книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

казаны случаи, когда таких точек — две. Чем больше вес опускаемого груза, тем выше проходит прямая г*. При достаточно большом весе вообще не происходит пересече­ ния графиков г и г * ; в этих случаях предположение © = —const даже приближенно не оправдывается, т. е. равно­ мерное (или, лучше сказать, равномерное «в среднем») опускание груза вообще невозможно.

Для того чтобы регулятор соответствовал своему на­ значению, нужно добиваться достаточно низкого располо­ жения прямой г*, например, путем увеличения радиуса

Допустим, что параметры регулятора подобраны над­ лежащим образом и прямая г* дважды пересекает кри­ вую z. Но тогда возникает вопрос: какое из двух движений осуществится — с меньшей частотой ©, или с большей час­ тотой <о2? Ответ на этот вопрос связан с устойчивостью каждого из двух найденных режимов работы.

Для суждения об устойчивости вернемся к уравнению (45.3); заменив в нем второй член его средним значением (45.9) и положив ф=со, получим после деления на сгг

“ ©я, обе части равны нулю. Что произойдет, например, если угловая скорость o>i несколько уменьшится и станет равной со»—Д©1? Из рис. 45.3 видно, что в атом случае

331

z*>z; поэтому из уравнения (45.11) следует, что <о>0, т. е. угловая скорость станет увеличиваться, стремясь восста­ новить свое невозмущенное значение Если же угловая скорость несколько увеличится и примет значение со,+ + Дю*, то при этом г>г* и из (45.11) получим, что ш<0, т. е. угловая скорость станет уменьшаться, стремясь к зна­ чению (01. Из сказанного можно заключить, что режим, соответствующий угловой скорости а>а. у с т о й ч и в .

С помощью уравнения (45.11) можно таким же путем установить, что режим, соответствующий угловой ско­ рости со*, неустойчив.

Имеет ли какое-нибудь практическое значение второй корень о>=(04? Из сказанного выше как будто напраши­ вается отрицательный ответ. Но в действительности значе­ ние <02 представляет немалый интерес — этим значением

«в—в»] будет сохраняться лишь в том случае, если возмож­ ные возмущения угловой скорости достаточно малы. Если же возмущение настолько велико, что перейден порог <0=й>,, то система «пойдет в разгон» и угловая скорость <0 будет неограниченно увеличиваться. Тенденции движения системы можно охарактеризовать стрелками, как это изоб­ ражено на рис. 45.4, а.

Следовательно, для устойчивой работы регулятора в до­ статочно широкой области нужно, чтобы решения «>, и «а»

заметно различались. Разность этих значений характери­ зует запас устойчивости; чем он меньше, тем менее надеж­ на работа регулятора. В случае, когда <01= 0)2, система ста­ новится «полуустойчивой» (рис. 45.4, б). Поэтому жела­ тельно, чтобы прямая г* проходила возможно ниже.

Изложенное решение задачи о регуляторе Буасса — Сарда принад­ лежит И. Рокару (см. 3-е изд. книги cDinamique ggnerale des vibrations», Paris, 1960 c. 312—315). Болес полно исследовали этот вопрос И.И. Блехман и Г. Ю. Джанелидзе (см. их статью «Динамика регулятора Буас­ са — Сарлз».— Изв АН СССР, ОТН, 1955, № 10); в частности, ими ус­ тановлено, что при вязком сопротивлении вращению существует не два,

332

а гри стационарных режима, и в случае больших возмущений система переходит от первого режима к третьему (второй режим оказывается устойчивым).

§ 46. Эффект Зоммерфельда

Обычно считают, что эксцентриковый вибратор генери­ рует вынуждающую силу

Р = C O S о)/, (46.1)

где Р0—твРе, со — угловая скорость вращения оси вибра­ тора, т — неуравновешенная масса, е — ее эксцентриси­ тет. При этом (чаще всего — молчаливо) предполагается, что значение <а наперед з а д а н о и не зависит от про­ цесса колебаний упругой системы, на которой установлен вибратор.

В действительности это не так, и если используется двигатель, обладающий небольшой мощностью, то процесс колебаний упругой системы заметно влияет на величину <о и последняя также колеблется около некоторого среднего

значения.

Вследствие обратного влияния колебаний конструкции на угловую скорость вращения вибратора его работа в не­ котором диапазоне угловых скоростей становится неустой­ чивой. Ниже излагается упрощенная теория этого эффекта, который носит имя Зоммерфельда *), впервые наблюдав­

ния, а малые перекосы оси эксцентрика компенсируются карданным соединением и не передаются на ось двигателя.

*) Арнольд Зоммерфельд (1868— 1351) — немецкий физик и мате­ матик, иностранный член-корреспондент (с 1925 г.) и иностранный по­ четный член (с 1929 г.) Академии наук СССР. Основные исследования посвящены теоретической физике, в частности квантовой теорий, а так­ же механике в тензорному анализу.

333

Пусть <р — угол поворота ротора и эксцентрика. От­ правной пункт дальнейших рассуждений состоит в том, что

колебания массы т2 влияют на угловую скорость q> и что момент М, передаваемый статором на ротор, зависит от угловой скорости. Зависимость

М — М (<р)

называется характеристикой двигателя и определяется его конструкцией и параметрами. Во многих случаях ха­ рактеристику электродвигателей можно принять в виде линейной функции

причем величина М0 зависит от рабочего напряжения.

С помощью реостата можно изменить характеристику дви­ гателя — на графике это отразится смещением ее парал­ лельно самой себе (рис. 46.2).

Движение системы в целом определяется двумя коорди­ натами — углом ф, о котором уже было сказано, и верти­ кальным перемещением у массы тг\ отсчет перемещения у ведется от положения равновесии (рис. 46.3).

Уравнения движения системы составим в форме Лаг­ ранжа и прежде всего образуем выражение кинетической энергии, соответствующей трем элементам системы, кото­ рые обладают массой (ротор, масса тх и масса тг).

334

Кинетическая энергия ротора равна

где Л — момент инерции ротора относительно его оси. Несколько сложнее образуется выражение кинегичекой энергии массы mt. Ее горизонтальная координата опреде­ ляется выражением

гп

(46.9)

Складывая выражения (46.3), (46.8) и (46.9), получим кинетическую энергию системы, записанную через обоб­

Теперь образуем левые части уравнений Лагранжа:

зза

Правыми частями уравнений Лагранжа являются обоб­ щенные силы. Для координаты у обобщенной силой явля­ ется сила упругости пружины

Q y - — с у ,

где с — коэффициент жесткости пружины. Для координаты Ф обобщенной силой является сумма вращающего момента (46.2) и момента сил трения, который мы примем пропор­

циональным угловой скорости <р:

где к — коэффициент сопротивления.

Таким образом, уравнения Лагранжа имеют вид

Важно заметить, что в эти уравнения время не входит в явном виде; ими описывается движение автономной сис­ темы.

Конечно, записанная система уравнений не удовлетво­ ряется решением

описывающим процесс равномерного вращения ротора. Действительно, в этом случае уравнение (46.15) приобрело бы форму

(46.16), мы получили бы в левой части переменную вели­ чину т^гаРА cos <jrf sin <at, в то время как правая часть постоянна. Отсюда следует, что угловая скорость враще­ ния ротора не может оставаться постоянной; в этом со­ стоит одна из важных особенностей рассматриваемой за­ дачи.

Однако можно указать такой предельный вид характе­ ристики двигателя, когда решение (46.17) окажется пра­ вильным; он изображен на рис. 46.4. Как и на рис. 46.2, эта характеристика может перемещаться вправо или влево в зависимости от рабочего напряжения. В этом случае вращающий момент есть н е о п р е д е л е н н а я в е л и -

336

ч и н а , т. е. левая часть уравнения (46.16) может быть какой угодно, и решение (46.17) уже не противоречит сис­ теме уравнений (46.15), (46.16).

