книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки
.pdfи вместо однородною дифференциального уравнения (4.32) мы получим неоднородное дифференциальное уравнение
<Ру |
(9.19) |
Az‘ + S |
|
Напомним, что параметр s определяется формулой |
(4.33) |
я пропорционален скорости течения жидкости. Рассматри ваемым граничным условиям и дифференциальному урав
нению (9.19) удовлетворяет |
решение |
У |
(9 20) |
Отсюда можно заключить, что критическое состояние на
ступает при |
|
sl — 2n, |
(921) |
т. е. при скорости течения жидкости вдвое большей, чем было найдено в §4 (см. формулу (4.37)).
Конечно, невозможно себе представить, чтобы пред варительная (и притом сколь угодно малая) погибь тру бопровода могла вдвое повысить его устойчивость. Все дело в том, что само решение (9.20) при sl=n становится неустойчивым, и мы можем убедиться в этом, исследуя диф ференциальное уравнение в вариациях.
Для этого предположим, что дифференциальное уравне ние (9.19) удовлетворяется не только найденным решением (9.20), но и смежным решением у(г)+Ъу(г). Подставив эту
сумму в (9.19) и вычтя из |
результата (9.19), |
мы получим |
||
d l ( 6у ) |
., d*(6у ) |
= 0. |
(9.22) |
|
й г * |
' |
<tz* |
||
Отсюда, согласно сказанному |
в §4, |
следует, что при si—я |
существует ненулевое решение для функции by(2); это сви детельствует о неустойчивости решения (9.20) при si—л.
Таким образом, формально пользуясь деформационными расчетами (методом неидеальностей), мы можем не заметить некоторых критических состояний.
Нужно помнить об этой особенности деформационных расчетов (настоящий параграф и призван служить таким напоминанием), но в то же время было бы совершенно неверным преувеличивать ее значение. Деформационные
расчеты, как правило, |
дают вполне надежные результа |
ты (приведенные выше |
примеры, конечно, исключение), |
81
особенно если надлежащим образом учтены нелинейности и неидеальности системы.
Работу Г. Циглера см. в сборнике «Проблемы механики», вып. I I (М .: И Л , 1959, с. 119). Об ошибке, допущенной в книге B U r g e r m c is le r u. Steup «SUbilitatstheorie» (т. 1, Berlin, 1957. с. 583), см.: А . А . Пиков* ский «Статика стержневых систем со сжатыми элементами» (М .: Физматл», 1961, с. 361— 362). См. также доклад В. В . Болотина «О понятии устойчивости в строительной механике» (сб. «Проблемы устойчивости
в строительной механике».— М .: |
Стройиздат, 1965, с, 23—24). |
§ Ю. Две дискуссии |
|
(о решениях Р. Лоренца |
и В. 3* Власова) |
В этом параграфе мы остановимся на особенностях постановки задач об устойчивости двух различных расчет ных объектов равномерно сжатой вдоль оси цилиндри ческой оболочки (в предположении малых осесимметрич ных перемещений) и внецеитренно сжатого тонкостенного стержня с открытым профилем (рис. 10.1). Обе задачи
Рис. 10.1. а) Схема цилин дрической круговой обо лочки; б) элементарная балка-полоска; «) анеценгрекно сжатый тонкостей* ный стержень открытого
профиля
были решены давно: первая в 1908 г., а вторая в 1940 г., но впоследствии они дали повод для оживления споров, полностью не утихших до настоящего времени. Как мы
увидим ниже, |
в конечном счете дело |
в том, что о б е и м |
|
с и с т е м а м |
о р г а н и ч е с к и |
п р и с у щ и |
не- |
и д е а л ь н о с т и и «чистая» эйлерова постановка задач, основанная на предположении, что неидеальности отсут ствуют, попросту невозможна. Тем не менее в решениях Р. Лоренца и В. 3. Власова (первых исследователей ука занных задач) можно заметить стремление игнорировать
62
неидеальности и рассматривать системы как эйлеровы. Именно в этом и состоит спорный элемент обоих решений.
