книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

замедляется и, наконец, полностью останавливается. В принципе не исключено, что амплитуды установив­ шихся колебаний при развившемся панельном флаттере окажутся относительно небольшими и не создающими

дования панельного флаттера нередко ориентированы на решение н е л и н е й н ы х задач — только после этого можно оценить, в самом ли деле опасна колебательная не­ устойчивость, возникающая после достижения критиче­ ской скоросги панельного флаттера (нельзя забывать об угрозе усталостного разрушения!).

В заключение отметим, что в некоторых случаях по­ ток газа (жидкости) может оказать действие, противо­

устойчива. Например, критическое напряжение сжатия для панели, обтекаемой потоком, может оказаться большим, чем в неподвижной среде (разумеется, при скорости по­ тока меньшей, чем критическая). В некотором смысле этот эффект похож на столь же неожиданное стабилизи­ рующее действие вибраций, о котором было сказано в § 34.

Среди первых публикаций в области панельного флаттера отметим работу А. А. Мовчана «О колебаниях пластинки, движущейся в газе» (ПММ, 1956, т. 20, № 2); см. также книгу В. В. Болотина «Неконсерватнвные задачи упругой устойчивости» (М.: Физматгнз, 1961). Возмож­ ность стабилизирующего влияния потока отмечена 8 докладе Э. И. Григолюка, Р. Е. Лаипера и Л. Г. Шандарова на Всесоюзной конференции

B. В. Болотина «Стабилизирующие и дестабилизирующие эффекты в механике деформируемых систем» (VI Канадский конгресс по прикладной механике, Ванкувер, 1977).

Работа Г. Г. Денисова и В. В. Новикова «О влиянии внутреннего трения на устойчивость одномерных упругих систем» опубликована в сб. «Динамика систем», вып. 5, Изд-во Горьковского уи-та, 1975.

§42. Такомская авария; срывной флаттер

Висячие мосты обладают рядом технических, эконо­ мических и эстетических достоинств по сравнению с кон­ струкциями мостов других типов. Многие из них пред-

311

ставляют собой замечательные инженерные сооружения, а наибольшие пролеты перекрыты именно висячими мостами. Однако уже давно было замечено, что висячие мосты весьма ненадежны при сильном ветре, и история

В1852 г. рухнул мост Ларош-Бернар (Франция),

Уиллинг. Вот как это событие описывает очевидец: «В те­ чение нескольких минут мы следили с тревогой за коле­ баниями, подобными качке корабля в шторм. Один раз мост поднялся почти на высоту пилонов и затем опустился; при этом вдоль всего пролета произошло скручивание, и одна половина проезжей части почти перевернулась. Затем огромная конструкция с головокружительной вы­ соты устремилась в реку с ужасным треском и грохотом». Следующие крупные катастрофы произошли в 1864 г. и 1889 г. с висячими мостами через реку Ниагару. Про­ леты мостов составляли соответственно 320 и 386 м.

Обстоятельства катастроф известны не вполне досто­ верно, за исключением только того, что все они происхо­ дили в сильную бурю и им предшествовали чрезвычайно большие колебания. Эти аварии насторожили инженеров, но не воспрепятствовали строительству новых висячих мостов; их продолжали строить, особенно в тех случаях, когда было необходимо перекрыть большие пролеты. .

Вот как выглядит таблица рекордных пролетов, пере­ крытых висячими мостами в XX веке:

1903 г.— 488 м (Вильямсбург),

1-926 г.— 533 м (р. Делавар),

1929 г.— 563 м (Детройт),

1931 г.— 1067 м (р. Гудзон),

1938 г.— 1280 м (Сан-Франциско),

1964 г.— 1298 м (Нью-Йорк).

Летом 1940 г. было закончено строительство Таком­ ского моста, имевшего третий в мире по величине пролет (854 м). Так как в этой местности не ожидалось большого движения, то в целях экономии мост был построен очень узким (11,9 м), а проезжая часть была рассчитана только на два ряда автомобилей. Полотно моста было подвешено на двух стальных канатах, диаметром 46 см каждый, со стрелой провеса 70,7 м (рис. 42.1).

212

Сразу после постройки моста обнаружилась его боль­ шая чувствительность к действию ветра, вызывавшего большие колебания с амплитудами, доходившими до по­ лутора метров. Было сделано несколько попыток устра­ нить этот внушавший тревогу недостаток различными конструктивными мерами (введением дополнительных свя­ зей и установкой гидравлических демпферов па пилонах).

Однако . это не • предотвратило катастрофы, которая произошла 7 ноября 1940 г. Начиная с 8 ч утра наблюда­ лись не очень сильные вертикальные многоузловые изгибные колебания моста с частотой 0,6 Гд. Примечательно, что ветер имел не слишком большую скорость — около

Рис. 42.1. Такомский мост постройки 1940 г.

17 м/с, тогда как до этого были случаи, когда мост без по­ вреждений противостоял более сильному ветру.

