книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки
.pdfфициентом жесткости пружин ct, причем |
|
Р = с,Х'\- Р„sgn х. |
(43.5) |
Свободные колебания груза около положения равновесия описываются нелинейным дифференциальным уравнением
sgn * = 0. |
(43.6) |
Решение этого кусочно-линейного уравнения несложно
/ 4 г |
з |
^ Ш 1 |
I |
Цл л л л л |
|
В)
г)
Рис. 43.2. а) Система с натягом; б) характеристика системы; я) зависи мость частоты свободных колебаний от их размахов; г) производная
ГГимеет разрыв при х=0
иприводит к следующему результату для частоты свобод
ных колебаний |
(здесь также было |
бы неуместно |
писать |
о «собственной |
частоте»): |
|
|
|
, |
- |
(43.7) |
|
arccos г т м |
|
|
Из рис. 43.2, в можно видеть, что при больших колебаниях частота слабо зависит от размахов; пеизохропность системы проявляется особенно заметно при малых размахах.
Именно этот случай мы имели в виду, когда в начале параграфа отмечали, что в некоторых системах нелиней ность становится тем более заметной, чем меньше откло< нения системы от положения равновесия.
321
В заключение остановимся на своеобразной зависимости потенциальной энергии от координаты:
П - Я , | * | - | - ^ |
{43.8) |
(см. также график на рис. 43.2, г) и отметим, что соответ ствующий положению равновесия минимум потенциальной энергии н е я в л я е т с я а н а л и т и ч е с к и м . По этому было бы грубой ошибкой в данном случае утверждать, что положению равновесии соответствует столь привычное
для глаз, но па самом деле не универсальное равенство 11'( 0) = 0.
§44. Вибрационное поддержание вращения
В современной технике для некоторых производствен ных процессов (уплотнение бетонных смесей, грохочение, вибротранспортировка, виброзабивка свай и т. д.) широко применяются механические внбровозбудители (вибраторы). Основной частью механического вибратора является не уравновешенный ротор, приводимый во вращение электро двигателем.
В тяжелых вибромашинах (грохотах, дробилках, кон вейерах, мельницах и др.) обычно устанавливают не один, а несколько механических вибраторов на общем основании; благодаря этому разгружаются подшипники зибраторов, являющиеся наименее надежной частью, и достигается большая равномерность распределения возмущающей на грузки но всему рабочему органу машины. Согласованная работа нескольких вибраторов требует синхронности вра щения и сохранения определенных соотношений между фазами. Для этого, как правило, применяют кинематиче ские связи между роторами вибраторов, например зубчатые
или цепные передачи; с их помощью достигается п р и |
|
н у д и т е л ь н а я |
с и н х р о н и з а ц и я работы не |
скольких вибраторов.
Однако в последнее зремя удается использовать так
же |
с а м о с и |
н х р о н и з а ц и ю |
роторов — явление |
|
автоматического |
поддержания равенства угловых |
скоро |
||
стей |
и фаз отдельных вибраторов при |
отсутствии |
кине |
матических связей.
Явление самосинхронизации известно давно. Еще Гюй генс во второй половине XVII столетия установил, что двое часов, ходивших по-разному, синхронизировались, когда их устанавливали на достаточно податливом общем
322
основании (на легкой балке). Вот как сам Гюйгенс описы вает свои наблюдения:
«Маятник этих часов имел длину 9 дюймов и груз пол фунта. Механизм приводился в движение гирями, заклю ченными в ящик вместе с механизмом. Длина ящика была 4 фута. Внизу он был отягчен по крайней мере 100 фунтами свинца... С этими часами было сделано следующее чрез вычайно интересное наблюдение.
Двое таких часов висели на одной и той же балке, по коящейся на двух опорах. Оба маятника двигались всегда в противоположные стороны, и колебания их так точно совпадали, что никогда пи па сколько не расходились. Тикание обоих часов было слышно в одно и то же мгнове ние. Если искусственно нарушить это совпадение, то оно само восстанавливалось в короткое время. Сначала я был поражен этим странным явлением, но, наконец, после вни мательного исследования нашел, что причина лежит в не заметном движении самой балки. Колебания маятника сообщают некоторое движение и самим часам, как бы тя желы они ни были. Л это движение передается балке, и если маятники сами не двигались в противоположных на правлениях, то теперь это произойдет с необходимостью».
Вероятно, это был первый замеченный случай само синхронизации технических объектов. Аналогичные явле нии для органных труб и камертонов обнаружил в конце прошлого века Рэлей. Позднее — примерно в начале теку щего столетия — были открыты явления самосинхрони зации в электрических цепях и в некоторых электромехани ческих системах.
Подобные явления были давно замечены и в небесной механике. Луна обращена к Земле все время одной сторо ной; это значит, что угловая скорость собственного враще ния Лупы в среднем равна угловой скорости вращения радиуса-вектора центра Луны (в геоцентрической системе координат). В последнее время такие совпадения объяс няют с помощью теории самосинхронизации.
В самосинхронизации можно видеть общее свойство приспособляемости отдельных объектов «технического кол лектива» к ритму работы коллектива в целом. В литературе высказывалась мысль о том, что подобные свойства обла дают некоторой универсальностью и присущи, например, даже жизни биологических коллективов.
Явление самосинхронизации мы рассмотрим на про стейшем примере лвухгибраторной системы (рис. 44.1), когда в сеть включен левый вибратор, ротор которого
ы» |
323 |
вращается с заданной угловой скоростью &>; неуравнове шенный ротор правого вибратора является обычным сво бодно подвешенным физическим маятником. Оказыва ется,— и мы в этом убедимся,— что в этих условиях ро тору правого вибратора свойственно вращение с той же угловой скоростью. В данном случае самосинхронизация объясняется вибрациями общего основания; последнее слу жит своеобразной связью между вибраторами, способной согласовать их движения. Подобные «слабые» связи харак терны для всех самосинхронизирующихся систем.
Рис. |
44.1. Упруго подвешен- |
Рис. 44.2. Схема к составлению |
ная |
система с двумя вибро- |
дифференциального уравнения дви- |
|
возбудителями |
жения свободного ротора |
Благодаря возбуждению, создаваемому левым вибра тором, основание будет колебаться с угловой частотой со. Следовательно, вертикальное движение точки подвеса мож но описать законом
y = A $ \ x u o t , |
(44.1) |
где А — амплитуда колебаний.
Допустим, что состояние относительного покоя свобод ного ротора нарушено; обратимся к составлению уравне
ния |
относительного |
движения. |
Обозначим: р — радиус |
инерции свободного |
ротора, е — эксцентриситет, пг — |
||
масса |
ротора, <р — угол поворота |
ротора, отсчитываемый |
от оси х но направлению хода часовой стрелки (рис. 44.2). В уравнение моментов относительно колеблющейся оси (У следует включить момент силы тяжести
M i^m ge costp |
(44.2) |
и момент трения, который будем считать пропорциональ-
324
иым угловой скорости <f>:
Mt = — kф. |
(44.3) |
Кроме того, следует учесть, что сама координатная система хО'у' движется относительно неподвижной координатной системы хОу, и поэтому в уравнение моментов необходимо ввести также момент переносной силы инерции. Эта сила направлена по вертикали и равна
— /nj/=»m4a>*sinco*, |
(44.4) |
|
так что соответствующий момент составляет |
|
|
Л4„= — |
sin©/)ecosq>. |
(44.5) |
Таким образом, дифференциальное уравнение относитель ного движения свободного ротора можно згписать в виде
mge cos <р— kip— meЛсо* cos tpsin a>t—/лраф, (44.6)
где |
mp*— момент инерции |
ротора. |
В |
результате мы пришли |
к весьма сложному нелиней |
ному дифференциальному уравнению с переменными ко эффициентами, которое допускает решения различных
типов. Ограничимся выяснением главного вопроса о самосинхронизации: возможно ли вращение ротора с угловой
скоростью со? Для этого нужно проверить, является ли функция
Ф = б>{-|-а |
(44.7) |
решением дифференциального уравнения (44.6) (а — по стоянная). Принимая закон движения ротора в виде (44.7), мы допускаем, что ротор синхронизирован, но движется с некоторым сдвигом фазы а по отношению к колебаниям основания *). Подставляя выражение (44.7) в дифферен циальное уравнение (44.6), приходим к соотношению
теcos (to/ +а) (g— Леи4sin <at)= fuo: |
(44.8) |
||
так как здесь |
левая часть переменна, а |
правая |
часть |
постоянна, то |
это соотношение, очевидно, |
тождественно |
не удовлетворяется. Это означает, что функция (44.7) не является точным решением уравнения (44.6).