Осесимметричное выпучивание круговой цилиндрической оболочки, равномерно сжатой вдоль образующих. Истори чески оправдано, что в первом решении, которое дал Р. Ло ренц, эта задача была предельно упрощена; в частности, было предположено, что при потере устойчивости все об разующие изгибаются совершенно одинаково. Этим, оче видно, произвольным (но не абсурдным) предположением Лоренц исключил из рассмотрения иные варианты разви тия деформации оболочки; лишь много позднее выяснилось огромное значение неосесимметричных форм потери устой чивости. Понятно, что такое предположение — как и вся кое априорное утверждение о виде деформированной по верхности — вносит погрешность вполне определенного знака, а именно в сторону завышения критического значе ния нагрузки; однако здесь нас будет интересовать другая сторона решения Лорейна, в сущности, не связанная с только что указанным допущением. Но прежде всего напом ним основные элементы этого решения.
Рассмотрим элементарную балку-полоску, выделенную двумя смежными меридиональными сечениями, проходя щими через ось оболочки (рис. 10.1,6). Вследствие пред положенной осевой симметрии деформированного состояния (рис. 10.1, «) изгибы всех таких балок-полосок тождествен ны и каждая из них представляет собой балку, лежащую на сплошном упругом основании; для любой данной балкиполоски роль упругого основания играет остальная часть оболочки.
Обозначим: г — координата сечения, измеряемая вдоль оси оболочки, w=w(z) — прогиб точек срединной поверх ности, Т — сжимающая сила, отнесенная к единице дчины контура поперечного сечения, D = £ ’A*/|I2(I—р*)| — ци линдрическая жесткость, h — толщина стенки, р — коэф фициент Пуассона, k=Eh!R*, R — радиус поперечного се чения срединной поверхности. При этих обозначениях диф ференциальное уравнение продольного изгиба балки-поло ски записывается в виде
4*2) |
Т 4*2! , к |
п |
( 10. 1) |
|
|
|
1,г* " Г)
К этому дифференциальному уравнению необходимо при соединить граничные условия, зависящие от вида опорных устройств на торцах оболочки. Лоренц остановился на
случае шарнирного опирання торцевых сечений и принял
Jiff»
w —0, *5р - —0 при 2— 0 и г = 1. (10.2)
В этом случае решение дифференциальногоуравнения (10.1) имеет вид
ш - C s i n ^ . |
(10.3) |
Здесь п — произвольное целое число, равное числу полу волн, на которые подразделяется образующая оболочки при потере устойчивости. Подставляя (10.3) в (10.1), по лучим уравнение
( - г У - И т О ' + т - * |
<10-4> |
из которого следует выражение для критического сжимаю щего усилия:
Г _ 0 ( - = 2 . ) ‘ + * ( ^ ) \ |
(10.5) |
Как видно, результат зависит от числа п. Последнее мож но найти, исходя из условий, что практическое значение имеет наименьшая нагрузка, которая может быть получена из формулы (10.5). Полагая, что л>1 (это допустимо для достаточно длинных оболочек), можно рассматривать Т как функцию непрерывного аргумента п и записать уеловне минимума Т в виде
ci| о. |
II о |
Зго дает |
|
/ У 12(1-11*) |
|
п~ |
л у м ’ |
и вместо (10.5) получим
(10.6)
(Ю.7)
(10.8)
Отсюда, 8 частности, вытекает выражение (6.4), которое уже обсуждалось (правда, в другой связи) в § 6. Вскоре после Лоренца С. П. Тимошенко пришел к тому же резуль
тату (10.8), пользуясь эперготическим методом; |
при этом |
в основу решения было положено выражение |
(10.3). |
В 1926 г. Л. Феппль обратил внимание на особую роль, которую играет граничное условие » = 0 в рассматриваемой
84
задаче. Дело в том, что вследствие эффекта Пуассона уже с самого начала нагружения возникает тенденция к поле* речному расширению оболочки. Поэтому, если закрепление
концов именно такое, как это принял Лоренц, т. е. ® =0 при г—0 и г—1, то уже при малых нагрузках срединная
поверхность должна принять бочкообразную форму. Следо вательно, изгиб образующих в с е в р е м я с о п у т с т в у е т продольному нагружению и перестает служить при знаком потери устойчивости. Допустима ли для этой задачи эйлерова постановка, которой воспользовался Лоренц?
