книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

Здесь г—искомая функция от п независимых переменных хъ х2, . . . , х„, а Х ь X........... Хп — коэффициенты, которые являются функциями тех же п независимых переменных, причем ни в один из коэффи­ циентов искомая функция не входит.

Задачу интегрирования этого уравнения сводят к задаче интег­ рирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнение (18,13) заменяют такой системой обыкновенных диффе­ ренциальных уравнений:

Укажем следующие теоремы:

Теорема /. Всякий интеграл системы (18,14) есть интеграл

Из всего этого следует такое правило интегрирования линей­ ного однородного уравнения первого порядка с частными произ­ водными:

Правило. Чтобы проинтегрировать уравнение (18,13), надо со* ставить систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида (18,14) и проинтегрировать ее. Полученные п — 1 соотношения раз­ решить относительно произвольных постоянных. Полученные функ­ ции «1 , ы2. • , ы„_ 1 будут интегралами уравнения (18,13), а его общий интеграл следует записать в виде (18,16)

^ ” Т (^1» ^2, . . . , Цд),

где <р — произвольная функция.

Подчеркнем, что общие решения обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений содержат произвольные постоянные, а общие реше­ ния дифференциальных уравнений с частными производными — про­ извольные функции.

П р и м е ч а н и е . Это правило сохраняется и тогда, когда коэф­ фициенты XI в уравнении (18,13) содержат, кроме независимых переменных хх, х2..........х„, также и искомую функцию г.

К решению (18,16) следует присоединить и самоочевидное (три­

Задача Коши. Эту задачу для уравнения (18,13) рассмотрим только для того случая, когда искомая функция г является функ­ цией двух независимых переменных, которые обозначим через х и у. Уравнение (18,13) запишется в виде

а система (18,14) запишется в виде одного обыкновенного диффе­ ренциального уравнения

Разрешая его интеграл относительно произвольной постоянной, по­ лучим

а общий интеграл уравнения (18,13') запишется так:

К этому общему интегралу следует присоединить и самоочевидное решение (18,17)

Общий интеграл (18,16') уравнения (18,130 определяет семейство поверхностей, которые называются интегральными поверхностями этого уравнения.

Задача Коши состоит в том, что требуется найти в этом семействе такую поверхность, которая проходит через заданную кривую, определяемую уравнениями

и его частные решения, предполагая, что определяемая этим урав-

Присоединяем к этому решению самоочевидное решение (18,17')

Общий интеграл в виде (18,16') запишется так:

г = <р (** + уг).

Это уравнение определяет поверхности вращения — см. формулу (18,7).

Теперь найдем частные решения.

1 . Исключив х, у и г из уравнений (А), (Е) и (Р), получим уравнение, связывающее Сх и С2;

С, + С\ = /?’.

Заменяя С, и Сг их значениями из (Е) н (Р). получим

х* + у3+ г3= Я*.

Таким образом, искомой поверхностью является сфера.

2. Исключив х, у и г из уравнений (В), (Е) и (Р), найдем

т. е. эллипсоид вращения. Поступаем так же в третьем и четвер­ том случаях: в третьем случае

ь2 5 - 1-

т.е. искомой поверхностью является двухполостный гиперболоид вращения. В четвертом случае искомой поверхностью является па­ раболоид вращения

2рг = х3 + у*.

Задача 18,2. Найти общий интеграл уравнения

хГх + 9Ту = °

иего частные решения, предполагая, что определяемая им поверх­

ность проходит через такие линии:

основании (18,14^ емУ соответствует уравнение

<1% ду

Интегрируем его:

1п х = 1п у — 1п Сь или х «- 4-, Си

откуда, разрешая последнее равенство относительно С,, имеем

Присоединяем к этому интегралу самоочевидное решение

и получаем общее решение в виде (18,16')

Исключив х, у и г из уравнений (А), (Е) и (Р), имеем уравне­ ние, связывающее Сг и С2

сРС1 + С\ = Я4,

а подставляя сюда значения Сг и Са из (Е) и (Р), находим частное

решение

агуг + *4г4 = Я4* 4 = 0.

Приводим ответы на второй, третий и четвертый вопросы задачи:

2)а2сгу* + №хггг— Ь2сгх%—0;

3)а2сгу*— Ь4х4г4— Ьгс*хг = 0;

4> г - 5 Н - Задача 18,3. Найти общий интеграл уравнения

*% +(и-УР=?) |- о .

Это уравнение — уравнение с частными производными первого по­ рядка.

Р е ш е н и е . Составляем прежде всего обыкновенное уравнение вида (18,14'), которое соответствует данному

ё х _________ё у

Решение данного уравнения г = Сь которое является самоочевид­ ным, мы сразу же используем для интегрирования уравнения (А), подставив в него Сх вместо г. Получим

ёх ______ ёу

уйх — Ур(г — С\йх = хйу

или

хйу — уйх = — V К} — С\ йх.

Разделим обе части на х*:

Задача 18,4. Найти общий интеграл уравнения

7 ^ + и - У Ч р у + Р - У ^ Г г + Р - У ^ Ш * * 0-

Р е ш е н и е . Это линейное уравнение с частными производными первого порядка, искомой функцией <р от независимых переменных х, у, г и и. Составляем систему (18,14) обыкновенных дифферен* циальных уравнений, соответствующую заданному