книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки
.pdfпо. что обычные демпферы сухого трения страдают одним недостатком: в некоторой зоне частот их работа неустой чива. Поэтому представляется полезным описанное выше преобразование сухого трения в вязкое трение.
На этой идее основан демпфер В. А. Кудинова (рис. 32.3, а). Демпфер состоит из двух частей, которые порознь
6)
Рис. 32.3. о) Схема демпфера; б) |
схема |
уничтожения сухого трения |
в механизме |
подачи |
станка |
соединяются с теми деталями, относительные колебания которых необходимо демпфировать. Одна часть представ ляет собой корпус 1 произвольной конфигурации, в кото ром расточены два параллельных отверстия. Вторая часть состоит из картера 2, в котором на подшипниках смонтиро ваны два валика 3, имеющие параллельные оси и соединен ные между собой передачей 4; один из валиков получает вращение, например, при помощи гибкого вала 5. Валики входят в отверстия корпуса 1 с трением, значение которого
251
регулируется винтами 6. При колебаниях демпфируемого объекта в демпфере развивается сила сопротивления, ирактически п р о п о р ц и о н а л ь н а я с к о р о с т и от носительного движения.
Та же идея используется в системе подачи станка, схематически изображенной на рис. 32 .3,6. Направляю щие выполняются в виде двух вращающихся стержней, вдоль которых на втулках перемещается узел; при относи тельно медленных продольных движениях узла возникает продольная сила, л и н е й н о зависящая от скорости продольного перемещения (вращение может быть придано не стержням, а втулкам; понятно, что это ке меняет дела). Описанная конструкция также обеспечивает устойчивое демпфирование продольных колебаний, если они по какойлибо причине возникают. Кроме того, такая конструкция хороша тем, что в ней отсутствует «зона застоя» при изме нениях направления движения; такая зона всегда возникает в системах с сухим трением.
Во всех системах подобного типа быстрое движение в одном направлении облегчает преодоление трепня в пер
пендикулярном направлении. Этим свойством, в частности, объясняется используемое в технике явление виброразделе ния. Прежде чем перейти к анализу этого явления, необхо димо остановиться на следующей задаче Н. Е. Жуковско го *) («задача о плоском рассеве»).
Пусть £От) — неподвижная система осей, лежащих в горизонтальной плоскости, и хОху — система осей, лежа щих в той же плоскости н жестко связанных с горизонталь ной площадкой А, имеющей шероховатую поверхность; оси х, у соответственно параллельны осям |, ц (рис. 32.4, в). Положим, что площадка А поступательно движется, оста ваясь в той же плоскости £0ц, причем каждая точка совер шает равномерное движение по окружности радиусом R. Таким образом, абсолютное движение какой-либо точки площадки описывается уравнениями
l=Z»+Rcos<at, |
sin o»f, |
так что проекции ускорения |
точки на неподвижные оси |
£, ц имеют вид |
|
1 = — /?а)*cos ы(, |
л = |
*) Николай Егорович Жуковский (1847—1921) — профессор ме ханики Московского высшего технического училища (с 1879 г.) и Мос ковского университета (с 1886 г.), член-корреспондечт Петербургской Академии наук (с 1894 г.). Автор ряда основополагающих работ в обла сти гидро- и аэродинамики, основатель ЦАРИ.
252
Конечно, они одинаковы для всех точек, т. е. не связаны с координатами £«, г)в. Далее положим, что на площадке находится плоская частица массы т; координаты частицы в подвижной системе осей обозначим через х и у. Если ча стица движется относительно площадки А (скользит по ней), то x=x(t), y=y{t), и проекции ускорения частицы бу дут состоять из двух слагаемых, определяющих относи
тельное и переносное |
ускорение |
частицы: |
|
a » l = x + I = x — R < a s c o s a > t , |
^ 5 ) |
||
а » п = у |
j- г]= у — |
sin со/. |
|
На частицу действует сила трения постоянного модуля F=fmg, направленная против относительной скорости,
Рис. 32.4. Система координат е, ц неподвижна, система координат х, у движется поступательно
имеющей проекции х и у. Следовательно, проекции силы трения на оси |, ц (или на оси х, у) имеют вид (рис. 32.4, б)
F\ — — f mg |
— fmg |
(32.6) |
VxU -у* |
У xi+y? |
Теперь запишем дифференциальные уравнеиия движения
та», = F;, |
та»„ = Fv. |
(32.7) |
Подставив сюда выражения (32.5) и (32.6), получим
* 4 -fg~-r=== = /?0)*COSttlf,
(32.8)
у -rig TTJ - — = R tf sin mt.
