книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

увеличение приходящегося на стержень усилия Я***, т. е. значение АР больше нуля.

Догружающие системы могут встретиться чаще, чем это можно предположить. Такова, например, казалось бы, ни* чем не примечательная система, изображенная на рис. 19.2. Допустим, что с ростом нагрузки Q стержень достигает кри­ тического состояния и при продольном изгибе подвижная опора переходит из положения I в положение //. Очевид­ но, что при опускании опоры усилие в стержне возрастает, т. е. система относится к категории догружающих.

В подобных случаях по формуле (19.7) получится

Как было сказано выше, изложен­ ное решение построено в духе концеп­ ций Эйлера и Кармана и исследова­ ние устойчивости выполнялось в пред­ положении одинаковости нагрузки Q как в основном состоянии равнове­ сия, так и в отклоненном состоянии. В § 18 мы отмечали, что такой подход накладывает на решение дополнитель­

ное ограничение, которого в действительности не сущест­ вует.

Если исследовать ту же задачу с позиции, предложенной Шенли, то окажется, что потеря устойчивости происходит уже при касательно-модульной силе Р ф, т. е. так же, как если бы стержень был изолированным.

Конечно, это не означает одинаковой опасности дости­ жения критического состоянии лишними стержнями и стержнями, в которых сжимающее усилие статически опре­ делимо. Уместно привести следующие слова И.М. Рабино­ вича: «Критическая нагрузка статически определимых стержней с полным основанием могла бы быть названа „катастрофической"... Критическая нагрузка „лишнего" стержня не является катастрофической, так как ферма, вообще говоря, осталась бы неизменяемой и после совер­ шенного выхода из строя этого стержня} тем более она оста­ ется неизменяемой при частичном ослаблении работы стерж­ ня. наступающем после его выпучивания в результате про­ дольного изгиба».

Исследование И. М. Рабиновича изложено в его работе «Об устой­ чивости стержней в статически неопределимых системах» (М.; Л.: Гострансиздат, 1932). Работу А. А. Ильюшина «Об упруго-пластиче­ ской устойчивости конструкции, включающей стержневые элементы»

151

см. в «Инженерном сборнике» (1960, т. XXVII); развитие решения А. А. Ильюшина см. в статье В. Г. Зубчанинова «Устойчивость стерж­ ней за пределом упругости в некоторых конструкциях» (Инж. сб„ 1960, т. XXVIII) и в ряде его последующих публикаций.

Рассмотрение тех же вопросов в условиях продолжающегося на­ гружения см. в статье Я. Г1аковко «О продольном упруго-пластиче­

Подлинная слава итальянского города Пизы, несомнен­ но, в том, что здесь родился великий Галилей. Ио своей шумной известностью Пиза обязана знаменитой падающей башне. Постепенное наклонение башни, замеченное почти в самом начале постройки, все больше увеличивается. Этот неумолимый, уникальный по длительности и отчетливости процесс можно трактовать как своеобразную потерю устой­ чивости, связанную со свойствами ползучести основания.

Потеря устойчивости при ползучести — явление, пред­ ставляющее определенную опасность и для менее знамени­ тых, но немаловажных технических объектов, в особенности при повышенных температурах. Переходя к упрощенному анализу потери устойчивости этого типа, нужно прежде всего подчеркнуть, что для теоретического решения всякой задачи о нагружении конструкции с учетом ползучести не­ обходимо исходить из определенного закона ползучести — связи между действующим напряжением о и скоростью

ползучести %; во многих случаях экспериментальные данные позволяют принять этот закон (определяющее уравнение) в

виде степенной зависимости:

где Х и т — постоянные материала (при фиксированной температуре).

Если сами напряжения меняются во времени, необходи­ мо учесть также переменность и упругих деформаций; ско­ рость упругой деформации определяется из закона Гука:

Таким образом, суммарная скорость деформации зависит как от напряжения, так и от скорости его изменения:

1S2

Такие упрощенные представления достаточны для выясне­ ния особенностей потери устойчивости при ползучести; мы будем придерживаться этих представлений, хотя опыт­ ные данные допускают также другие варианты записи опре­ деляющего уравнения.

Существуют два подхода к анализу потери устойчивости при ползучести. П е р в ы й из них предполагает идеаль­ ные условия (отсутствие начальной погиби и эксцентрисите­ та сжимающей силы); при этом выпучивание происходит после некоторых начальных возмущений (удара или на­ чального смещения). В т о р о й подход основан на учете тех или иных «врожденных» иеидеальностей (например, на­ чальной погиби); именно таким образом мы и будем рас­ сматривать задачу.

