Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

15.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4234 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Р е ш е н и е . Вектор	а ■»а$	+	а„/ +	а&
и 'а -	Щ ах) 2 +	(С/ау) }		+	({/а,) Ъ\
<и» т -	д р у	+	1 р	у	+ 1 р у -

о • (1гас1 V

+ и ( ъ + т % + ъ ) - и й ',А +~а *'*1и -

1-------У ’ -------1

<йуо

(Сумма,

стоящая в

первой скобке,

есть а • цгаб (У, так как проекции

вектора

цга<1 V на

координатные

оси Ох, Оу н Ог равны соответ-

ственно

ёи

дУ

д1Г

на те

же оси

соот

а проекции вектора

ветственно

равны ах, ау и а,).

где (/ — ( /I х,

у,

Задача

14,4.

Найти <Ну (^гасК/),

г).

Р е ш е н и е .

(Ну (§га<1 Щ «■

= §-х (8™* Ц)*+щ (бгад Щу +

(егаб (/,) =

д Ш \

, д /ЯЛ , д Ш \ _ 941

Й / ,

М /

Тх\Тх) + Гу[Ту) -'-Тг \Ъ )

3 ? “

= Л(/ (Л — оператор Лапласа).

<Пу§га<11! =

АС/.

Задача

14,5

(для самостоятельного

решения).

Доказать,

что

если г =

у* + г2, то

<Пу [§га<1 /(г)] =

& + % ' 7 .

У к а з а н и е .

Учесть, что

д 1пл\шша1

дг

а{

я и { п \ = # ’

3 5 = г т -

Задачи на формулу О строградского

Задача 14,6. Применяя формулу Остроградского, преобразовать поверхностный интеграл

х8йу йг + йх дг + г5 йх йу,

если 5 — гладкая поверхность, ограничивающая объем V.

®ННеНа основании формулы (13,8). полагая в ней Р =

х3;

4 = У3; Я ~ г8,

получаем

( ( х8 йуйг +

урйхйг +

г3йхйу —

(5)

111 [ ® (ж3) +

щ ( У 3)

Тг и ]

(V)

(Зхг + Зу* +

З28) -

(V)

“

3 1 | 1 (хг + у* +

2*)Л>.

Задача

14,7.

Применяя формулу Остроградского, преобразовать

1 =

Ух* •+- у* + г* (соза +

соз р + со$7) й$,

<$>

где 5 — гладкая поверхность,

ограничивающая объем

со$ а , соз р исоз 7 — направляющие косинусы

внешней

нормали

поверхности

Р е ш е н и е .

Полагая в формуле (13,7) Р =

С = Я — V х*-\-у*•+-г*,

получаем

/ = 1 1 1 (ж У * * + У г + * + I V

Х * + у * + 2 * + Г г У х * + У г + У * ) &

111 (/*Ч-у* + г*

Ух*+ у* + г2 + у дг2 + у2 + г2) ^ ~~

Г Г Г - * + у + >

л,.

О ^ ^ Ух* + у* + г*

Задача

14,8 (для самостоятельного

решения). Преобразовать по

формуле Остроградского

х соз а 4 -

У с о з Р +

г С05 7

]Лх2+ У2+ * 2

сохраняя

обозначения

предыдущей задачи.

О т в е т .

° Г ГГ —

Лх>

. ) .) .) У х * + у * + г 2

Задача

14,9

(для

самостоятельного

решения). Доказать,

что

$$ х йу йг +

у йх йг +

г йх йу

<$>

равен утроенному объему тела, ограниченного поверхностью 5 .

Задача 14.10 (для самостоятельного решения). Применяя фор мулу Остроградского, преобразовать поверхностный интеграл

С05 а + ^ С05 Р + | | С05 7) ёз.

где 5 — гладкая поверхность, ограничивающая объем V, соз а,

со$р, соз 7 — направляющие косинусы внешней нормали к поверх ности 5.

°т,ет1П®+

(V)

или в другой записи

		Л У Д ы •
		(VI
а	дц . ди д*ц	.	и.
где	+ зр + ыг	есть лапласиан функции	и.

Задача 14,11 (для самостоятельного решения). Доказать, что если 5 — замкнутая простая поверхность, I— любое постоянное

направление, а л внешняя нормаль к поверхности 5, то

? ( соз 1л,	1)ё$ = 0.
*<5)
У к а з а н и е . Заменить соз (я,	/) по формуле
соз (л, /) = соз (л, ж) соз (7,	х) + соз (л, у)соз(1, «/) +

+ соз (л, г) соз (7, г).

Задача 14,12. С помощью формулы Остроградского доказать, что поток вихря вектора а через замкнутую поверхность равен нулю.

Р е ш е н и е . Вихрь вектора а определяется формулой (12,6).

Поток вектора го!а через замкнутую поверхность 5 вычисляется по формуле (13,8)

П = И {го\ а)пёз.

(51

Нам следует найти проекцию вектора го! а на нормаль к поверх ности. Пользуясь формулами (12,7) и (13,9), определим

(го{ «>. = (& - ж )с05

*> + ( % “ ъ ) 005 (л- У) +

+ (1 “ - !§г) с о з <я - г ) >

п	да.	■) С05	(П, х) + ( ^ - д х / СОЗ (Я, у) 4-
	дг

«]

Теперь применим формулу Остроградского (13,15), полагая в ней

Легко убедиться, что выражение, стоящее в квадратной скобке, равно нулю:

Л = 0.

Задача 14,13. С помощью формулы Остроградского вычислить

/ =	?$ х* йу йг +	«/* 4х 4г +		г* йхйу,
	_ (5 )
где 5 — внешняя сторона сферы		х* +	у* +	г* =	а*.
Р е ш е н и е . В	задаче 14,6	этот	интеграл		был преобразован
к виду

3Щ (**+{/* +**)<&•

Наличие под знаком интеграла суммы квадратов координат ука зывает на целесообразность перехода к сферическим координатам, в которых

	х® +	у* + г* =* р*;		*	р* 51п 6 йр Й0
1 = 3	р* • р* 51п 0 <1р <1ЪДф = 3				Р4 ап 0 <*р 4© й®,
где V— объем	шара,		ограниченного	поверхностью 5,
	2»	*	К		/?*
1 = 3! Г 4® ^ $1п 0 ЙО ^ р4<1р =				!	/?*
1 = 3! Г 4® ^ $1п 0 ЙО ^ р4<1р =				!	т • 2 2 * = уЛ ,

так

как

| р 4 < /р * = ^ .;

Г51П 9

— СОЗ 9 Г =

^Ж р =

2*.

о 1

Задача

14,14 (для самостоятельного решения). С помощью фор

мулы Остроградского вычислить

<5)

х2 4у <1г + у2 йх йг +

г* йх йу,

где

5 — внешняя

сторона

куба

0 < х <

а;

0 <

{/ < а;

0 < г < а .

ныпнслен-

тройного

интеграл,

Ш « * +

■+■У+ г) Л)

имеет

смысл

представить

его

(V»

трех

виде суммы

интегралов

х ^ + У , Ь л ' + Щ

2А'*

причем каждый из них окажется равным у .

Например. Щ

Ц * » * . * Л ' * » * - * .

8уОг— проекция

поверхности

на плоскость уОг.

Задача

14,15 (для самостоятельного

решения). Пользуясь

фор

мулой Остроградского,

вычислить

11х со$ (л,

х)ё$,

где 5 — поверхность эллипсоида

+ ^- =

О т в е т ,

-учшЬс.

Задача

14,16.

Вычислить по формуле Остроградского

({/*2 со5(л,

2) — уг2соз (л,

у))й$,

„

х1

о*

г*

где 5 — поверхность эллипсоида

Р е ш е н и е .

Полагаем

формуле

(13,15)

Р е О*

0 =* — иг\

р _

ичг.

Ат

о-

- г * -

^ - и

тогда

ЖГ

*•

Аг

У *

(у2г соз (л, г) — уг2соз (я,

у)\ й$ =

(у*— г2) (к),

где V — объем эллипсоида.

Тройной интеграл вычислим по формуле (3,46), которую мы

уже применяли на третьем практическом занятии в четвертой части этой книги.

