книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци
.pdfV. Если известны проекции векторов 3 и Ъна оси прямоугольной системы координат
а (а х. а „ ,а х}; 6 {6Х, 6„ 6г},
то их векторное произведение определяется по формуле
2 x 6 = (аА — а\Ьу)1 + (аА — а А )7 -И (« А — ° А )
где 1, / и Л — орты координатных осей.
Отсюда видно, что проекции векторного произведения на коор
динатные оси равны |
|
|
|
(2 x 6), = а А |
—_вА» |
(5 х Ь)у = <*А — а А : |
|
|
(а х 3), = |
ару — а р ^ |
|
Векторное |
произведение |
й х Ь |
двух векторов 3 {ах, а„, а,} и |
Ь{ЬХ, Ьи, Ьг\ |
может быть записано в виде определителя |
VI. Условие параллельности двух векторов. Необходимым и достаточным условием параллельности двух векторов а {ах, ау, ах)
и ЪА , Ьу, Ьг\ является равенство нулю их векторного произве дения, т. е. необходимым и достаточным условием параллельности двух векторов является выполнение условия 3 х7> = 0 , или, что равносильно, пропорциональности их одноименных проекций
|
Ох |
О: |
|
|
|
Ьх |
Ьу Ьг |
|
|
12 . |
Векторно-скалярное |
произведение |
трех векторов. Так на |
|
зывается |
произведение трех |
векторов типа |
(а х Ъ) • с. Здесь сна |
|
чала выполняется векторное |
произведение а X Ь, а затем оно ска- |
лярно умножается на вектор с. Через проекции сомножителей на оси прямоугольной системы координат векторно-скалярное произ ведение
Свойства векторно-скалярного произведения
I. Если в векторно-скалярном произведении два каких-либо множителя коллинеарны, то это произведение равно нулю.
II. В векторно-скалярном произведении допустима циклическая перестановка множителей.
13. Векторно-векторное произведение трех векторов. Так назы вается произведение трех векторов, имеющее вид
а х (Ъх с).
Иногда вектОрно-векторное произведение называетсядвойным вектор ным произведением.
Векторно-векторное произведение а х (Ь хс) трех векторов вы числяется. по формуле
а х (В х с) — Ь (а ♦ с) — с (а • Ь).
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1 . Физическое поле. Физическим полем называется часть прост ранства или все пространство, в котором происходит физическое явление.
2. Скалярное поле. Физическое поле называется скалярным, если физическое явление, его образующее, характеризуется функцией [ = / (х, у, г), зависящей только от координат точек про странства, в котором это явление происходит. Скалярное поле пол ностью определено заданием одной функции / (х, у, г) трех незави
симых |
переменных. |
Эта функция, |
независимо от |
ее физического |
смысла, |
называется |
потенциалом поля. |
|
|
Если физическое |
явление образовало скалярное |
поле, то каждой |
||
точке Р(хи Ух, Г|) |
пространства, в |
котором происходит это явле |
ние, ставится в соответствие определенное число, характеризующее данное явление в рассматриваемой точке. Это число есть частное значение функции / (х, у, г), вычисленное в точке Р (примерами скалярного поля являются: поле электростатического потенциала, давление в атмосфере).
3. Поверхность уровня. Если однозначная функция соответствует скалярному полю, образованному физическим явлением, то поверх ностью уровня (или эквипотенциальной поверхностью) этого поля называется поверхность, во всех точках которой функция ( (х, у, г)
сохраняет одно и то же значение. |
|
|
Поверхности уровня определяются |
уравнением |
|
/(х, у, г) = |
С, |
(1 1 , 1) |
где С— постоянная величина.
Придавая постоянной С различные числовые значения, получим семейство поверхностей уровня. Через каждую точку пространства проходит одна поверхность уровня. Во всех точках поверхности
уровня физическое явление протекает одинаково. |
|
|||
Уравнение |
поверхности |
уровня, |
проходящей |
через точку |
Р (Х|, Ух, г,), |
имеет вид |
|
|
|
|
/ (*, У, |
г) = / (х„ |
Ух, г,). |
(11,2) |
4. Производная по направлению. Производная от функции
у (х, у, г) по направлению (/) характеризует скорость изменения функции у(х, у, г) по этому направлению, вычисленную в точке с координатами х, у, г. Эта производная вычисляется по формуле
ЗГ = РхС05& *) + %со$ ^ + Ггсо$ г>‘ <п *3)
Величина производной по направлению зависит от выбора точки Р, в которой она вычисляется, и от выбора направления, по которому
она вычисляется. Направляющие косинусы направления 7 входят
множителями в формулу (11,3), а координаты |
точки Р являются |
|||
аргументами |
частных производных, входящих в эту. формулу. |
у, г) |
||
5. Градиент функции. Градиентом скалярной функции у (х, |
||||
называется |
вектор, проекции которого на координатные оси |
Ох, |
||
Оу и Ог соответственно равны ^ щ |
и % > т- |
е- |
|
|
|
вг а а , = | Г + | ; |
+ | л |
( 1 1.4) |
На основании этого |
определения проекции вектора §гаду на |
|
координатные оси запишутся так: |
|
|
(§гас1 <р)х = ^ |
; (егаб у)„ = | | ; (йга<1у)2 = ^ |
(11,5) |
(предполагается при этом, что у (х, у, г) — однозначная непрерывная функция, имеющая непрерывные частные производные).
Модуль вектора §гад <р вычисляется по формуле
| 8гаа? | = У (* )' + ( |) ’ + ( |) ’ . |
(11.6) |
Если 7° — единичный вектор направления I
7° —сов (/, х) 7 + со$(7, у) / + соз (7, г) Ъ,
то правая часть формулы (11,3) есть скалярное произведение век тора дгабу на этот единичный вектор 7°
|
|
. % = |
(11.7) |
Так как |
|7°| = 1 , то |
скалярное произведение |
|
бгаб«у • /° |
|§габ <р| • |
1 • соз (§гад у, 7°) = |§га<1 у) • соз (§га<1 |
у, 7°), |
поэтому наибольшее |
значение скалярного произведения §га<1 у ? |
равно модулю дга<1у, |
т.,е. |§гаду|. Это будет иметь место тогда. |
когда направление / совпадет с направлением вектора ягаЛ?, так как в этом случае соз (^гаё 9, /®) = I.
Поскольку производная функции 9 по направлению характери зует скорость изменения функции 9 по этому направлению, то можно сказать, что вектор §гас19 есть вектор, в направлении которого ско рость изменения функции 9 является наибольшей и эта наибольшая
скорость |
по модулю |
равна | §гас19 1, т. |
е. |
|
|
(а?) |
=1бгай9| |
(11,7а) |
|
или |
\ |
/шах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11,76) |
В ект ор |
2га<19 в каж дой |
т очке направлен по н о р м а ли |
к поверхност и ур о вн я, проходящ ей через т очку, в ст о
р ону |
возраст ания ф ункции . Модуль этого |
вектора равен ско |
||||||||
рости |
изменения |
функции |
9 (ж, у, |
г) |
по этому |
направлению |
нор |
|||
мали. Скорость изменения |
скалярной |
функции 9 (ж, у, г) по |
неко |
|||||||
торому направлению (Г) равна проекции вектора §гас1<9 |
на |
это |
||||||||
направление, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(П.8) |
|
|
|
ЗГ = пР г(8га< 9)- |
|
|
||||||
В этом состоит основное свойство градиента функции: производ |
||||||||||
ная функции 9 по направлению 7 равна проекции вектора |
гради |
|||||||||
ента 9 на направление 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Величина и направление |
градиента |
не зависят от выбора |
коорди |
|||||||
натной |
системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 11,1 (для самостоятельного решения). Найти поверх |
||||||||||
ности уровня потенциала <?= у- |
электростатического поля |
точеч |
||||||||
ного заряда, где г — расстояние |
точки М поля от точки, в которой |
|||||||||
находится электрический заряд. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р е ш е н и е . |
Поместим |
начало |
координат |
в |
точку, в которой |
|||||
находится заряд. По формуле (11,1) |
|
|
|
|
|
|||||
Если координаты точки |
М есть х, у и г , |
то |
|
|
|
|||||
а |
|
Г = |
V X* + У2 + 2®, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ух* + у> + г* = ± .