Как и в предыдущих параграфах этой главы, восполь­ зуемся моделью стойки, изображенной на рис. 20.1, считая, что ползучесть материала опорных стержней описывается уравнением (20.3). Представим себе, что стойка нагружена

причем напряжения в опорных стерж­ нях не превосходят предела пропор­ циональности.

Допустим, что до нагружения ось стойки имела начальное малое отклоне­ ние от вертикали на угол q>0oТогда сра­ зу после приложения нагрузки Р угол отклонения будет равен

правом стержне с самого начала несколько больше напря­ жения, развивающегося в левом стержне. Из-за разного уровня напряжений ползучесть обоих стержней будет про­ текать по-разному. Согласно соотношению (20.3) деформа­ ции правого стержня будут расти быстрее, чем деформации левого стержня. Важно заметить, что вследствие этого асим­ метрия системы будет усугубляться; следовательно, раз­ ница в скоростях деформации обоих стержней будет увели­

153

чиваться. Все это означает, что отклонение оси стойки от вертикали будет происходить со все более возрастающей скоростью.

Строго говоря, исследуемые здесь процессы являются динамическими. Но так как они сравнительно медленны, то инерционные эффекты можно приближенно считать от­ сутствующими и вместо дифференциальных уравнений движения записывать и иссле­

довать уравнения равновесия. Любопытная особенность рассматривае­

мого явления состоит в том, что постоян­ ной нагрузке соответствуют изменяющиеся напряжения в стержнях и именно благода­

Здесь по-прежнему Ь— расстояние между опорными стерж­ нями, I — высота стойки. Из этих уравнений находим сжи­ мающие усилия в обоих стержнях:

154

правые части — выражения (20.7); тогда получим

(20.9)

Этими соотношениями скорости укорочений обоих опорных стержней связаны с углом отклонения стойки; но между самими укорочениями и этим углом существует очевидная зависимость

дифференцируя которую по времени, находим

При учете выражений (20.9) получим дифференциальное уравнение для угла ф отклонения стоики:

* - * ( ( • + ¥ ) * - ( ' - ¥ ) * 1 ( £ ) ' + т й г -

Оно допускает разделение переменных и, таким образом, приводит к квадратуре. Пусть, например, т —3 *); тогда вместо (20.12) получим

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

Для определения посгоянной С нужно воспользоваться на­ чальным условием

*) Конечно, для реальных материалов т может не быть целым числом. Мы принимаем т целым для упрощения решения; предполагая, что т нечетное, мы достигаем единого описания процесса как для сжа­ тия, так и для растяжения.

155

которое дает

С1п ~Ц*+ 1,5 (М>*

Возвращаясь теперь к выражению (20.15), окончательно находим угол ф в функции времени:

в * к Ц Ы 1 1*

(20.18)

еш (*//)*j

V 1,5( т ) + 2ч!»[| -

Заметим, что с возрастанием времени знаменатель под­ коренного выражения постепенно уменьшается и при неко­ тором значении /кр становится равным пулю, т. е. угол от­ клонения стойки ф стремится к бесконечности. Значение /,ф определяет, можно сказать, срок жизни стойки; это зна­ чение называют критическим временем.

Из выражения (20.18) можно найти, что критическое время равно

(20.19)

Очевидно, что при любой заданной силе Р > 0 в конце кон­ цов происходит потеря устойчивости, и поэтому о критиче­ ской силе здесь говорить трудно; гораздо большей опреде­ ленностью обладает понятие критического времени.

Для иллюстрации примем следующие значения' посто­ янных: £=5*104 кгс/см\ л.= 17 100 кгс*см~2 -с'-'*, //6=100, а'Ь=4, ф«о=2-10-4, F—1 см*.

При этих значениях находим по формуле (17.10) Р э= =625 кгс. Положим, что Р=500 кге, т. е. условие Р<.Р9

выполнено.

Теперь по формуле (20.5) вычисляем ф0=Ю~*. На рис. 20.3 представлена зависимость ф = ф ( /) , вычисленная с помощью выражения (20.18). Критическое время по форму­ ле (20.19) равно /,ф= 28 с.

Как видно из формулы (20.19), критическое время за­

висит не только от параметров самой стойки, но и от значе­ ния сжимающей силы Р, точнее — от отношения PiP9.

На рис. 20.4 изображена зависимость критического време­ ни от значения силы Р для условий решенного выше при­ мера. Если Р=Р„, то /кр= 0 и отойка теряет устойчивость сразу после нагружения.