1(\|1 ((* . у,	г)	1 йг Д	/ (ж,	у, г) йх йу,		(14,4)
где Е&у — проекция	на	плоскость	хОу	фигуры,	получающейся
в сечении объема V,	плоскостью,		параллельной		плоскости	хОу,

которая соответствует фиксированному значению г. При этом г„ < < г < гь а г — г0 и г = гх— уравнения плоскостей, между которыми содержится объем V тела, причем фигура, получающаяся в сече нии, проектируется без искажения. Применим эту формулу для вычисления интересующего нас тройного интеграла. Представим его в таком виде:

$ (У1 — *4) <Ь>= Д			угах йу йг — Щ	г* йх йу йг =
	Ь		(
	— I	У*йу И	йхйг — 1 г1 йг I I	йхйу.
	~Ь	*хОг	^хОу
Здесь: 1)	— проекция на плоскость хОг сечения эллипсоида

плоскостью, параллельной плоскости хОг, при фиксированном зна

чении у\			йхйг равен площади этой проекции. Уравнение кон-
тура		ЕхОг		из уравнения поверхности эллипсоида
тура	проекции получим			из уравнения поверхности эллипсоида
4 +	С	+ з - *	1 , считая,	что в этом уравнении у — величина фик»
а*	сг	с*

сированная.

Уравнение этого контура будет иметь вйд

или

- 1.

Полуосями этого эллипса будут

Г .

а его площадь равна г а Д , т. е.

ЕхОг

нтогда в правой части (Л) интеграл.

§§йхйг = иас(1 ~ |» ) •

О	ЕхОг
О	о
\|	у* йу 1 1 Ох йг = \| у2 • шг ^ — \| 1 )ж/== -1 «асб.
“ 6	ЕдО*
	ЛЛ
2. Точно так же вычислим в правой части (Л) интеграл 33 Ах йу,
	^хОу
учитывая,	что ЕхОу есть проекция на плоскость хОу сечения эллип

соида плоскостью, параллельной плоскости хОу.

Уравнение контура этого сечения получим из уравнения поверх

ности эллипсоида, считая, что г имеет в					этом уравнении фикси
рованное значение.	Ему будет
Уравнение'контура	Ему будет
	**	,	уг	_	1 .
			-(-Й	-	1 .
а площадь эллипса			-(-Й
а площадь эллипса
Ем, -	ИЕму	йх йу =» -как11			— С ) .
Ем, -	ИЕму		\		*•/

В правой части (Л) второй интеграл

йхйу = у|:1ийх?,

поэтому окончательно искомый интеграл

(«/* — 2г)йг) ■= ^ «асЬ3 — ^ -тсаЬс3 = ^ ■каЬс(6* — с1).

Задача 14,17. Вычислить интеграл Гаусса5

(5)

где 8 — простая замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая

объем	у,	ж;	п — внешняя	нормаль к	поверхности		5	в	ее точке
Л (ж,	у,	г);	г — радиус-вектор, соединяющий фиксированную точку
В (а, Ь,		с) с переменной точкой Л (ж,			у,	г) поверхности.
Рассмотреть два случая:
I)	когда		поверхность	8 не окружает		точку В	и	не	проходит
через	нее;

2) когда поверхность 5 окружает точку В.

Р е ш е н н е. Косинус угла между нормалью л и радиусом-век тором г определяется по формуле

С 0 5 (П ,	Г ) = С 0 5 (Л , X ) С 05 ( г , х ) + СО$ ( л , у ) С 05 ( г , у ) +
	+	С05(Л,'2)С05(>, г)	(А)
(обозначения	не требуют	пояснений).
Модуль радиуса-вектора г
	г = \| / ( х - а у + (у-Ь)* + { г - с ) \		(В)

Косинусы углов между радиусом-вектором и координатными осями равны '

С05 (г, х) = Х-=-?- С05 (г,		У) = ^	; С05(г,	2) =	.	(С)
Подставляя эти значения в формулу (А ), имеем
СОЗ (л, Г) =	С05(л, X) +	^~—~С05(п, у) ■+■		С05 (Л,		2)-
Теперь вычисляемый интеграл О перепишется так:
Х—?Г С08 (л, X) + ^ С		0 5 (Й,	У) +	Со5(л,	2)]	(О)

Для вычисления этого интеграла применим формулу Остроградского

(13,7), в которой	надо считать, что Р = 3^ - ~ ; (} = 1 ^ -? ;	•
Определим	§? и

	дх		г*
Но из формулы (В) следует, что
Йг ___________х— а__________ _					х— д
Я *	У ( Х — в ) * +	( у —	Ь)2 +	(г — с)*	г •
Поэтому
дР _	Д	г	_	г« -3< х -а)«л»
3*	г*			г5	*
	дР	га — 3(х — о)*

^ —

и аналогично

} _ г* — 3(д— Ь)*' дК _ г» — 3(г— с)*.

г*	* 5г —	г® *
-а)»	, г» — 3(у— 6)»

т^

ИЛИ	д)»+ (у-	Ь)* + (г - с)»\| А».
Зг» - 3К* -	д)»+ (у-	Ь)* + (г - с)»\| А».
	г*
Так как {х— а)4 + (у — Ь)г +	(г — с)* =	г4, то

При этом существенно следующее: применять формулу Остроградского надо так, чтобы была соблюдена непрерывность функ.

ций Р, (2 и /?		и их производных ^ щ			и	^	. Их непрерывность
будет	соблюдена,		когда гф 0, т. е. когда			точка В (а, Ь, с) нахо
дится	вне поверхности 5.
Итак, отвечая на первый вопрос задачи, можно сказать, что
когда	фиксированная			точка В находится		вне поверхности 5, ин
теграл Гаусса		0 =	0.
Теперь рассмотрим случай, когда поверхность 5 окружает
точку	В (а, Ь,	с).	Преобразуя по формуле (Петроградского (13,14)
двойной интеграл			по поверхности 5 к тройному интегралу, рас
пространенному на объем V, ограниченный этой поверхностью,
надо	иметь в	виду,		что г — радиус-вектор,			соединяющий точку
В (а,	Ь, с) о	любой		точкой А (х, у, г)	уже		не поверхности 5,

а области (К). Поэтому в самой точке В он равен нулю, а функ

ции Р, (} и Р	и их частные производные, в которых г находится
в знаменателе,	перестают быть непрерывными в этой единственной
точке области	V (во всех остальных точках этой области они

непрерывны), и формулу Остроградского для преобразования ин теграла Гаусса применить во всем объеме V нельзя (интеграл Гаусса в данном случае становится несобственным).

Изолируем точку В и тем самым получим возможность во всем оставшемся объеме применить к интегралу Гаусса формулу Остро градского.

Образуем вокруг точки В (а, Ь, с) сферу 5 Р такого радиуса р, чтобы она целиком содержалась внутри объема X. Тогда для объема Их, заключенного между поверхностью 5 и поверхностью

зз»

сферы 5(>, формула Остроградского применима и поэтому по фор мулам (О) и (Е) получаем

[—рг“ С05 (л,		Х)+У-^СО $(л, у) + г—р-со з(л,					г)\|<*$ —
< з >
— \| \| —р г СОЗ(л,		х) +		—у- С05(л,	$г) +	соз (л, г)] * =
(5?)
	— З (х -д )»		+	/-1 -3 (у — Ь)*	г* — 3(г — с)8		Л> = 0.
-®\|=			+		+ '	-1	Л> = 0.
-®\|=
Отсюда	вычисляемый		интеграл
О = \| \|	с<5$ ’ г) Л	=	\| \|	[~^з~ со$ (л,	х) +	С 08 (л, */) +

(5)(5.)

+—~г"СО$ (л, г)

На сфере 5 Р рассматривается	внешняя нормаль.
На поверхности сферы 5 ?	г = р, нормаль к сфере л направлена

по ее радиусу, а потому направляющие косинусы соз (л, х), со$ (л, у),

и соз (л,	г)	нормали л равны направляющим косинусам					радиуса-
вектора	р,	которые получаются из формул (С)				заменой	в	ннх г
на р.
Таким образом, последнее равенство перепишется так:
0 - Я ( ^			■'-Т -* + * ? -* • Т -+			^	■
	(5.)
		<5Р)			(5л)
			= И	^ = Р^ ' 4 я р 2 = 4 -
				< $ р )
Здесь величина ^			, как	постоянная,	вынесена	за знак	двойного
интеграла,		а двойной интеграл \|			по поверхности (50)			равен

площади этой поверхности, т. е. 4«рг.

Итак, на второй вопрос задачи следует ответить так: если поверхность 3 окружает фиксированную точку В (а, Ь, с), то ин теграл Гаусса 0 = 4л.

Укажем для справки, что, когда поверхность 5 проходит через точку В, то интеграл Гаусса 0 = 2*. Доказывать этого мы не будем.

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4234 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги