Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5107 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
15.42 Mб
Скачать
☆
А через все шесть граней этого парал­

динатах запишется через

его проекции на касательные в точке М

к координатным линиям

так:

 

А «

Аиеи + АгРо ■+- ЛаАи*

(17,24)

Вычислим поток вектора лелепипеда.

Рассмотрим сначала две «грани», перпендикулярные к коорди­ натной линии ММХ(напоминаем, что мы рассматриваем ортогональ­ ные криволинейные координаты), т. е. «грани» ММ2МаМа и МхМаМаМА. Так как внешние нормали к этим граням имеют

противоположные направления, то проекции вектора А на них бу­ дут отличаться только знаком. Единичные векторы этих нормалей

будут — еи на левой грани и еи на правой, так как еи направлен в сторону возрастающих значений координаты и. Из (17,24) следует,

что проекция вектора Л на нормаль к левой грани будет равна — Аи, а на нормаль правой грани эта проекция равна Аи.

Поток через «грань» ММ2МаМа равен площади этой грани Асх=*

— Ь^гАиАхи, умноженной на — Аи> т. е.

Пмм,м,м, — —АиЬ ^ 2АоАхи.

Поток через противоположную щ>ань» М,М3МвМ4 от только что определенного отличается на величину частного дифференциала по переменной и от величины АиЦЬа, т. е. на величину

^ ( А ^ А и ,

так как на этой грани криволинейная координата равна не и, а и + Аи, а две другие координаты о и да имеют то же значение,

что и на левой «грани». Таким образом, поток вектора А через правую грань

Пм,м,м,м, = | АиЬ.хЪа+ ^ (Аии Ц )

АоАхи.

Складывая найденные потоки через две рассматриваемые грани, найдем, что поток через эти две грани равен

|л в/,11 2 + ^ (>!„/,,Т,2) Аи\АиАхи + \—Аи1х1^АиАхи\ = = ^ {А ^^г) АиАоАхи.

Аналогично поток через две грани ММхМАМа и МаМьМаМг равен ^ (А^х^з) АиАх)Ахи,

13 И. А. Каплан

а через две грани ММ^зМ^ и МаМ4М,М$

до.

Поток через весь объем бесконечно малого криволинейного параллелепипеда равен сумме этих потоков, т. е.

[ к (К и и ) + 1 ; {А ^Ц ) + ~ (А ^Ц )] йи йо йт.

Разделив это выражение на объем параллелепипеда, равный на осно ванин формулы (17,14) йийу'йт, найдем по (17,23), что в точке М

&*А =

цЦПз [

к

+ к И « ^ . ) + & (АЛгЦ)] .

(17,25)

Задача

17,5

(для

самостоятельного

решения). Найти:

1) <Цуеи;

2) <Нуе0 и 3) (Иоеш.

 

 

 

 

 

О т в е т. 1) (Ну еи =

щ

; ^ (ЦЦ)]

 

 

 

 

2) (Ну ё0=

 

35 ( ^ з )1

 

 

 

 

3) (Ну еш= ц ц ц 35; (ЬхЦ)-

 

 

 

Задача

17,6.

Найти выражение для

вихря

вектора А в ортого­

нальных криволинейных

координатах.

 

V = и. Так

 

Р е ш е н и е .

Положим в формуле (17,22)

как част­

ные производные от и по о и до равны нулю, потому что и не за­ висит от о и до, получим

бгаб и —-цёи.

(17,26)

Вычислим вихрь от обеих частей этого равенства

го1 бгаби = го1 (ц ё „ ).

Но на основании (16,34) го! §га(1 и *■> О, а

потому

г о * ( г ^ ) = 0.

(17,27)

По формуле (16,11)

 

го!/а в §габ/ х а + /го!а.

На основании этого и учитывая (17,27), получаем

го1 (к еи) = §габ (ц ) X ёи

го! еи.

(17,28)

Вычислим §га<1 по формуле (17,22)

етай(1\ = ~ -д^ ~ е •

± ^ Ш -

■ 1

е „ •

®

\ Т [ /

1 Х ди е и _ г

до

< ц

Выполняем дифференцирование в каждом слагаемом:

6 1 \ и ди е » ь \ I , до е ° / » I , д и Л - •

Отсюда следует

-,„-1 / 1 \

1

/ 1

д !х - .

1

д1,

-

.

1

д !х - \

8ГЗЙ ( 1 ») “

1

}

"Зо е“ +

I ,

до

^

+

I ,

дм»*") *

Выражение, стоящее в .скобках правой части последнего ра­ венства, на основании формулы (17,22) равно §га(11Х, поэтому окончательно

е г а < |( г , ) — й * ™ 1 1 -

Тогда из (17,28) получаем

— р б г а б 1 Хх еа + ц го !г„ = 0;

(17,29)

 

го1

= ц б г а < И х х ел

 

Вычислим

теперь векторное

произведение ~ егаб 1.%х ё„:

 

 

 

 

^1

М

 

 

ё

 

в

ё

±

8га<Н,х х ^ = ^

(бгаб 1х)и (егаб 1х)0(8га<1*.х).

 

 

 

1

0

0

Заменяя элементы второй строки этого определителя по фор­ мулам (17.19), (17,20) и (17.21), получим

^бтасН а х ё и =

1

1

д ^

1

д ^

д1,

Т [

ди

Г »

до

I * ЗаГ

 

 

 

 

1

 

0

 

0

= 1 (1

^ 1 г _

 

 

\

Ц \Ь-5йе°

 

Ц д оеш) >

а отсюда уже окончательно получаем из (17,29)

1 дц р __ 1 дц

го1 е

1 Х1 3 ди> е °

Ц ц до

Точно так же определим

го1 “

I

6ЦЯ

)

д и .

ц Ц

^ еш~ Т ^Г ,И е“'

_Л«Я _

I

ъ

е«

1

д и .

г01 *■ “

ц и

цг,1Щ8°-

После того как найдены вихри единичных векторов ёи, ёс н ?*, можно определить и вихрь вектора Л

А = Аиёи + А0ес + АжВи,,

•где Аи, А0, А„ — проекции векторов Д по осям и, о и ш.

го» А = го» (Аиеи) + го» (А„е0) + го» ( А ^ )

Пользуясь тем,

что на основании (16,11)

 

 

получим

 

го» /а = раб / х а + ( го» а,

 

 

раб Аи х ёи +

раб А0 х

ё0 + раб Д ,

 

го» А «

х ё„ +

 

4- Аиго» еи + А„ го» ёи + А„ го» г„, =

 

би

 

&хв

&и

 

 

 

± дАи ! М ы |

дАи

I д А с

1

д А с

-

1~\

Т%ТЯГ Ц ~Ьт + Ц

д и Т% Зо

Ц

ди

 

1

0

0

о

 

О

 

 

 

 

И окончательно для вихря вектора А в криволинейных ортогональ­ ных координатах

го1 А = 1

\ д ( А шЦ )

3 ( ^ ) 1 л ,

1 \ д ( А и Ц )

 

 

1.

д о

 

 

ди>

\ и

 

'

дш[

 

 

 

,

I

1

\ д ( А иЦ )

 

 

(17.30)

 

 

 

 

д (/*„!,)1 „

 

 

ди

] е ° "Г Ц Ц [ &

 

 

до

^ е " '

Задача

(17,7). Найти

выражение оператора Лапласа ЛК в орто­

гональных

криволинейных

координатах.

 

 

Р е ш е н и е .

Из формулы (16,32)

известно,

что

 

 

 

 

ДУ ■= сИу §гас! V.

 

Проекции ^гайК вычисляются

по формулам (17,19), (17,20), (17,21)

 

 

 

 

 

.

„

1

•

д

У '

 

 

 

 

 

8га6иУ =

5

дV

 

 

 

 

 

ётгй0 V

1

 

 

 

 

 

 

Ц *дV ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

1

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ц

’ ди>'

 

Заменяем

в формуле (17,25) проекции вектора А проекциями §га<1 V

 

ЛИ _

0 1 ,8 ,а

 

|

^

 

 

)

+

 

 

 

д /V * д У \

 

д _

 

 

 

 

 

 

 

'

*.» 5 о )

1 д и > \ Ц

д а т ) } '

 

Значит, в ортогональных криволинейных координатах оператор Лапласа

ДУ =

1 Г д 11 ,1

^

, д I^1^-з дУ\ ,

д_ (

дУ\1

(17,3!)

ЦЕЕ» [Эи \ Ц

 

д и )* ‘ д о \Ц до }

•“ дш \ I.,

дш / ^ *

О пределение градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в цилиндрических и сф ерических координатах

Задача 17,8.

Найти выражение градиента, дивергенции, ротора

и оператора Лапласа в цилиндрических координатах.

Р е ш е н и е .

Из

задач (17,1) и (17,2) известны значения коэф­

фициентов Ляме в

цилиндрических и сферических координатах.

В цилиндрических координатах

 

 

 

и *

г; V = у;

а» — г;

(17,32)

 

 

 

—

 

1;

я т\

1*1 **

1.

 

 

 

 

 

1. Внося эти значения и в формулу (17,22),

получим выраже­

ние градиента в цилиндрических координатах

 

 

б

Ы

л /

=

ЗУ „

.

1 ЗУ „

. дУ „

 

V

др

<?, +

 

е г

+ ^

В г .

2. Из

формулы

(17,25)

 

 

 

 

 

 

 

^ ~А

= 7 [ I ^ 7 ) + |

 

+ Щ т \*

Окончательно

"л _ дАг I

_}_ ^ 9

, дАг .

 

 

 

 

 

й,уЛ--37 + 71? + -дГ + 7-

3.

Внося значения

(17,32) в формулу (17,30), находим вираже-

ние ротора в цилиндрических

координатах

 

 

 

 

+

_!_ /Э<л9г>_

&М

Вг .

 

 

 

 

Г

[

д г

 

дар/

 

Выполняя дифференцирование, получаем окончательно в цилиндри­ ческих координатах

+ ( $ - $ * +

+(т А* + - 5 Г '~ 7 ^ ) е>-

4.Выражение оператора Лапласа в цилиндрических координа­

тах находим, внося значения (17,32) в формулу (17,31)

А V -

1 \ д ( г д Л > 9 ( 1

. 9 ( дУ\1

“

Т ф У д Г / т

+ Г г [ г д Г } \ '

Выполняем дифференцирование:

. „

1 ЭУ , Э»У , I

. д»У

А У =

+

+

оператор Лапласа в цилиндрических координатах

А _ 1 а . а» , 1 а* , а»

г дг

дг* ‘ г» ду* ' д?» ’

В полярных координатах на плоскости выражение оператора Лап­ ласа получим, опуская в нем последнее слагаемое, так как в этом случае функция V зависит только от г и <р. Таким образом, в по­ лярных координатах оператор Лапласа

л

—

I I . 1 * о . 1

а

~

г дг~н дг* “ Г'/Я 'д?**

Задача 17,9 (для самостоятельного решения). Определить гра­ диент, дивергенцию, ротор и оператор Лапласа в сферических координатах.

У к а з а н и е . Воспользоваться результатами задачи (17,2), в ко­ торой было найдено

=

1; 1*г “ р; /-з =

р з!п в; и =

р; о =

$;

ад =

<р.

О т в е т .

 

егаА

У

 

^

+ ^

ъ

+ ^

г

, .

 

 

1)

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р 51п в

д<р

 

 

 

 

. -Т

 

I

дЛ«

1 .

дЛ .

 

 

 

 

го1в А “

 

 

~ Т А*+ ^

;

 

 

 

 

го1 # А - р А» + д--

? ^ ;

 

 

 

,4 * „

2

51/ ,

д*У

,

1

дУ

, I

д*У ,

 

1

д»У

~

Р

др "и

ар»

1 Р» 1б в ае

' Г Р*

до» +

р»з1п»0д?» •

С о д е р ж а н и е . Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Чтобы выяснить происхождение линейных уравнений с частны­ ми производными первого порядка, прежде всего найдем уравне­ ния поверхностей цилиндрических, конических и поверхностей вращения, а потом покажем, что найденные уравнения эквивален­ тны некоторым уравнениям с частными производными первого порядка.

1. Цилиндрические поверхности.

Найдем уравнение цилиндрической поверхности в том случае, когда образующая не параллельна ни одной из координатных осей, а ее направляющей является линия, определяемая уравнениями

Р(х,

у,

г ) - 0;

|

( 18. 1)

Р\.(х,

У,

г) = 0,

(

 

причем вовсе не обязательно, чтобы эта линия лежала в одной из координатных плоскостей.

Цилиндрическая поверхность, или цилиндр, — поверхность, опи­ сываемая прямой, которая движется, оставаясь параллельной данной прямой, пересекая при этом данную кривую, называемую направляющей.

Уравнение образующей, если предположить, что она пересе­ кает плоскость хОу и проходит через точку (а, Ь, 0), имеет вид

х — а у — Ь _г — 0

 

(18,2)

п

р

*

 

где а и Ь— переменные параметры, а т, п и р —■постоянные ве­ личины, так как по определению образующая сохраняет достоян­ ное направление в пространстве.

Из (18,2)

х — а

г

у — Ь

г

т

р ’

п

р *

Из этого следует, что уравнение образующей может быть за­ писано в виде

х = кг + а;

(18,3)

У™ к + Ь,

где

т

 

к =

/ - ± .

 

7 ;

р

Так как прямая (18,2) пересекает направляющую (18,1), то,

подставляя в (18,1) значения

х и у из (18,3),

получаем

 

Р (кг + а,

1г + Ь,

г) =

0;

1

(18,3,)

р^кг + а,

1г + Ь,

г) =

0.

|

 

Если из этой системы исключить г, то получится соотношение вида

<р(а, Ь) = 0,

(18,4)

которое связывает переменные а и Ь. Из системы (18,3) следует, что

а= х — кг,

ь—у — и

ипотому соотношение (18,4) перепишется в виде

<р(х — кг, у — /г) = 0.

(18,5)

Этому уравнению будут удовлетворять координаты любой точ­

ки образующей цилиндрической

поверхности.

З а м е ч а н и е .

Если

образующая не

пересекает плоскость хОу

(т. е. параллельна

ей),

то вместо

точки

(а, Ь, 0) надо взять точку

пересечения ее с другой координатной плоскостью.

Пример. Найти уравнение цилиндрической поверхности, для которой направляющей служит окружность

 

х‘ + у' =

25; 1

 

 

2 =

4, I

а направление,

образующей

дано отношениями т : л : р *= 2 : 3 : 1 .

Р е ш е н и е .

Выполним

решение

рассмотренным способом.

1. Уравнение образующей запишется в виде

х— а — Ь __ г— 0

2.Выразим х и у из этого уравнения через г

откуда

х = 2г + а; у = Ъг + Ь.

3.

Эти значения

х и у подставим в уравнение

направляющей

и получим уравнения вида

 

 

 

 

(2г

а)1+ (Зг + Ь)* =

25;

1

 

 

 

г =

4.

)

(В)

4. Теперь из этой системы уравнений исключим г и будем иметь соотношение вида (18,4), связывающее а и Ь.

В первое уравнение системы (В) подставим из второго г = 4.

(8 + а)г + (12 Ь)2= 25.

(О

5.Из (А) определим а и Ь

ах — 2г; Ь — у — Зг.

Подставляя эти значения в (С), получим уравнение искомой поверхности в виде

(8 + х -2 г)* + (12 + у —Зг)4 = 25

или, раскрывая скобки, найдем

хг уг + 13г* — 4хг — буг + 16* + 24у — 88г + 183 = 0.

2. Конические поверхности.

Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, описываемая непрерывным движением прямой (образующей), ко­ торая проходит через неподвижную точку А (а, Ь, с) — вершину конуса и пересекает данную линию (направляющую).

Пусть точка А (а, Ь, с) — вершина конуса, а уравнения направ­ ляющей

Р (*,

у,

г) =

0;

(А)

РЛх,

у,

г) =

0.

 

Уравнения образующей

конуса, как уравнения прямой, прохо­

дящей через точку А (а, Ь,

с),

запишутся в виде

 

X— а

 

 

г — с

(В)

т

 

 

~ Р ~

 

 

 

Переменные параметры т, п и р в этих уравнениях связаны требованием, чтобы образующая пересекала направляющую. Урав­ нения (В) решим относительно х н у :

х = к (г — с)+а;

у= 1(г — с) + Ь,

(С)

где

« .

/ _ «

 

к

 

"Г » » —

Р

 

 

Р

 

 

Так как образующая конической поверхности пересекает на­ правляющую, то эти значения х н у должны удовлетворять урав­ нениям (А). Подставляя эти значения х и у в каждое из уравне­ ний направляющей (А), мы получим систему двух уравнений, из

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности