книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци
.pdfя
Г
\а 1йх + ауАу — ( а, соз* I (—За, соз* I з т Г)й1 —
6 а |
“о |
|
|
|
|
— а, $1п® I (За, 51П*1соз () А1 = |
|
|
|||
|
я |
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
= За* \ (—соз* / 51П (—з!п61соз I) <И— |
|||||
|
|
|
|
|
—а*. |
На отрезке АО оси Оу имеем: х * |
0; |
Ах =* 0 ; вектор |
а =■ —у] ; а*— |
||
= 0; аи = —у, а у изменяется от |
а, |
до 0 |
|
|
|
\ а хАх + ауА у = ^ —уАу = — ^ I |
= |
|
|||
АО |
а, |
|
1 |
|
|
На отрезке ОВ оси |
0* у =» 0; Ау «» 0; вектор |
а » |
а* ~ л |
||
К |
г/дг + ауАу = |
|
^ |“‘ |
= у |
|
ОВ |
|
о |
10 |
|
|
Таким образом,
Г / . - - а ? + у + т = °.
Задача 12,15 (для самостоятельного решения). Найти циркуля
цию вектора а — уЧ по замкнутой кривой, составленной из верх ней половины эллипса
|
|
|
х -» асоз/; у = б з т / |
|
|
и отрезка |
оси Ох. |
|
|
|
параметр ( при |
У к а з а н и е . |
На |
верхней половине |
эллипса |
||
движении |
против |
хода |
часовой стрелки |
изменяется |
от Одо *. |
4_ Промежуточный результат: ^ з!п3 (А( = — з •
о
О т в е т . -5-06®.
Задача 12,16. Найти го!а, если вектор |
|
|||||
|
а = (3&угг + |
Зж*) I + 2дРуг]+ |
(дс*/ + Зг*) * • |
|||
Р е ш е н и е . Проекции вектора а |
|
|
||||
|
ах — Зхгугг |
3**1 |
йу * |
2дРуг; |
а, «= ж®у* + 32*. |
|
Применяя формулы (12,7) найдем, |
что го1 а = |
О |
||||
Задача 12,17 (для самостоятельного решения). Доказать, что |
||||||
поле сил |
тяготений точечной |
притягивающей |
массы, помещенной |
|||
в начале |
координат |
|
|
|
|
|
|
|
|
(**+ + с1)5 |
|
||
является |
безвихревым, |
т. е. |
что |
го! Р = |
0. |
|
У к а з а н и е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
— 7 т |
|
|
|
|
|
|
|
(** + ? * + г»)* |
|
||
|
? у |
= — 1т- |
|
|
|
<**+»* + г*? Рг = — цт ____ 2
1 * (**+Уа+ г »)5
С о д е р ж а н и е . Поток векторного поля. Дивергенция вектора. Формула Остроградского.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1. Поверхностные интегралы. Пусть 5 — гладкая или кусочно гладкая поверхность, ограниченная определенным контуром, кото
рый будем считать ее |
краем. На |
такой поверхности |
будем |
разли |
|||||||||
чать две стороны, |
понимая |
под |
этим следующее: движущаяся |
по |
|||||||||
поверхности точка |
может |
с |
одной |
стороны |
поверхности |
перейти |
|||||||
на другую не иначе, как |
пересекая |
край |
поверхности. |
|
|
|
|||||||
V Одну |
из этих |
сторон |
поверхности назовем |
внешней |
(верхней), |
||||||||
другую — внутренней |
(нижней). |
Внешней стороной |
считается |
та, |
|||||||||
которая |
соответствует |
положительному |
направлению |
оси |
Ог, |
а |
внутренняя сторона соответствует отрицательному направлению оси Ог. На нормали к поверхности 5 можно рассматривать два возможных направления: одно, идущее в сторону возрастающих, другое — в сторону убывающих 2-ов. Если на нормали выбрано направление в сторону возрастающих г-ов, то она называется
внешней |
и связывается с |
внешней стороной поверхности. Нормаль, |
направленная в сторону |
убывающих г-ов, называется внутренней |
|
и связана |
с внутренней стороной поверхности 5. |
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО ТИПА
(поверхностный интеграл по площади поверхности)
Пусть в каждой точке поверхности 5 задана функция / (*, у, г). Поверхность 5 разобьем на п частей, площади которых обозначим через Д5х, Д5а, . . . Д5„. На каждой такой площадке Д5* выберем произвольную точку Ак(хк, ук, гк), вычислим в ней значение за данной функции /(* , у, г), т. е. найдем число / (хк, ук, гк) и составим сумму произведений (интегральную сумму)
/ (*!» Уи 2х) Д*$1 + {(*а, у2, г2) Д5а + • • • + / (ха, уп, г„) Д5„ =»
Л
Если функция { (дг, у, г) непрерывна во всех точках поверхности 5, то предел этой интегральной суммы при условии, что максималь-
Если 5 — замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл пер еого рода обозначается символом \ \ [ (дг. у, г) (1$.
15) |
|
|
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО ТИПА |
|
|
(поверхностный интеграл по координатам) |
|
|
Пусть / (*, у, г)— функция, заданная |
в каждой точке |
поверх* |
ности 5. Разобьем поверхность 5 на л |
частей с площадями Д$ь |
|
Д5г, . . . , Л5Ч. |
|
|
На каждой из этих частей выберем произвольную |
точку |
Ак(хк, уи, гк) и вычислим в ней функцию /(* , у, г}, т. е. найдем
число / (хк> ук, гк). Спроектируем |
все |
площади |
До*', на |
которые |
||||
разбита поверхность 5, на плоскость |
хОу и обозначим |
площади |
||||||
этих проекций соответственно через |
Доь |
Да2, . . . . |
Дзя. Если была |
|||||
выбрана внешняя |
сторона |
поверхности |
5, то эти проекции будем |
|||||
брать со знаком |
плюс. Если же выбрана нижняя сторона |
поверх |
||||||
ности 5, |
то |
возьмем знак |
минус. |
Составим интегральную сумму |
||||
п |
Ук> |
|
|
|
|
|
|
|
^ /( * * . |
До*. |
|
|
|
|
|
Если функция }(х, у, г) непрерывна в каждой точке поверх ности 5, то ее предел при условии, что т а х Д5* -►0 существует, называется поверхностным интегралом второго типа от / (х, у, г) йа, распространенным на выбранную сторону поверхности (5), и обоз начается символом
д, г) (1а или ЭД/(х, у, г)йхйу.
(5) |
(5) |
Таким образом, |
|
шах Д5д*>0 !]/(* * . |
Ук. гк) = ДО/(*. У. г)йхйу. |
И-«) *-1 |
(3) |
При замене выбранной стороны поверхности 5 противоположной ее стороной знак интеграла поменяется на противоположный, а его абсолютная величина сохранится прежней.
Если элементы, на которые разбита поверхность 5, проекти ровать на плоскость хОг и уОг, то получаются соответственно два интеграла
Ц / (*. У. г)йхйг и Ц / (х, у, г)йуйг.
Если Р(х, у, г). <2(х, у, г) и /?(х, у, г) — функции, определен ные во всех точках поверхности 5, то под составным поверхност ным интегралом второго типа понимается интеграл вида
Р(х, у, г)йуйг + С1(х, д, г) (1г(1х + Р (х, у, г)йхйу.
Подчеркиваем еще раз, что поверхность 5 является двусторонней» а интеграл распространяется на ее определенную сторону, причем указание этой стороны следует всякий раз оговаривать.
Поверхностный интеграл второго типа вычисляют по формуле
(Ч/(.г, |
у, |
г)йхду = |
\ |
у, <р (х, у))йхйу, |
(13,5) |
|
(5) |
|
|
(я) |
|
|
|
в которой г ■■ 9 (х, |
у)-г- уравнение поверхности 5, |
а (о) — проекция |
||||
поверхности 5 |
на плоскость |
хОу. |
|
|
|
|
Если 5 — часть |
цилиндрической |
поверхности |
с образующими, |
параллельными осями Ог, то все ее элементы |
имеют проекции на |
|||
плоскость хОу, равные нулю, |
поэтому |
|
|
|
Их, у, |
г) йх йу = |
0 |
. |
(13,6) |
II1 |
|
|
||
|
|
|
|
Общая формула, по которой поверхностный интеграл второго типа сводится к поверхностному интегралу первого типа запи сывается так:
И| Рдуйг + |
0,йгйх + |
/? йхйу -» |^ (Рсоза + (2соз р 4- /?со$*{1й5, |
|||
|
|
|
|
<5> |
(13,7) |
где Р, |
5 и |
К — ограниченные |
функции, определенные во |
всех |
|
точках |
поверхности 5, |
а соза, |
соз|3, соз у — направляющие |
коси |
нусы нормали, направление которой соответствует выбранной сто роне поверхности.
2. Поток вектора. Потоком вектора а через поверхность 5 на зывается скаляр, определяемый формулой
Я = М М з , |
(13,8) |
(3 ) |
|
где а„— проекция вектора а на нормаль к поверхности 5, причем нормаль берется определенная— внешняя или внутренняя.
Проекцию вектора а на нормаль к поверхности находят по формуле
ап ~ а хсоз(л, |
х)-М <,соз(л. у) + а, соз (л, г). |
(13,9) |
|
где соз (л, х), соз (л, |
у), |
соз (л, г) — направляющие косинусы |
нор |
мали к поверхности |
5, |
поэтому (13,8) можно записать в виде |
Учитывая, что
с о б (п , |
*) А$ — йу Аг\ соз (п, |
у) |
= йг йх\ сое (л, |
г)й$ — йх:Ау, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13,10!) |
формулу |
(13,10) запишем так: |
|
|
|
|
||||
|
|
П = |
ахйу Аг + |
аи йг Ах + аг АхАу. |
(13,11) |
||||
В векторной |
форме (13,10) запишется |
в виде |
|
|
|||||
|
|
|
|
/ 7 « Ц ( в . п ) А , |
|
(13,12) |
|||
где п — единичный |
вектор нормали, направленной |
от отрицатель* |
|||||||
ной стороны |
поверхности к |
положительной (поверхность обыкно |
|||||||
венно ориентируют |
так, |
что |
ее внешнюю сторону считают поло |
||||||
жительной, а |
внутреннюю — отрицательной). В случае |
замкнутой |
|||||||
поверхности |
вектор |
п — единичный вектор внешней нормали. |
|||||||
3. |
Дивергенция. |
Дивергенцией |
(расхождением) |
поля вектора |
|||||
а = а(х, |
у, г), обозначаемой |
<Иуа, называется скалярная величина, |
|||||||
определяемая формулой |
|
даг |
даи |
|
|
||||
|
|
|
|
_ |
|
(13,13) |
|||
|
|
|
д1уа = д? + 7>?+ дг |
|
|||||
|
|
|
|
|
Из этого определения видно, что дивергенция вектора а — ве личина скалярная и ее определение связано с выбором координат ной системы. Ниже в связи с формулой Остроградского дается
другое определение дивергенции вектора а, которое устраняет этот недостаток.
Термин «поток вектора» имеет физическое происхождение. Ука жем примеры физических величин, которые вычисляются при по мощи формулы (13,11):
а) Если векторное поле рассматривать как поле скоростей движущейся жидкости, то поток ее и через поверхность 5 равен количеству жидкости, протекающей через поверхность 5 в единицу времени в направлении от отрицательной к положительной стороне поверхности. Если поток через замкнутую поверхность 5 положи
телен, то |
это значит, что из части пространства, |
ограниченной |
||
поверхностью 5, вытекает больше жидкости, |
чем |
втекает |
в нее. |
|
Это объясняется тем, что внутри 5 имеются |
и с т о ч н и к и , |
выде |
||
ляющие |
жидкость. |
|
|
|
Если поток отрицателен, то внутрь поверхности 5 втекает |
||||
больше жидкости, чем вытекает из нее. Это |
означает, что внутри |
|||
5 имеются стоки, поглощающие жидкость. |
|
|
|