Уравнение х* 4- У4 4- г4 = определяет семейство концентриче
ских сфер с центром в точке, в которой помещен заряд. |
|
|
||||||||
Задача 11,2. Найти градиент потенциала |
у = у |
электростати- |
||||||||
ческого |
поля, |
1бгаё(р| |
и его |
направляющие |
косинусы, |
где г = |
||||
=» у хг + |
ф 4- *а— расстояние |
точки |
А (х, у, г) |
поля |
от |
начала |
||||
координат, в котором находится заряд е. |
|
(11,4) |
для опре |
|||||||
Р е ш е н и е . |
Чтобы |
воспользоваться |
формулой |
|||||||
деления §гаё <р, надо найти ^ |
и |
У нас 9 = |
7 - , |
а |
потому |
|||||
проекция градиента этой функции на ось Ох |
|
|
|
|
|
(егаб 9), = |
4 ? )__ |
г*дх но г = ^ х 4 4- У* + *а. |
'х ОХ дх |
Поэтому
д г______ 2х_____________х____ _
дх 2Уха+ у*+ г* |
V х* + у*+ гг 1 |
||
Значит, |
|
|
|
% = —е7>' |
(егай 9)ж= — е-р. |
||
Аналогично |
|
г |
|
Ту |
г* 1 |
||
дг ~ е7т |
ду ду
Подставив значения найденных частных производных ^ , ц
и ^ в формулу (11,4), получим
|
8гас1 9 = |
—е~ » — в± ) — еу к |
|
|
И Л И |
|
|
|
|
|
§га< 1 9 |
= — Дг (д? 4- У? 4- |
|
|
Но вектор х! 4 |
- у] 4- гк |
равен радиусу-вектору г точки А (х, |
у, г) |
|
поля: хС4- у[ 4 |
гк — г, |
поэтому §гаё 9 — — у • г . Учитывая, |
что |
у = г°, получим окончательно ^гаё <р« _ 1 л
По закону Кулона напряженность Ё~в точке электростатического поля точечного заряда определяется вектором 4*г0. Последнюю формулу поэтому можно переписать в веде
бгад <? = —Ё
или
— |
ёгас! у = |
|
|
Из формулы (11,6) |
|
|
|
|бга<1у 1 1 е |
-+ Уг1+ г* = |
е |
|
г*’ |
|||
|
|
,|ега<1 <р| =
Направляющие косинусы вектора §га<1у найдем по формулам
Задача 11,3. Найти градиент функции <р (г), где г — расстояние
точки А (х, у, г) поля до начала координат (г ** К * 1 + У1+ г2). Р е ш е н и е . Чтобы воспользоваться формулой (11,4), определим
д г ______ 2дг_______ |
|
_____ х________ |
|
||||||
ТЯ ~ |
2 У х * + у* + г* " |
]/~х»+ у* + г* ~ |
* |
||||||
дг |
^ 1 |
дг |
|
|
|
|
|
|
|
и аналогично ^ = |
Гг = Т . |
|
|
|
|
|
|
||
Получаем |
д® |
да |
дг |
|
, • . |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
д« |
д<? |
дг __ |
, , . |
у |
|
|
|
|
|
ду |
дг ' |
ду |
У ' ^ ’ |
г |
' |
|
|
|
|
дг |
~ ^ |
~ |
* |
(г) .Л |
* |
|
|
|
Отсюда следует |
дг |
дг |
12 |
г |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бга<1 -р(г) = |
|
+ Й * |
= |
^ |
‘ 7 |
* + |
^ * I * + |
||
+ *' (г) X |
|
(Г) [ ± Н - * 7 |
+ $.*] = |
9' (г) |
= |
= ?' (г) • 7 = ? ' (г) • Го.
так как х1 + у/ + гк = 7, а ? — орт |
вектора г • [7° = |
|||
Итак, |
|
|
|
|
|
§га<1 9 (г) == <р' (г) • г°. |
|||
Рассмотрим |
важные |
частные случаи: |
||
1) «р(г) = г; |
9' (г) = |
/; |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
&гас!г = г° = |
• |
|
|
2) ? |
( г ) - | ; |
9 |
' И ------ |
|
бгас1 1 = - ^ |
. 1 . |
||
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
бгай т- = |
— -д . |
|
Если С — постоянная величина, |
то |
|
(11,9)
( 11, 10)
( 11, 11)
|
|
л с |
= |
С |
- |
( 11, 12) |
|
|
егас1 — |
— т г |
т . |
||
Укажем на одно из применений только что полученного ре |
||||||
зультата. |
|
|
|
|
|
О массы т притяги |
По закону Ньютона материальная точка |
||||||
вает материальную |
точку А (ж, у, |
г) массы |
1 с силой Р, модуль |
|||
которой Р — к ~ , |
где г — У хг + у г + |
г*, а |
к — постоянная при |
|||
тяжения. |
|
|
|
|
|
|
Эта сила направлена от А к О. |
|
|
||||
Поместим в точку О начало |
координат. Обозначим через г ра |
|||||
диус-вектор |
ОА точки А, а соответствующий ему единичный век |
|||||
тор — через |
?>(г° — |
|
|
|
|
|
Тогда — г° будет единичным вектором для вектора Я5, противо |
||||||
положного вектору |
г =- (5Л. Сила |
Р будет равна ее численной ве |
||||
личине Р, |
умноженной на — г,° и |
|
|
Г
Г 9
т. е.
• г.
На основании формул (11,11) и (11,12)
Р - р з Л Й .
Легко проверить, что проекции силы притяжения Рх, Ру и Рг
являются частными |
производными функции |
|
соответственно |
||||||
по координатам х, |
у |
и г. |
Действительно, |
из Р — — к ^ • г сле |
|||||
дует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р=* — Ь%г(х1+у]+гЬ), |
|
|||||
а |
г |
|
кт |
|
п |
кт |
р |
кт |
|
|
|
|
|
||||||
|
Рг = — -^х\ |
Ру ------ у, |
Р2 = — Т г. |
|
|||||
Если же взять частные производные от функции |
V «= кт, учи |
||||||||
тывая, |
что г = |
У х%+ |
у2+ г2, |
получим |
|
|
|||
|
|
дУ |
|
кт |
дг |
кт |
х |
кт |
|
и аналогично |
дх ~~ |
г* *дх |
1— 75Г • 7 = |
|
|
||||
дУ |
|
кт |
ЗУ |
кт |
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
Т у " - - ? * |
Ш = |
|
|
||||
т. е. проекции |
силы притяжения равны |
|
|
||||||
|
|
Р |
|
|
Р |
|
р - |
1д |
(11.13) |
|
|
х ~ дх * |
г у~ ду’ |
Гг ~ дг ‘ |
|||||
Таким образом, |
сила притяжения |
^ |
кт - |
0 К0Т0Р°^ шла |
|||||
• г, |
|||||||||
речь, |
является |
|
|
|
|
|
кт |
|
|
градиентом функции V = — , т. е |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Т - т т |
’ |
|
|
а ее проекции на оси прямоугольной системы координат равны частным производным от функции V — ^ , которая называется по
тенциалом силы притяжения (это свойство потенциала силы при тяжения было замечено Лагранжем). Поэтому для определения силы притяжения между двумя точками надо только найти ее потенциал, отыскать его частные производные по координатам х, у иг, кото рые равны проекциям силы притяжения, а ее модуль найдется по формуле
' - / в М ’ + Й )’ |
(11,14) |
|
Если на точку А действует не только точка О, но и неподвиж ные точки Аи А2, ... , Ап с массами, соответственно равными ти ша, . . . , тп, то потенциал точки А
|
/I |
. . . |
Д- ^3 * |
или |
|
'г, |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
1—1 |
|
где г, есть |
расстояние |
АА(, причем предполагается что г, Ф 0 . |
|
Если масса |
непрерывно |
заполняет дугу |
кривой, поверхность или |
тело, то потенциал этой массы относительно точки А вычисляется по следующим формулам:
для случая кривой
II.ь |
Т | |
|
\ |
для случая поверхности
• ' - Я т *
(5)
для тела
' II |
;--- |
|
(V) |
(11,15)
(11,16)
(М,17
В этих формулах Ат— элемент массы.
