книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

Координатная поверхность. Координатной называется поверх­ ность, на которой одна из координат точки остается постоянной. Координатными поверхностями в прямоугольной системе координат являются плоскости, параллельные координатным плоскостям хОу,

2) поверхности прямых круговых цилиндров, общей осью которых является ось Ог; на этих поверхностях постоянное значение имеет

координата г; 3)полуплоскости, проходящие через ось Ог н огра­ ниченные ею; на них координата <р сохраняет постоянное значение (фиг. 17,2).

Координатными поверхностями в сферической системе координат

являются: 1) сферы с центром в начале координат; на ннх коорди­ ната р сохраняет постоянное значение; 2) полуплоскости, прохо­ дящие через ось Ог и ограниченные ею; на этих кооодинатных по­ верхностях постоянное значение сохраняет координата <р и 3) кру­

янное значение (фиг. 17,3).

Координатные линии. Координатными называются такие линии, вдоль которых изменяется только одна координата, а две другие сохраняют постоянное значение. Каждые две координатные поверх» ностн при пересечении образуют координатную линию.

В прямоугольной системе координат такими линиями являются прямые, параллельные координатным осям. Напрнмер, координат­ ная х-линия параллельна оси Ох (фиг. 17,4).

точки на оси Ог, и |р-линия — окружность с центром на оси Ог, лежащая в плоскости, параллельной плоскости хОу (фиг. 17,6).

Криволинейная ортогональная система координат. Криволиней­ ная система координат называется ортогональной, если в любой точке касательные к координатным линиям, проходящим через эту точку, пересекаются под прямым углом. Например, цилиндрическая и сферическая системы координат являются ортогональными криво­ линейными системами координат. Кроме этих координатных систем,

торое описывается формулами, аналогичными формулам (А) и (6 ):

г = г {и, о, ш).

Каждая пара координатных поверхностей, проходящих через фик­ сированную точку М, образует в пересечении координатную линию. В фиксированной точке М проведем касательные к координатным линиям Ми, Мо и Мьи. Будем рассматривать только ортогональ­ ные системы криволинейных координат. Это означает, что векторы

2-ь 1 г. Ц. лежащие на этих касательных, будут попарно пер­ пендикулярны.

Возведем каждое из этих равенств в квадрат, почленно их сложим и подставим в (17,4). Тогда _

ных, проведенных из точки М к координатным линиям ММи ММ% и ЛШ3 соответственно:

координат квадрат элемента длины содержит только квадраты диф­ ференциалов с1иг, йЬ%н <1ьи, а

(17,7)

Выражения, стоящие здесь в квадратных скобках, есть квадраты

длин векторов Ъи Ъ3 и 13, определенных формулами (17,6), т. е. эти выражения равны

(17.8)

поэтому

еЬ* = Ь\йи* +

Величины 7-ь Ц, Ц называются коэффициентами Ляме, отвечаю­ щими точке с координатами и, V и да. От точки к точке коэф­ фициенты Ляме будут изменяться, поэтому они являются функция­ ми координат точки. Вследствие этого коэффициенты Ляме назы­ вают также единицами локальной (местной) длины.

Элемент площади в ортогональных криволинейных координатах. Так как рассматриваемая система криволинейных координат орто­ гональна, то площадь «грани» ММ\М3Мг, которую с точностью до бесконечно малых высшего порядка будем считать прямоуголь-

НИКОМ

Аналогично площади двух других граней ММгМ4М, и ММХМ4М, равны соответственно

Формулы (17,11), (17,12) и (17,13) и определяют элемент площади в ортогональных криволинейных координатах. .

Элемент объема в ортогональных криволинейных координатах. Чтобы определить элемент объема в ортогональных криволинейных координатах, найдем объем рассматриваемого бесконечно малого криволинейного параллелепипеда. Считая с точностью до бесконеч­ но малых высшего порядка этот параллелепипед прямоугольным, определим, что его объем

= (<&)„ • (4$)„ •

Л» —(Мы) • (Мы) *(М«>)-

Окончательно элемент объема в ортогональных криволинейных ко­ ординатах

Выражение проекций вектора А на касательные к координат­ ным линиям Ми, М„ Мш, проведенным в точке М (х, у, г) через его проекции на оси прямоугольной системы координат.

Проекции вектора А на оси прямоугольной системы координат

Входящие сюда девять косинусов легко определятся из формул

(17,6). Косинус угла между вектором а и осью I равен проекции вектора на эту ось, разделенной на модуль вектора» т. е.

соз (а, Ц — — .

«/= р з т 6 $!п<р;

г= р С 0 5 6;

переписываем (А) в виде

Выражение в скобках есть нечто иное, как производная по и от сложной функции V (д:, у, г), где

х = х(и, V, а»); у - у { и , V, ш); г — г {и, V, ш),

дУ Т- е‘Ти-

Поэтому

Точно так же найдем проекции градиента функции V на касатель­ ные, проведенные в точке М к дугам ММ2 и ЛШ3:

шение потока этого вектора через замкнутую поверхность 5 , окру­ жающую точку М, к объему V области, ограниченной этой поверх­ ностью, при условии, что объем V стягивается в точку М, т. е.

И^ 9

(11у Л = — ♦ (17,23)

Поэтому мы можем дивергенцию вектора А в точке М вычислить, применяя формулу (17,23) к элементарному объему в криволиней­ ных координатах, т. е. применяя ее к нашему бесконечно малому

криволинейному параллелепипеду. Вектор А в криволинейных коор­