V x*+ yi
153
Разумеется, эти уравнения имеют место при условии, что частица в самом деле скользит по площадке, т. е. если
У~х* + у*Ф 0.
В |
случае относительного |
покоя |
х = у = 0 и |
уравнения |
(32.7) |
принимают вид |
|
|
|
|
— то/?<а*cos a>t= F_, |
— |
sino)/ = |
F4 (32.9) |
и определяют силу трения покоя (силу сцепления). Модуль этой силы
Р = т /? ш * |
(32.10) |
должен быть меньше предельного значения силы трения
(32.11)
Таким образом, условие относительного покоя частицы
определяется неравенством FacF°max, т. е. |
I. Соот* |
ветственно условие относительного движения имеет вид |
|
J g - C 1 |
(32.12) |
Предположим, что последнее условие выполнено; можно убедиться, что дифференциальные уравнения (32.8) имеют частное периодическое решение
x - R / l |
- ( ^ ) ‘ s in « « / - a ) + ,., |
|
|
у= — R у |
Г |
/ f \ г |
У у & Л д ) |
I |
cos (<»/_«, + у,, |
|
|
где |
|
|
|
|
a = |
arccos ^ • |
(32.14) |
Постоянные х , и уф, входящие в решение (32.13), являются координатами центра круговой траектории частицы в подвижных осях х0,у. При этом модуль скорости скольже ния остается неизменным во времени:
у ,— У x*-f-у* = R<а / Г Г Щ |
= const. (32.15) |
Для определения траектории относительного движения исключим время t из уравнений движения (32.13). Таким образом мы найдем, что рассматриваемое решение опись!*
264
вает относительное движение частицы по круговой траек тории с радиусом
(32.16)
несколько меньшим, чем радиус R абсолютных траекторий точек площадки А.
С увеличением коэффициента трения радиус траекто рии уменьшается и при f=R&tig обращается в нуль; этому соответствует «прилипание» частицы к площадке. Наоборот, с уменьшением коэффициента трения радиус траектории частицы увеличивается и в предельном случае, когда /= 0 , становится равным радиусу R. При этом частица свободно скользит но площадке, а ее относительное движение точно воспроизводит переносное движение площадки, но соверша ется в противоположном направлении; в системе коорди нат частица неподвижна.
Для проверки физической реализуемости найденного движения необходимо убедиться в устойчивости периоди ческого решения (32.13). Это дополнение к решению Н. Е. Жуковского сделал Цзя Шу-хуай; как оказалось, решение (32.13) устойчиво.
На основе изложенного решения задачи Н. Е. Жуков ского можно перейти к объяснению процесса виброразде ления.
Представим себе, что на горизонтальной площадке А располагается сосуд, заполненный некоторой сыпучей средой, а частица т находится внутри среды, выше уров ня площадки; примем что объемный вес частицы больше объемного веса среды. Если площадка вместе с сыпучим телом покоится, то частица может падать («тонуть») в сы пучем теле под действием своего веса; однако это будет лишь при условии, что предельное значение вертикальной силы трения частицы о сыпучую среду достаточно мало *). Практический иптерес представляет противоположный случай, а именно, когда это предельное значение велико; тогда частица будет покоиться в сыпучем теле.
Теперь предположим, что горизонтальной площадке задано такое же движение, как и в задаче Н. Е. Жуков ского, причем вместе с площадкой совершает плоскопарал лельное движение связанное с ней сыпучее тело. Как мы теперь знаем, при выполнении условия (32.12) частица сга-
*} Под силой трения здесь условно принимается разнодействуюшая сил сопротивления среды движению рассматриваемой частицы.