Этот вопрос был разъяснен И. Геккелером в 1928 г. Его рассуждения сводятся к следующему. Для изолиро ванной шарнирно опертой балки-полоски на упругом осно вании решение Лоренца верно, но для оболочки уравнения задачи нужно записывать несколько иначе. Полное пере мещение w следует представить в виде суммы двух сла
гаемых: |
|
ш=м>в+ ш „ |
(10.9) |
где |
|
|
(Ю.10) |
есть одинаковое для всех точек срединной поверхности перемещение, вызываемое осевым сжатием оболочки, а а>,(г) — перемещение, возникающее вследствие изгиба об разующих и соответственно удовлетворяющее дифференци альному уравнению
rfJSI . т |
, k |
0. |
( 10. 11) |
|
d z * |
О |
|||
|
|
Если на торцах оболочки граничные условия для функ ции w имеют вид (10.2), то соответственно для функции ш, граничные условия следует записывать в виде
ф| = — |
= 0 ПРИ г = 0 и z ~ l . (10. 12) |
Таким образом, задача сводится к интегрированию одно
родного дифференциального уравнения (10.11), но при неоднородных граничных условиях (10.12).
Возможен также другой, эквивалентный вариант записи уравнений задачи. Подставим в (10.11)
— W t , |
(10.13) |
65
как это следует из (10.9). Тогда получим н е о д н о р о д н о е дифференциальное уравнение
d xw |
Т |
d * w |
, к |
_ у .Т |
(10.14) |
|
d z * ' О |
d z * |
' D w ~ R D |
||||
|
при однородных граничных условиях (10.2). Следовательно, при правильной постановке задача в це
лом оказывается н е о д н о р о д н о й ; |
пользуясь любым |
||||||||
|
|
|
вариантом — (10.11), |
(10.12) |
|||||
|
|
|
или |
(10.14), |
(10.2),— можно |
||||
|
|
|
определить, как с ростом наг |
||||||
|
|
|
рузки постепенно развивают |
||||||
|
|
|
ся |
прогибы |
оболочки. |
На |
|||
|
|
|
рис. 10.2 показаны последова |
||||||
|
|
|
тельно развивающиеся формы |
||||||
|
|
|
изгиба образующих |
при раз |
|||||
|
|
|
личных |
возрастающих значе |
|||||
|
|
|
ниях сжимающего усилия. |
||||||
|
|
|
Как видно, при малых наг |
||||||
|
|
|
рузках изгиб в основном лока |
||||||
|
|
|
лизуется |
вблизи торцов |
обо |
||||
Рис. 10.2. Последовательное раз* |
лочки и носит характер |
мест |
|||||||
ного эффекта; с ростом нагруз |
|||||||||
витие изгиба |
образующей |
при |
|||||||
возрастании |
сжимающей |
на |
ки |
изгиб |
постепенно |
охваты |
|||
грузки |
|
вает все большую область, а |
|||||||
|
|
|
затухание краевого |
эффекта |
становится все более слабым. Как оказывается, при нагруз ке, определяемой формулой Лоренца — Тимошенко, пере мещения становятся неограниченно большими. Поэтому формуле (10.8) можно приписать известное формальное зна чение — она определяет критическую нагрузку в смысле метода неидеальностей (см. начало §9).
Таким образом, при правильном анализе эйлерова постановка задачи невозможна и речь может идти о д е ф о р м а ц и о н н о м р а с ч е т е , т. е. исследовании постепенно развивающегося изгиба. Но при такой трактовке необходимо учитывать нелинейные явления. По мере раз вития изгиба эти влияния будут сказываться все более заметно, и притом задолго до того, как сжимающее усилие достигнет значения (10.8). Так, неизбежно возникнут пластические деформации (прежде всего у концов оболочки, где изгиб наиболее интенсивен), после чего использование чисто упругих соотношений вообще становится невозмож ным. По этой причине формула Лоренца — Тимошенко не может правильно ответить также и на вопрос о критической
66
силе, понимаемой в смысле метода неидеальиостей. Единст венное значение, которое можно придавать указанной фор муле,— это значение довольно грубой в е р х н е й о ц е н- к и критической нагрузки.
