(5„) |
|
|
|
где $„— верхняя сторона |
верхней половины сферы, |
а |
|
|||||||
5„ — нижняя сторона |
нижней |
половины сферы. |
|
|
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\\г*<1х<1у = |
112*005(7», |
г)вАз + \\г*со$(7», |
г)нй$, |
|
|||||
|
(5) |
„ |
5 , |
|
|
|
(«а) |
|
|
|
где соз (л, 2)в |
и С05 (л, г)в — косинусы |
угла |
между |
внешней нор |
малью и осью Ог соответственно на верхней стороне верхней поло
вины и на нижней стороне |
нижней половины сферы. |
г — с |
||
3. Разрешить уравнение |
поверхности |
относительно |
||
г — с= ± / « * — (Ж— а)* — (у— 6)8; |
|
|||
г = с ± У К г - ( х - а у - ( у - Ь ) \ |
(В) |
|||
где знак плюс надо взять для верхней |
половины сферы, а знак |
|||
минус— для нижней. |
|
|
|
|
На верхней стороне верхней половины сферы со$ (л, |
г) > О |
|||
соз (л, г) = |
|
|
<С) |
|
а на нижней стороне |
нижней половины сферы соз (л, г) < 0 |
|||
соз (л , |
г) = |
I |
1 - |
|
|
|
|||
|
|
|
|
(О)
Вычисляя ~ и щ из уравнений (В) и подставляй в (С) и (О), полу
чим в двух случаях для соз (л, г) одно и то же выражение соз (л, г) =
2-~ С
— — Тогда, если учесть, что в сферических координатах эле
мент поверхности
(Ь = Я2з!п 0 йЬ йу
(см. В. С м и р н о в . Курс высшей математики, т. II, стр. 190),
|
|
|
Ц |
г2 соз (л, г)в й$ |
^ |
гасо$ (л г)„<& *= |
|
|
|||||
|
|
|
<$в> |
|
|
|
|
<5Н) |
|
|
|
|
|
= |
|
• ^ |
• / ? |
а 8т |
0 й0й(р = |
/? (*|га(г — с)з|П 0<Ю<*?. |
|||||||
|
|
<5» |
|
|
|
|
|
|
*(5) |
|
|
|
|
Так |
как |
сов (л, г) |
имеет |
одно и то же выражение на поверх |
|||||||||
ностях |
(5в) |
и (5„), мы от интегралов по этим поверхностям пере |
|||||||||||
шли к |
интегралу по всей поверхности сферы. Вычислить последний |
||||||||||||
интеграл |
несложно. В |
нем |
на |
основании |
равенства |
(А) |
следует |
||||||
взять |
|
|
|
|
|
г — с — Я со80, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
пределы |
интегрирования |
по 6 будут |
0 и |
я, |
а по <р |
они |
равны 0 |
||||||
и 2я. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После вычислений |
получим |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
\^ г гйхйу = -§-*сЯ*. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично вычисляются |
и два других |
интеграла: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
| |
( х2 йу 4г |
и |
у2йх йг. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
'< » |
|
|
|
“(5) |
|
|
|
||
О т в е т . /7 =* у * # 3 (а + Ь+ с). |
|
|
|
|
|
||||||||
Задача 13,17 (для самостоятельного решения). Найти поток |
|||||||||||||
вектора а = хЧ + |
у21 |
г2к |
через верхнюю |
сторону верхней поло |
|||||||||
вины сферы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(х — а)2+ (у —к)2+ (г — с)2= Я2. |
|
|
||||||||
О т в е т . |
Я = 2хКа( | + |
|с К |
+ ^ ) . |
|
|
|
|
||||||
Задача |
13,18 (для самостоятельного решения). Вычислить поток |
||||||||||||
вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<*= (х + у)1 + (у — х)] + гк |
|
|
|||||||
через |
поверхность шара |
единичного |
радиуса |
с центром в |
начале |
||||||||
координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . Вычислить дивергенцию вектора 5. Окажется, что
(Пул = 3,
иприменить формулу Остроградского.
От в е т . Л = 4я.
С о д е р ж а н и е . Сеойстеа дивергенции. Упражнения, связанные с форму* лами Остроградского и Стокса.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1 . Формула Стокса. Эта формула связывает криволинейный ин теграл по замкнутому контуру I* с интегралом по поверхности, ограниченной данным контуром. Она записывается так:
Здесь Ь — замкнутый контур, ограничивающий поверхность 5. На правление нормали к поверхности 5 выбирается так: для наблю дателя, стоящего на поверхности н смотрящего на нее с конца нормали, обход контура Ь в правой системе координат должен происходить против движения 'Часовой стрелки.
Формула (14,1) на основании формул (12,7) может быть запи сана так:
+ го^ а сое (л, у) + го1, о с о б (п, г)) ё&. |
(14,2) |
2. Формула Стокса в векторной форме. Учитывая, что выра жение в квадратных скобках под интегралом в (14,2) есть проек ция вектора го1 а на нормаль к поверхности, т. е. (го1 а)п, формула (14,2) в векторной форме запишется так:
(6 а • <й — ^ (го1 а)пё$, |
(14,3) |
Г“(5,
где 4/ — элемент дуги кривой Ь, рассматриваемый как малый |
век |
|||
тор, проекции которого на координатные оси |
равны йх, йу |
и йг. |
||
Из формулы Стокса (14,2) заключаем, |
что |
циркуляция |
произ• |
|
вольного вектора по замкнутому контуру |
равна потоку |
ротора |