Однако отсюда не следует делать вывод о юлкой непри годности выражения (44.7) для описания движения ротора
*) Из-за неукруги* сопротивлений также нозможен некоторый сдвиг фаз вращения левого вибратора и колебаний основания
325
й полезно проверить, нельзя ли рассматривать функцию (44.7) как п р и б л и ж е н н о е р е ш е н и е дифферен циального уравнения (44.6). С этой целью отбросим не выполнимое требование о тождественном удовлетворении соотношения (44.8) и заменим его более слабым требованием о выполнении равенства (44.8) в с р е д н е м .
Левая часть соотношения (44.8) представляет собой некоторую периодическую функцию времени с периодом 2л /(!>. Поэтому для определения среднего значения этой
функции нужно ее проинтегрировать в интервале времени |
||
? |
2Я |
|
О, |
2я/ы] и результат разделить на значение периода 2л/ш: |
|
|
W |
|
|
^cos (oaf -|-а) (g— Лш4sin о)/) dt = ^ Лю* sin a. |
(44.9) |
|
о |
|
Приравнивая полученный результат правой части (44.8), приходим к равенству
теАт* |
(44.10) |
~ Г ~ sin а —/?а>. |
Таким образом, функция (44.7) является приближенным решением дифференциального уравнения (44.8) при усло вии, что параметры системы удовлетворяют соотношению (44.10). Из последнего следует выражение
s in a = ^ . |
(44.11) |
’ |
те Ат |
' |
Это выражение, с одной стороны, позволяет найти сдвиг фаз, а с другой стороны,— и эго самое важное для наших целей — позволяет сформулировать условие самосинхро низации в виде
2к |
1. |
(44.12) |
теАт < |
Отсюда видно, что чем больше дебаланс те и скорость виб рации оси /4(о ротора, тем легче добиться самосинхрониза ции. Единственное обстоятельство, которое может воспре пятствовать самосинхронизации,— это сопротивление, ха рактеризуемое коэффициентом k\ чем оно меньше, тем лучшие условия создаются для самосинхронизации. Наи большее значение коэффициента сопротивления, при ко тором еще возможна самосинхронизация, определяется
выражением к ~ —^— . Ьму соответствует момент сопро
326
тивления k<s) и потребляемая мощность
N = kw1 |
rneAafi |
(44.13) |
|
2 |
|
Представим себе, что к выключенному из сети ротору присоединено устройство, потребляющее энергию. Тогда выражение (44.13) определит мощность, расходуемую в этом устройстве. Так, если дебаланс ntge—1000 кто-см, ампли туда колебаний основания /1=0,5 см и основание совер шает 3000 колебаний в минуту, то но выражению (44.13) получится внушительная мощность около 800 кВт. И этот
\А coscot
Рис. 44.3. Упруго подвешен ная система с дополнитель
ным планетарным вибровозбудителсм
эффект достигается без принудительной синхронизации, без всяких кинематических связей!
Вспомним, что |
речь идет о приближенном решении. |
|
Каково же будет |
движение ротора в |
действительности? |
На этот вопрос дает ответ более точная |
теория. Установ |
|
лено, что истинный |
закон движения ротора имеет вид |
|
|
<р = й>* -!-«(/), |
(44.14) |
где а(() — периодическая функция времени периода 2л/ш; ее среднее значение равно нулю. Таким образом, синхро низация осуществляется лишь в с р е д н е м , так как на равномерное вращение ротора с угловой скоростью о> на кладываются периодические колебания; однако эти колеба ния относительно невелики, на чем и основан приведенный выше приближенный анализ.
В заключение отметим, что вибрационное поддержание вращения используется и в планетарных вибраторах. На рис. 44.3 изображена схема такого вибратора с цилинд рической полостью. Главной частью вибратора является цилиндр, свободно вложенный в цилиндрическую полость большого диаметра. При вибрациях (например, вертикаль ных) корпуса цилиндр обкатывает внутреннюю поверх ность полости и оказывает действие, подобное действию
327
дебалансного вибратора. Подобные механизмы могут бьпъ использованы не как возбудители колебаний, а в качестве рабочих органов машины. Так, например, на этом прин ципе работают вибрационные измельчители; при обкаты вании полости массивный цилиндр измельчает поступаю щий в нее материал.
С помошью этой теории Кофи в I960 г . объяснил природу вращения кольца в известной игре-упражнении «хула-хуп» (см. его работу:
Caughey Т . К . Hula-Hoop*. An Exam ple |
о! |
Heteroparam etric E xita- |
|
lio n .— |
Am erican Journ. of Physics, 19w , |
t. 28, № 2). |
|
О |
наблюдениях X . Гюйгенса см. его «Три |
мемуара по механике» |
(Изд-во А Н СССР, 1951, с. 30— 31). Теория самосинхронизации с боль
шой обстоятельностью развита в цикле работ И . И . Блехмана. См. его монографии «Синхронизация динамических систем! (At.: Н аука . 1971)
и «Синхронизация в пророле и технике» (At.: Н аука; 1981). О синхрони зации движений небесных тел см. книгу В . В . Белецкого «Очерки о движении космических тел» (At.: Н аука. 1977).
§45. Динамика регулятора Буасса — Сарда
Для равномерности опускания груза на тросе под дей ствием собственного веса французскими инженерами Буассом и Сарда был предложен тормоз-регулятор, схема
|
|
которого |
изображена |
на |
|||||
|
|
рис. 45.1. На оси АА ук |
|||||||
|
|
реплен |
барабан |
радиусом |
|||||
|
|
R с тросом; к нижнему кон |
|||||||
|
|
цу троса |
подвешен |
груз, |
|||||
|
|
который под действием соб |
|||||||
|
|
ственного веса опускается |
|||||||
|
|
вниз. |
При |
отсутствии до |
|||||
|
|
полнительных |
устройств |
||||||
|
|
груз |
опускался |
бы равно |
|||||
|
|
ускоренно. Для того чтобы |
|||||||
|
|
опускание его было равно |
|||||||
|
|
мерным, |
на оси АА сделан |
||||||
|
|
кривошип, и на |
нем |
упру |
|||||
|
„ |
го подвешен груз |
регуля- |
||||||
Рис. 45.1. Схема регулятора |
тора |
массой |
т ; |
|
коэф- |
||||
Буас- |
ф и и и ен т |
жеСтК0СТИ |
|
пру |
|||||
го, в систему введено |
|
жин |
равен |
с. |
Кроме |
то |
|||
вязкое сопротивление; |
коэффи |
циент вязкости равен k. Конструкция такова, что груз ре гулятора может перемещаться только по вертикали.