265
нет проникать сквозь среду, стремясь двигаться в горизон тальной плоскости по круговой траектории.
Но благодаря круговому движению в горизонтальной плоскости частица m уже не встретит такого же сопротив ления по вертикали, как в случае покоя сыпучего тела. Иными словами, упомянутое круговое движение создает условия для падения частицы в сыпучем теле, подобно тому как вращение цапфы облегчает ее движение вдоль под шипника.
Таким образом, на круговое движение частицы в го ризонтальной плоскости накладывается движение по вер тикали; соответственно траекторией частицы служит вин товая линия. Описанные явления служат принципиальной основой процесса виброразделения сыпучих смесей: более тяжелые частицы приобретают возможность постепенно опускаться вниз, причем движение по вертикали весьма сходно с падением тела в вязкой среде.
Эта схема рассуждений делает попросту излишними
иногда встречающиеся |
маловразумительные соображения |
о «разжижении» сыпучего тела при его вибрациях. |
|
Движение системы, в |
которой сила кулонова трения выступает |
в роли восстанавливающей силы, служит темой задачи 32.10 задачника И В. Мещерского {32-е изд.,— М.: 1970).
Демпфер В. А. Кудинова описан в «Бюллетене изобретений» Комитета по делам изобретений н открытий при Совете Министров СССР
(1961, № 8). Схема, приведенная на рис. 32.3, заимствована из статьи
В. Л. Кудинова |
в |
журнале «Станки |
и |
инструмент» |
(1961, |
№ I); |
|
см. также книгу |
С. П. Тимошенко «Колебания |
в инженерном |
деле» |
||||
(М.: Физматгиз, |
1959, с. 70). |
|
статью |
«Заметка о плоском |
|||
О задаче Н |
Е. Жуковского см. его |
||||||
рассеве» (Собр. |
соч., т. 3,— М.: Госте*издат, 1949) а |
также |
книгу |
||||
И. И. Блехмана |
и |
Г. Ю. Джанелидзе |
«Вибрационное |
перемещение* |
|||
(М.: Физматгиз, |
1964, с. 225—230). Изложенное выше объяснение про |
цесса вибросепарации было дано И. И. Блехманом, В. В. Гортинским и Г. Е. Птушкиной в статье «Движение частицы в колеблющееся среде при наличии сопротивления типа сухого трения» (Изв. АН СССР,
ОТН, Механика и машиностроение, 1963, № 4); см. также цитированную книгу И. И. Блехмана и Г. Ю. Джанелидзе (гл. XII).
§ 33. Демпфирование колебаний трубопровода кориолисовыми силами
Известно, что на колебательные свойства трубопроводов существенно влияет скорость течения жидкости. Для тру бопровода с закрепленными концами установлено, что с увеличением скорости течения частота свободных колеба ний уменьшается и может наступить критическое состояние, характеризуемое нулевым значением частоты; в этом сле-
255
дует видеть одно из проявлений д е с т а б и л и з и р у ю щ е г о действия потока постоянной скорости. Пульсация давления и скорости также может послужить причиной воз никновения вредных колебаний, угрожающих прочности трубопровода и плотности соединений.
Тем не менее могут существовать такие устройства, в которых течение жидкости неожиданно оказывает д е м п
ф и р у ю щ е е |
действие. Нуж |
||
но оговориться, |
что подобные |
||
случаи |
исключительны; |
однако |
|
анализ |
этих особенных |
систем |
может помочь лучшему уяснению механики взаимодействия пото ка и трубопровода.
Обратимся к простейшей за даче этого типа и сначала рас смотрим совершенно жесткую консоль, левый конец которой упруго защемлен (рис. 33.1, а), причем с — коэффициент жест кости защемления (момент, раз вивающийся при повороте кон соли на угол, равный единице). Пусть т — масса единицы дли
ны консоли, |
/ — ее общая дли |
|
|
|
|||||
на, |
/ — момент |
инерции консо |
|
|
|
||||
ли |
относительно |
оси, проходя |
|
|
|
||||
щей через точку О перпендику |
Рис. 33.1. а) Упруго защем |
||||||||
лярно плоскости чертежа. Тогда |
|||||||||
собственная |
частота |
колебаний |
ленная |
жесткая |
консоль; |
||||
консоли около положения равно |
б) упруго защемленная жест |
||||||||
кая труба; е) схема |
переме |
||||||||
весия определяется |
формулой |
щений |
трубы; г) эпюра наг |
||||||
|
/ т - |
|
|
3с |
(33.1) |
|
рузки на трубу |
||
|
Y |
|
|
|
|
||||
|
m25' |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Теперь усложним задачу и представим себе, что кон соль представляет собой трубу, т. е. обладает продольным каналом, вдоль которого слева направо непрерывным по током течет жидкость; на правом конце происходи! сво бодное истечение жидкости (рис. 33.1,6). Массу единицы длины струи обозначим через /и», скорость течения — через I».
В чем выразится влияние потока на колебательные свой ства системы? Сразу подчеркнем: было бы ошибочным счи тать. что система сохраняет свои консервативные свойства
•>57
и дело сводится лишь к тому, что собственную частоту нуж но определять по формуле (33.1) с заменой т на сумму m + nif Для правильного ответа на только что поставлен ный вопрос необходимо тщательно рассмотреть возникаю щие при колебаниях силы, составить дифференциальное уравнение колебаний, а затем исследовать его решение.
Обозначим через г координату произвольного сечения трубопровода и через <р=<р(0 — угол поворота трубы в момент времени ( (рис. 33.1, в). Тогда при малых колеба
ниях <рг, ф2, фг — соответственно перемещение, скорость и касательное ускорение произвольного сечения трубы. При колебаниях между частицами жидкости и трубой возник нут силы взаимодействия, перпендикулярные оси трубы и зависящие как от координаты г, так и от времени t\ отнесем эти силы к единице длины и обозначим их интенсивность через F=F(z, 0, так что на частицу жидкости, занимающую участок длиной dz вдоль оси системы, действует со стороны
трубопровода сила Fdz. Так как масса частицы |
равна |
тщбг, то уравнение ее движения имеет -вид |
|
F= т*ш, |
(33.2) |
где w — проекция абсолютного ускорения частицы на на правление, перпендикулярное оси 2. Если рассматривать движение частицы как сложное, связав подвижную систе му с трубой, то w можно представить в виде суммы двух сла гаемых: кориолисова ускорения 2ф© и касательной состав
ляющей переносного ускорения ф2. Таким образом, согласно (33.2) находим интенсивность сил, действующих со стороны трубы на струю жидкости:
F—т« (ф2■+■2фо). |
(33.3) |
Обращаясь теперь к трубе, нужно принять, что на нее со стороны жидкости действуют те же силы (33.3), но име ющие противоположное направление (рис. 33.1, г). Эш силы создают отрицательный момент относительно центра упругого защемления
I
М —— j т,(ф г + 2фи) zdz = — /я ,(ф - у - ; фо/1) . (33.4)
Кроме того, на трубу действует момент упругого защемле ния, равный — сф, и поэтому дифференциальное уравнение движения трубы приобретает вид
— сф.| Л4 = /ф,
268
где по-прежнему 1—mlV3. Подставляя сюда выражение (33.4), получим
3»•*" |
3с |
Ф = 0. |
(33.5) |
(т ! т . ) / 4* ' |
(т + т ,)/* |
В этом уравнении содержится первая производная, и ко* эффиниент при ней — положительный; отсюда ясно, что колебания рассматриваемой системы носят затухающий характер, н возможно даже, что вместо колебаний труба будет совершать неколебательное движение, постепенно приводящее систему к положению равновесия. При этом затухание будет тем более интенсивным, чем больше ско рость течения жидкости.
Чем физически можно объяснить происхождение демп фирования в рассматриваемой системе?