156

Любопытно отметить, что при линейной связи скорости установившейся ползучести с действующим напряжением

В самом деле, полагая в дифференциальном уравнении (20.12) т= 1, получаем

Интегрируя при прежнем начальном условии (20.16), на­ ходим

Эта зависимость гораздо «спокойнее» зависимости (20.18),

так как хотя угол <р увеличивается с возрастающей скоро­ стью, но остается ограниченным при любом конечном t. В этом случае можно условно считать, что потеря устойчи­ вости соответствует моменту, когда скорость возрастания угла ф достигает некоторого заданного значения.

Первые исследования в этой области принадлежат А. Р. Ржаня- ULIHV (см. его статью «Процессы деформирования конструкций из упру­ го-вязких элементов» — Доклады АНСССР, 1946, т. 52, № I), А. Д. Рос­ су (см. журнал «The Struct. Eng.» № 8 за 1946 г. и № 5 за 1947 г.), Д. М. Фрсйденталю (доклад на VI Международном съезде но приклад­

157

Ч а с т ь в т о р а я

КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ

ВВЕДЕНИЕ

Теория механических колебаний имеет многочислен­ ные и весьма разнообразные приложения едва ли не во всех областях техники. Независимо от назначения и кон­ структивного облика различных механических систем их колебания подчиняются одним и тем же физическим зако­ номерностям, изучение которых и составляет предмет об­ щей теории.

Наиболее полно разработана линейная теория колеба­ ний. Еще в XVII! веке в «Аналитической механике» Лаг­ ранжа она была развита для систем с несколькими степенями свободы. В работах ряда авторов XIX века, особенно Рэ­ лея *), были заложены основы линейной теории колебаний систем с бесконечным числом степеней свободы (т. е. с не­ прерывным распределением массы по всему объему дефор­ мируемой системы). В XX веке линейная теория, можно сказать, была завершена; ныне сложность исследований ко­ лебательных процессов в линейных системах связана лишь с правильностью отбора существенных степеней свободы и определением внешних воздействий, т. е. с выбором расчет­ ной схемы. Некоторые вопросы линейной теории рассмат­ риваются ниже, в гл. VI.

Многие задачи о колебаниях механических систем в зависимости от конкретных соотношений между парамет­

рами допускают как линейную, так и нелинейную поста­ новку. Таковы, например, задачи о действии подвижной нагрузки, которые возникли уже более ста лет назад при

*) Джон Уильям Стретт {лорд Рэлей) (1842— 1919) — английский физик, автор ряда работ по теории колебаний, акустике, оптике. Член (с 1873 г.) и президент (1905—1908 гг.) Лондонского королев­ ского общества. Иностранный член-корреспондент Петербургской Ака­ демии наук (с 1896 г.).

159

проектировании больших железнодорожных мостов; впос­ ледствии определились также другие области приложения той же теории (например, колебания трубопроводов). Спе­ цифика этих задач выражена настолько ярко, что мы по­ святили им отдельную главу (гл. VII); теми же соображени­ ями мы руководствовались при выделении в особую главу (гл. VIII) своеобразных задач динамической аэроупругости, представляющих большую важность не только для летатель­ ных аппаратов, по и для некоторых конструкций сугубо «земного» назначения.

Последняя глава IX посвящена принципиально нелиней­ ным задачам. Многие физические явления, наблюдаемые при колебаниях механических систем, невозможно объяс­ нить, опираясь только на линейную теорию. Поэтому бурно развивающаяся в последнее время нелинейная теория колебаний служит в основном не для того, чтобы найти малые количественные поправки к результатам, получаемым из линейной теории. Роль нелинейной теории гораздо важ­ нее — с ее помощью должны быть описаны явления, ко­ торые ускользают из поля зрения при всякой попытке ли­ неаризовать рассматриваемую задачу.

К сожалению, нелинейные уравнения, как правило, не поддаются решению в замкнутом виде. Поэтому усилия создателей нелинейной теории, начиная с Пуанкаре *) и Ляпунова **), были направлены на построение рацио­ нальных алгоритмов, позволяющих получить приближен­ ные результаты того или иного уровня точности. Некото­ рые из методов нелинейной теории дают возможность строить последовательные приближения; таковы методы Пуанкаре к Ляпунова, метод Крылова ***) — Боголюбова; другие методы, например, метод ван дер Поля, позволяют получить только первое приближение (если считать, что линейная теория дает нулевое приближение).

*) Анри Пуанкаре (1354—1912) — французский математик, член Парижской Академии наук с 1887 г. Основные работы посвящены ка­ чественной теории дифференциальных уравнений, математической

работ по математической физике и механике. С 1922 г,— действитель­ ный член АН УССР, с 1928 г.— члсн-коррсспондент АН СССР, с 1929 г.— академик.

150