При иных граничных условиях может стать уместной эйлерова постановка задачи. Пусть, например, на торцах оболочки отсутствуют изгибающие моменты, а также связи, препятствующие радиальным перемещениям точек средин ной поверхности. Тогда граничные условия должны быть записал» в виде
dbt> |
л |
d*a> , |
Т dw |
л |
п |
» |
/«л |
- ^ |
= °> |
+ |
- 5 Ч Г |
^ ° |
ПРИ 2 = 0 |
и Z = L |
<1015) |
Согласно соотношению (10.9) те же граничные условия от
носятся и |
к |
функции av |
§ г = 0, |
1 ? |
+ ‘F ' S ‘ = 0 пРи z==0 и z ^ L <10-i6> |
Таким образом, задача сводится к интегрированию одно родного дифференциального уравнения (10.11) при одно родных же граничных условиях (10.16); на решении этой эйлеровой задачи мы не будем останавливаться (она иссле дована Н. А. Кильчевским в 1942 г., а затем им же вместе
с С. Н. Никулинской в 1965 г.).
Потеряустойчивости внецентренносжатоготонкостен ного стержня. В 1929 г. Г. Вагнер впервые исследовал
крутильную форму потери устойчивости центрально сжа того тонкостенного стержня с открытым профилем. При этом Вагнер принял, что переход в закрученную форму равновесия происходит в виде поворотов сечений вокруг центров изгиба. Позднее было замечено, что допущение Вагнера необоснованно и, как правило, не соответствует действительности. В 193? г. Лундквисг и Флнгг определил» координаты центра поворота сечений из условия минимума критического значения сжимающей силы.
Однако существует частный случай, для которого теория В атера оказывается верной: если центр изгиба и центр тяжести сечения совпадают (например, в случаях двутавро вого или зетового сечений), то в той же точке располагается и центр поворота при крутильной форме потери устойчи вости. Немного задержимся на этом частном случае, кото рый обладает одной любопытной особенностью. В указан ном случае критическая сила определяется выражением
87
(имейся в ййду шарнирное закрепление концов)
1 / л*EJm |
(10.17| |
|
г), \ Р |
||
|
Здесь / — длина стержня, EJ,a— секториальная жесткость, GJK ~ жесткость свободного кручения, гр — полярный ра диус инерции поперечного сечения. Разумеется, это зна чение окажется расчетным, если оно меньше критической силы, соответствующей изгибной форме потери устойчи вости:
Р , - ^ " 11'1. |
(10.18) |
{EJ(пи, — наименьшая жесткость нри изгибе). В случаях, когда поперечное сечение обладает нулевой секториальной жесткостью (например, крестообразное сечение, сечение в форме уголка и т. п.), формула (10.17) приобретает вид
(10.19)
'р
Отсюда следует неожиданный вывод о том, что в рассмат риваемых случаях критическая сила, соответствующая крутильной форме потерн устойчивости, н е з а в и с и т о т д л и н ы с т е р ж н я .
Для весьма длинных стержней критическая сила опре деляется формулой (10.18). С уменьшением длины крити ческая сила (10.18), определяющая изгибную форму потери устойчивости, будет постепенно увеличиваться и, наконец, сравняется с критической силой (10.19). Длина «равиоустойчивого» стержня определяется из равенства выражений (10.18) и (10.19):
= |
(10. 20) |
Для всех стержней, имеющих длину /< /* , расчетным ока жется одно и то же значение (10.19), и дальнейшим умень шением длины стержня нельзя добиться никакого увеличе ния критического значения сжимающей силы. Мы не будем углубляться в причины этого, по-видимому, физически несостоятельного вывода: они далеко выходят за пределы темы настоящего параграфа; заметим только, что все дело в приближенности технической теории тонкостенных стержней и, в частности, в гипотезе нелеформируемости контура сечения,— ионятно, что чем короче стержень, тем
68
менее надежна эта гипотеза *). Вернемся теперь к основ ной теме.