Около 10 ч утра скорость ветра несколько возросла {до 18,7 м/с), и установились одноузловые изгибно-крутильные колебания со значительно меньшей частотой (0,2 Гд) и весьма большими амплитудами; когда закрутка достигала максимума, проезжая часть наклонилась к горизонту под углом 45°. Резкое изменение частоты колебаний про­ изошло, по-видимому, вследствие обрыва каких-то важных связей в конструкции. Мост выдерживал эти колебания около часа, после чего большой участок проезжей части полотна отломился и упал в воду.

Любопытно, что аварию Такомского моста удалось запечатлеть на кинопленке; этот уникальный фильм дал чрезвычайно много ценного материала для исследования причин обрушения,

На рис. 42.2 воспроизведен один из кадров этого фильма, показывающий состояние моста за полчаса до разрушения. Здесь отчетливо виден изгибно-крутильпый характер ко­ лебаний.

Крушение Такомского моста естественно привлекло огромное внимание исследователей. Почти немедленно после катастрофы Т. Карман-опубликовал расчет крити­ ческой скорости д и в е р г е н ц и и Такомского моста;

313

по вычислениям Кармана эта скорость оказалась равной 22,2 м/с *). Однако разрушение Такомского моста про­ изошло бесспорно вследствие колебаний, и поэтому анализ аэродинамической неустойчивости требовал не статиче­ ской, а динамической постановки задачи.

Впоследствии было сделано несколько попыток связать разрушение Такомского моста с явлением классического флаттера конструкции. Однако в последнее время общее

Рис. 42.2. Колебания проезжей части Такомского моста перед обру­ шением

признание получило другое объяснение, связанное с осо­ быми аэродинамическими эффектами.

Если в потоке воздуха (жидкости) находится плохо обтекаемое препятствие, то за ним образуется вихревой след, причем вихри сбегают с определенной периодично­ стью, зависящей от формы и размеров конструкций, а также от скорости потока. Так. например, при обтекании цилиндра образуется вихревая дорожка, изображенная на рис. 42.3. Направление сбегающих с цилиндра вихрей попеременно меняется, а угловая частота отделения вихрей определяется выражением

*) Если уж говорить о рекордах, то нельзя не отмстить, что своей работой Карман, вероятно, побил все рекорды оперативности — от момента катастрофы до даты опубликования статьи прошло всего четыр­ надцать дней!

О1I

скопов подводных лодок при скоростях около 8 км'ч. Размах» колебаний былу весьма значительными, так как перископ представляет собой весьма гибкую конструкцию, длина которой может в 25—30 раз превосходить диаметр. Такие колебания не только приводят к размыву изобра­ жения, получаемого с помощью перископа, но и угрожают его прочности.

Срывпой флаттер представляет собой сложное явление, в котором, в частности, заключены и обычные вынужденные колебания, вызываемые силой (42.2). Однако в срывном флаттере можно усмотреть и черты аэроупругой неустой­ чивости в прямом смысле этого термина. Одна из возможных

Рис. 42.4. Схема возникновения P-P^inot параметрического закручивающего

момента

трактовок была указана в 1947 г. И. И. Гольденблатом и упрощенно состоит в следующем.

При периодическом отделении вихрей» кроме силы (42.2), направленной перпендикулярно патоку, возникает также периодическая (в первом приближении — гармо­ ническая) сила, действующая на упругую конструкцию вдоль потока. Так, на рис. 42.4 показано действие этой силы Р —P,sin <о< на Н-образное сечение балки, ось ко­ торой перпендикулярна плоскости чертежа; именно таким было сечение обрушившегося Такомского моста. Конечно, пол действием силы будут происходить вынужденные колебания балки в горизонтальной плоскости; но мы должны обратить внимание на другое обстоятельство — если по какой-либо причине сечение оказалось повернутым (см. штриховую линию на рисунке), то сила Р создаст

Внимательный читатель уже здесь отметит, что такой момент представляет собой п а р а м е т р и ч е с к у ю н а ­ г р у з к у и, следовательно, может оказаться причиной

316

параметрического резонанса. В этом случае уместно го­ ворить об аэроупругой неустойчивости, поскольку дей­ ствующий на конструкцию момент зависит от ее движения.

При разработке этого варианта теории обычно учиты­ вают, что одновременно с колебаниями кручения проис­ ходят колебания изгиба в вертикальной плоскости; хотя наличие сопровождающих изгибных колебаний может ока­ зать некоторое количественное влияние на значение кри­ тической скорости, но срывной флаттер типа параметри­ ческого резонанса в принципе может возникнуть и при чисто крутильных колебаниях.

В последнее время срывной флаттер обычно трактуют как явление автоколебательного характера; для его ана­

лиза процесс (и ритм) отделения вихрей нужно считать не заданным, а зависящим от движения самой конструкции.

Вопросы, которых мы касались и этом параграфе, освещены а сле­

кин «Гадроупругость конструкций при отрывном обтекании» (Л.: Судостроение, 1975).