Если точка А находится вне притягивающих масс, то все вхо дящие в эти формулы интегралы собственные.
В случае, когда точка А находится внутри притягивающей массы, г становится равным нулю, подынтегральные функции не ограниченно возрастают, а интегралы делаются несобственными. Однако эти интегралы существуют и проекции силы и в данном случае определяют также по формулам (11,13). Доказательство этого положения можно найти, например, в учебнике Г. М. Фихтен-
гольца |
«Курс дифференциального и интегрального исчисления», |
т. III, |
§ 638. |
Задача 11,4. Вычислить потенциал однородного призматического стержня длиной 21 относительно материальной точки М с массой,
равной 1, лежащей |
на |
продолжении его |
оси. |
При |
этом учесть, |
||
что |
поперечное сечение |
5 стержня настолько |
мало, |
что стержень |
|||
можно рассматривать |
как отрезок прямой |
линии (см. чертеж). |
|||||
к = |
* В этой и следующих |
формулах принято, |
что постоянная |
притяжения |
|||
1. Это означает, что за |
единицу силы притяжения |
принята |
сила, с кото |
рой притягиваются друг к другу две материальные точки с массами, равными 1, находящиеся одна от другой на расстоянии, равном единице.
Р е ш е н и е . Поместим начало координат в середину стержня./ Расстояние точки М от начала координат обозначим через х. При решении задачи будем считать стержень отрезком прямой,-поэтому воспользуемся формулой (11,15). Если бы в условии задачи не было этой оговорки, интегрирование следовало бы производить по объему стержня при помощи формулы (11,17).
Входящий в числитель подынтегрального выражения (11,15) элемент массы мы найдем как произведение объема элемента стержня на его плотность
йт «= 75 йг,
где ^ — постоянная плотность стержня (постоянная потому, что стержень однороден), ^/- — элемент длины стержня.
|
|
- I |
М |
х |
•е------------------ |
о |
*----------------- |
||
е |
х |
|
Кзадаче 11,4
Вформуле (11,15) г — расстояние точки М до любой точки N
стержня, |
причем |
это |
расстояние на |
стержне |
при |
условии, что |
|||||
х > I, изменяется |
от х — / до х + 1. По формуле |
(11,15) находим |
|||||||||
|
|
х - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если бы точка Р находилась на |
продолжении |
оси |
стержня |
слева |
|||||||
от него |
(х < — I), то |
пределы |
интегрирования |
были бы |
х + 1 |
||||||
и х — /. |
В этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, |
относительно |
точки М потенциал стержня |
|
|
|||||||
|
|
V = 7 5 1п р з -* , |
если х > I |
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V =* 7 51п |
, если |
х < — /. |
|
|
|
||||
Зная потенциал И, вычислим величину силы, с которой стер* |
|||||||||||
жень притягивает точку. М (формула |
(11,14). Если |
х > I, то |
|
||||||||
|
|
Ы |
/ |
1 |
1 |
\ |
|
|
Р' |
|
|
|
РX д7 ~ П * + 1 х-1) |
|
|
|
|||||||
Если же х < — I, |
то |
|
д\' |
|
21 |
|
|
|
|
||
|
|
|
Рх |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
дх ~ |
|
|
|
|
|
|
|