Общую теорию устойчивости тонкостенных стержней с открытым профилем разработал В. 3. Власов **); его результаты были опубликованы в 1940 г. Остановимся на решенной им задаче о внецентренном сжатии тонкостенного стержня и обозначим: г — координата сечения, измеряемая вдоль оси стержня, х, у — координаты точек сечения в си стеме главных центральных осей инерции, a*, av — коорди наты центра изгиба, |(г) и л (г) — перемещения центра из
гиба, 6 (г) — угол |
поворота |
сечения, |
|
|
||
, |
У ? |
|
? |
|
< |
(Ю.21) |
р* = - 2 7 7 ( 3 y3dF + |
S * |
у |
) |
|
||
|
\(F) |
|
(Я |
|
|
|
— специальные геометрические |
характеристики |
сечения, |
||||
N, М х и М„ — продольная |
сила и изгибающие моменты |
в текущем сечении. Тогда система дифференциальных урав нений, определяющих изгиб и кручение стержня, принимает вид
EJ,tr |
-Ь Л 'М -(а(//У + Л 4 ,)0 = |
М ;(, |
|
|
E J X |
+ Л'г| ~ ( a xN — М у) 0 = |
- Л1„ |
( 10.22) |
|
{aeN -\-Mx) l —(axN —M9)r\ + EJaP’ + |
||||
|
+ (r'N + 2ft,/И„ - 2 р уМх—GJk) 0 - 0.
Как видно, эти уравнения неоднородны, и в общем случае при внецентренном сжатии одновременно происходит не только сжатие и изгиб стержня, но и его закручивание. Отметим два исключения из этого общего правила.
а. Сжимающая сила приложена в центрах изгиба торце*
вых сечений. В этом случае |
(рис. 10.3, а) |
|
Мх- - V * . |
M, - ° S |
(Ю-23> |
* ) Эта особенность вскользь отмечена во втором томе книги: Тимошенко С. П . Сопротивление материалов,— М .: Н аука, 1966, с. 226.
* * ) Василий Захарович Власов (1906— 1958) — с 1936 г. н до конца своих дней профессор Московского инженерно-строительного инсти тута. С 1953 к — член-корреспондент Академии паук СССР Автор мно гочисленных исследований в области теории юикостенных конструкций и оболочек.
49
и дифференциальные уравнения (10.22) приобретают вид
E J ^' + P t - a S ,
E J X + P n - a f , (10.24) + (r'P + 2$х0хР + 2P(,,auP - G J k) б = 0.
Структура этих уравнений такова, что в каждое из них входит только одна из функций t| и 0. При этом первые два уравнения неоднородны и описывают продольно-по перечный изгиб стержня в двух главных плоскостях. Третье уравнение определяет закручивание стержня; оно однородно и удовлетворяется тривиальным решением 0= 0 .
Рнс. 10.3. а) Сжимающая сила приложена в центре изгиба тор цевого сечения; б) сжимающая сила приложена в точке, ле жащей на оси симметрии тор
цевого сечении
Однако при определенных — критических — значениях си лы P ~ P KVуравнение имеет также отличное от нуля реше ние, описывающее закручивание стержня при потере устой
чивости. Задача |
определения Якр |
является, |
очевидно, |
э й л е р о в о й |
з а д а ч е й . |
(например, |
ось х — |
б. Сечение имеет ось симметрии |
см. рис. 10.3, б), и сжимающиесилы лежат$ плоскости сим• метрии хг. Обозначив через е эксцентриситет сжимающей силы, имеем
= Р,, = |
0, Л 4,= 0, Мч = Ре, |
(10.25) |
и дифференциальные |
уравнения (10.22) записываются так: |
|
|
EJvr + P\ = Pe, |
|
|
EJxrf + Pr\-P(ax-e)Q= 0, |
(10.26) |
- Р (ах~е) т]+ EJJBT + (Яг* + 2PM -G V *) 0 = 0.
В данном случае основная форма равновесия представляет собой изгиб в плоскости симметрии уг и определяется первым (неоднородным) дифференциальным уравнением