Такая система имеет две степени свободы. За обобщен ные координаты естественно принять угол <р поворота кри вошипа и вертикальное перемещение у груза регулятора.
32»
При движении системы на груз регулятора действуют три силы: сила тяжести mg, сила вязкости —ky и сила уп ругости пружины —с(у—rsinip). Таким образом, диффе ренциальное уравнение движения массы регулятора имеет вид
mg— ky—c (у—r sin ф) = my. |
(45.1) |
||
т. е. |
|
|
|
У+ 2пу + |
sU up+ ft |
(45.2) |
|
где обозначено |
|
с |
|
А |
. |
|
|
п = я - , |
<oJ= |
— . |
|
2m * |
0 |
m |
|
Второе дифференциальное уравнение относится к вращению барабана. Так как вертикальное ускорение груза М
равно <рR, то натяжение троса составляет
Г = М (£ — фЯ).
Следовательно, момент силы Т относительно оси АА ра
вен MR(g—q:R).
С учетом знаков найдем момент силы натяжения пру
жины в виде с(у—г sin <p) г cos <р. Таким образом, |
второе |
уравнение движения имеет вид |
|
MR (g— <j>/?) + с (у — г sin <р) rcos<p= /<р, |
|
где / — момент инерции вала; следовательно, |
|
(/ -f Л!#*) ф—с (у—г sin f) г соБф — MgR. |
(45.3) |
Теперь нам предстоит решить систему нелинейных уравне ний (45.2) и (45.3).
Прежде всего выясним, возможно ли равномерное вра щение барабана, т. е. проверим, удовлетворяются ли урав
нения задачи решением |
|
Ф = й><, |
(45,4) |
где © — пока неизвестная постоянная угловая скорость
барабана.
Если выражение (45.4) есть решение, то уравнение (45.2) получает вид
у+ 2пу -г Ф$у= ^ sin (at +g. |
(45.5) |
329
Следовательно, |
|
|
У |
sin (со/• г ос) + Л , |
(45.6) |
|
ш0 |
|
У ( ' - $ + Ч |
г |
|
где сдвиг фаз определяется соотношением
,2лш
(45.7)
Подставим (45.6) в левую часть уравнения (45.3). При условии, что <р определяется выражением (45.4), имеем
Ф=0, т. |
е. |
первый член левой части (45.3) обращается |
в нуль, |
а |
второй член равняется |
.... с (у— Г sin ф) Г COS ф=
К 4 .— г sin Ы г cos с»/. (45.8)
(о> |- <а*)2-{-4я*и»
Но эта величина — переменная и, следовательно, не удов летворяет уравнению (45.3), правая часть которого — по стоянная. Отсюда вытекает, что выражение (45.4) не удов летворяет системе уравнений задачи, т. е. строго равномер ное опускание груза невозможно.
Тем не менее можно попытаться найти приближенное решение, согласно которому угловая скорость барабана незначительно колеблется около некоторого среднего зна чения (о. Для определения w достаточно принять, что среднее значение функции (45.8) равно постоянной правой части уравнения (45.3).
Среднее значение выражения (45.8) представляется
одним членом |
и равно |
|
|
еш§г* |
(«о* — <о*)* + 4«Ч>г (45.9) |
|
sin a = |
|
2К(мо-<о,)*-!-4я«м* |
|
|
(в последней |
выкладке вместо sin а |
уже подставлено вы |
ражение, вытекающее из соотношения (45.7)). Таким обра зом, вместо (45.3) получим
"<■*>$
(45.10)
—<1)*)г -|-4«*о>г
Это и есть уравнение для определения средней угловой скорости барабана.
Для графического решения построим графики обеих
частей уравнения (45.10), которые обозначим |
через |
z и |
|||
г* (рис. 45.2); |
точки |
пересечения линий |
г и г* |
определят |
|
вещественные |
корни |
уравнения (45.10). |
На рис. 45.2 |
по |
330