В дифференциальном уравнении (33.8) «квазивязкое» слагаемое, содержащее первую производную угла поворота трубы, возникает вследствие эффекта Кориолиса. Кориоли
сова сила — 2т,Уф является силой, действующей на трубу со стороны струи; эта сила пропорциональна угловой ско рости ф и создает момент противоположного знака.
Следует еще раз подчеркнуть, что речь идет о системе сугубо специального вида; достаточно учесть поперечную податливость опоры, как выяснится д е с т а б и л и з и р у ю щ е е влияние потока на трубу (для того чтобы предста вить себе это явление, достаточно взять в руки жесткий на конечник поливочного шланга).
Об устойчивости консольного трубопровода, обладающего конеч ной нагибной жесткостью, см. книгу В. И. Феодосиева «Избранные за дачи и вопросы по сопротивлению материалов* (М.: Наука, 1967, 3-е изд., задача 140; 4-е изд., задача 149). См. также литературу, указан ную в конце §38 нашей книги.
В экспериментах А. П. Ковревского над упругой консольной тру бой (корневое сечение было жестко защемлено) обнаружено возраста ние демпфирования с ростом скорости течения жидкости (см. его статью в «Известиях высших учебных заведений БССР». Минск. 1964, Ni 4).
§ 34. Параметрическое возбуждение колебаний
Рассказ о рассматриваемом здесь своеобразном типе колебаний начнем с упругой системы, показанной на рис. 34.1. Система состоит из сосредоточенного груза 1, закрепленного па конце невесомого стержня 2, который шарнирно закреплен на верхнем койне; другой опорой
стержня служит короткая втулка 3. Эта система может совершать колебания в плоскости чертежа, при этом груз
9* |
259 |
будет двигаться вдоль оси у, а стержень — изгибаться по схеме двухопорной балки с консолью. Рассмотрим сво бодные колебания, которые вызваны некоторым начальным возмущением изображенного на рисунке равновесного сос тояния. Пренебрегая восстанавливающим действием силы тяжести, т. е. считая, что восстанавливающей силой яв
|
ляется |
только сила |
|
упругости |
стержня, |
|||
т |
можно |
записать |
дифференциальное урав |
|||||
нение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
niy+ cy= О, |
(34.1) |
|||||
и |
|
|
||||||
где т — масса |
груза, |
с — коэффициент |
||||||
|
жесткости |
стержня. Втулка 3, |
если она |
|||||
|
достаточно |
короткая, |
создает |
условия, |
||||
|
близкие к условиям шарнирного опирапия |
|||||||
7 |
стержня; соответственно коэффициент жест |
|||||||
кости с можно определить по известной |
||||||||
формуле сопротивления |
материалов |
|||||||
|
|
с |
= |
3£7 |
|
(34.2) |
||
Рис. 34.1. Упру |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гий стержень с |
Здесь |
предполагается, |
что стержень имеет |
|||||
дополнительной |
||||||||
опорой в виде |
постоянное |
поперечное сечение с моментом |
||||||
втулки |
инерции J ; через Е обозначен модуль упру |
|||||||
|
гости |
материала |
стержня. |
|
||||
Таким образом, дифференциальное уравнение (34.1) |
||||||||
принимает вид |
|
|
3EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
У " о. |
|
(34.3) |
|||
|
|
ml (I s)* |
|
Если расстояние s постоянно, то дифференциальное уравнение (34.3) описывает свободные колебания массы около ее среднего положения, причем дробь 3ЕЛ[т Ц1— —s)2] представляет собой квадрат частоты свободных коле баний.
Допустим теперь, что втулка 3 скользит вдоль срежня 2, следуя заданному закону
s *= s0— Л cos « /, |
(34.4) |
|
т. с. совершает гармонические колебания |
с амплитудой |
А |
и круговой частотой со; здесь s„— среднее расстояние |
от |
втулки до верхнего шарнира. В этом случае коэффициент жесткости оказывается функцией времени
с = |
777- .. |
.........(34.5) |
|
’ I { l —iu |
A cos о>гЯ’ |
260