Чем мощнее двигатель, тем круче проходит его харак­ теристика, поэтому можно сказать, что характеристика, изображенная на рис. 46.4, относится к двигателю беско­

Общая схема дальнейших выкладок состоит в следую­ щем. С помощью уравнения (46.15) выразим у через пере­ менную ср; ради упрощения здесь придется пойти на неко­ торые неточности. Затем мы подставим найденное выраже­ ние у в уравнение (46.16) и займемся анализом возможных решений для функции ф(0 ; при этом и обнаружится эф­ фект Зоммерфельда.

Прежде всего уравнение (46.15) запишем в виде

Здесь правую часть можно представить в следующей ком­ пактной форме:

337

где, в отличие от (46.19), Л = Л ({) — функция времени, а функция ф не совпадает с произведением <Ы. При атом будем считать, что А (/) медленно изменяется во времени, т. е. приращение ДЛ за один цикл колебаний мало по сравнению с величиной А:

и также медленно изменяется во времени; следовательно,

приращение Дф за один цикл мало по сравнению с величи­ ной <в:

Дф = фТ -Ь-^фТ»

т. е.

Таким образом, мы будем считать величины А и ф малыми

первого порядка, величины Л, ф, Лф — малыми второго порядка и т. д. Поэтому, образуя нужную для дальней­ шего вторую производную

У= Ж * ( А c o s 4>)

ичетыре раза дифференцируя произведение Л cos ф, мы будем систематически опускать все члены, имеющие по­ рядок малости выше первого. Поступая таким образом, мы придем к следующему приближенному выражению:

у= Лф4со$Ф4- (6Л<р*Ф+4Лф»)51пф. (46.26)

Для того чтобы выразить входящие сюда величины Л и

А через ф, подставим (46.23) в уравнение (46.22). При этом получится соотношение

(Л —Лф*-}- A<xt% j соэф—(2Лф +Лф)sinф= 0. (46.27)

Для тождественного выполнения равенства (46.27) доста­ точно, чтобы оба выражения в скобках порознь равнялись нулю:

338

Опуская слагаемое А в выражении (46.28), найдем прибли­ женное выражение

Подставив (46.30) и (46.31) в (46.26), придем к выражению

^ cos ф + 4Ф*Ф sin ф). (46.32)

Если это выражение подставить в уравнение (46.16). то оно будет содержать только одну переменную <р; в част­ ности, второе слагаемое левой части уравнения (46.16)

Следующая операция, которую мы произведем над по­ следним выражением, также носит приближенный харак­ тер и связана с тем, что переменные, стоящие в скобках,

меняющиеся функции, т. е. их приращения за один период малы, тогда как тригонометрические функции sin ф cos ф и $ш*ф успевают за один период выполнить полный цикл изменения. Поскольку нас интересует общий характер процесса, т. е. его протекание в течение весьма большого числа периодов, мы можем игнорировать подробности, от­ носящиеся к движению в пределах одного цикла.

Математически эта мысль осуществляется заменой бы­ стро меняющихся переменных sin ф CO S ф и sin*9 их сред­ ними значениями за период 2л:

Здесь в заключительной выкладке принято ф=ш.

339

Теперь уравнение (46.16) приобретает вид линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффи­ циентами

Общее решение этого уравнения состоит из частного ре­ шения

и решения однородного дифференциального уравнения

Т гаК - ® ‘)

Один из корней равен нулю; с этим корнем не связаны какие-либо существенные эффекты. Возможная неустой­ чивость определяется знаком суммы, стоящей в квадратных скобках выражения (46.39). Если эта сумма положительна, то второй корень оказывается отрицательным, а соответ­ ствующее движение — апериодическим затухающим. Од­ нако при отрицательной сумме

появляется положительный корень, которому соответст­ вует монотонный уход системы от стационарного режима. Таким образом, если ш удовлетворяет неравенствам

то движение неустойчиво.

На рис. 46.5 изображена резонансная кривая для рас* смотренной системы, построенная по уравнению (46.30). Части правой ветви, отмеченной крестиками, соответствуют неустойчивые режимы.

Любопытно, что расположение области неустойчивости не зависит от параметров двигателя а, к и .44». Однако само

840