Теория вихревой дорожки была впервые дана Т, Карманом о 1911 г. Первую статью Кармана о Такомской катастрофе см. в журнале «Engineering' News Record» <т. 125, 21 ноября 1940 г.). Результаты обширных экспериментальных исследований аэродинамической неустой­ чивости висячих мостов содержатся в пяти выпусках работы Ф. Б. Фаркуарсоиа и его сотрудников «Aerodynamic stability of suspension bridges

книгах И. И. Гольденблата «Современные проблемы колебаний и устой­ чивости инженерных сооружений» {М.: Госстройиздат, 1947). В. В. Бо­ лотина «Динамическая устойчивость упругих систем» (М.: Гостехиздат, 1956) и В. А. Якубовича и В. М. Старжинского «Линейные, дифферен­ циальные уравнения с периодическими коэффициентами» (М.: Наука, 1972).

Г л а в а IX

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

В начале настоящей главы (§ 43) обсуждается вопрос о несовпадении понятий «маЛЬю колебания» и «линейные колебания». Затем в § 44 рассматрнваегся простейшая

317

задача о самосинхронизации. В $ 45—46 рассматривается

устойчивость стационарных режимов движения механи­ ческих систем с двумя степенями свободы.

§ 43. Малые нелинейные колебания

Название этого параграфа может вызвать недоумение, поскольку из предположения о м а л о с т и отклонений механической системы от положения равновесия обычно следует л и н е й н о с т ь соответствующих дифференци­ альных уравнений движения; соответственно этому тео­ рию линейных колебаний иногда называют теорией малых колебаний. Несформулированное, ни неявно подразуме­ ваемое отождествление понятий «малые колебания» и «ли­ нейные колебания» можно найти уже в «Аналитической механике» Лагранжа. С таким отождествлением можно

баниях, описываемых линейными дифференциальными урав­ нениями, а малость колебаний определяющим признаком

не является. & некоторых случаях малые колебания (сколь

угодно малые?) описываются

без трения по горизонтальной плоскости, упруго закреп­ лен с помощью вертикальной пружины с коэффициентом жесткости с0. Требуется найти частоту свободных коле­ баний системы, если в положении равновесия натяжение пружины отсутствует, а ее длина равна А, (рис. 43.1).

Принимая за обобщенную координат)' горизонтальное перемещение груза х, отсчитываемое от положения равно-

31В

весия, запишем выражение кинетической энергии в виде

Для определения потенциальной энергии пружины П прежде всего выразим удлинение пружины через смещение груза

По­

следовательно ,

п = - у (А/)*= £ (К /Т П Р -Л )* .

Разложим полученное выражение в степенной ряд и, имея в виду малые колебания, удержим только первый отличный от нуля член разложения. Тогда потенциальная

оказывается нелинейным. К этому уравнению можно прий­ ти, записав дифференциальное уравнение поступательного движения груза в проекции на ось х и внеся в него силу упругости пружины СоА/.

Обнаруженная нелинейность связана с особенностью выражения потенциальной энергии в данном случае. Во­ обще говоря, для системы с одной степенью свободы раз­

вень для потенциальной энергии можно принимать про­

с квадратичного слагаемого. Далее из условия малости отклонений системы отбрасывают все члены, кроме пер­

319

п е н ь координаты, и уравнение колебаний становится нелинейным. Таким ^образом, из предположения о мало­ сти колебаний не обязательно следует линейное описание системы.

Возвращаясь к полученному выше уравнению (43.2), отметим, что для частоты свободных колебаний можно получить простое выражение через гамма-функцию

в котором А — полуразмах колебаний, определяемый на­ чальными условиями. В этом выражении можно видеть проявление одного из характерных свойств нелинейных систем: их неиэохронность, т. е. зависимость частоты сво­ бодных колебаний от размахов.

Сделаем еще два замечания терминологического харак­ тера. Во-первых, мы сознательно пишем «частота свободных колебаний», а не «собственная частота». Последнее выраже­ ние уместно только для линейных систем, когда частота свободных колебаний определяется исключительно с о б ­ с т в е н н ы м и свойствами системы и не зависит от на­ чальных условий. Во-вторых, мы уклонились от примене­ ния термина «амплитуда», а написали «полуразмах». Дело в том, что но современной терминологической тенденции слово «амплитуда» следует применять только в случаях гармонических колебаний, тогда, как при свободных коле­

этому правилу трудно следовать во всех случаях: напри­ мер, вряд ли стоит принятое более полувека назад название «метод медленно меняющихся амплитуд» заменять назва­ нием «метод медленно меняющихся полуразмахов».

Пример 2. Груз 1 массы m находится между двумя пластинками 2, которые связаны с концами пружин 3 и упираются в неподвижные ограничители 4. В изображен­ ном на рис. 43.2, а положении равновесия пружины испы­ тывают начальное сжатие силами Р*. На рис. 43.2, б по­ казана статическая характеристика системы, т. е. связь между приложенной к грузу статической горизонтальной силой и соответствующим этой силе горизонтальным пере­ мещением груза. Как видно, эта характеристика состоит из трех участков; средний участок совпадает с осью орди­ нат. а наклон двух крайних участков определяется коэф-

320