книги / Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки

Свободные колебания груза около положения равновесия описываются нелинейным дифференциальным уравнением

Решение этого кусочно-линейного уравнения несложно

В)

г)

Рис. 43.2. а) Система с натягом; б) характеристика системы; я) зависи­ мость частоты свободных колебаний от их размахов; г) производная

ГГимеет разрыв при х=0

иприводит к следующему результату для частоты свобод­

Из рис. 43.2, в можно видеть, что при больших колебаниях частота слабо зависит от размахов; пеизохропность системы проявляется особенно заметно при малых размахах.

Именно этот случай мы имели в виду, когда в начале параграфа отмечали, что в некоторых системах нелиней­ ность становится тем более заметной, чем меньше откло< нения системы от положения равновесия.

321

В заключение остановимся на своеобразной зависимости потенциальной энергии от координаты:

(см. также график на рис. 43.2, г) и отметим, что соответ­ ствующий положению равновесия минимум потенциальной энергии н е я в л я е т с я а н а л и т и ч е с к и м . По­ этому было бы грубой ошибкой в данном случае утверждать, что положению равновесии соответствует столь привычное

для глаз, но па самом деле не универсальное равенство 11'( 0) = 0.

§44. Вибрационное поддержание вращения

В современной технике для некоторых производствен­ ных процессов (уплотнение бетонных смесей, грохочение, вибротранспортировка, виброзабивка свай и т. д.) широко применяются механические внбровозбудители (вибраторы). Основной частью механического вибратора является не­ уравновешенный ротор, приводимый во вращение электро­ двигателем.

В тяжелых вибромашинах (грохотах, дробилках, кон­ вейерах, мельницах и др.) обычно устанавливают не один, а несколько механических вибраторов на общем основании; благодаря этому разгружаются подшипники зибраторов, являющиеся наименее надежной частью, и достигается большая равномерность распределения возмущающей на­ грузки но всему рабочему органу машины. Согласованная работа нескольких вибраторов требует синхронности вра­ щения и сохранения определенных соотношений между фазами. Для этого, как правило, применяют кинематиче­ ские связи между роторами вибраторов, например зубчатые

скольких вибраторов.

Однако в последнее зремя удается использовать так­

матических связей.

Явление самосинхронизации известно давно. Еще Гюй­ генс во второй половине XVII столетия установил, что двое часов, ходивших по-разному, синхронизировались, когда их устанавливали на достаточно податливом общем

322

основании (на легкой балке). Вот как сам Гюйгенс описы­ вает свои наблюдения:

«Маятник этих часов имел длину 9 дюймов и груз пол­ фунта. Механизм приводился в движение гирями, заклю­ ченными в ящик вместе с механизмом. Длина ящика была 4 фута. Внизу он был отягчен по крайней мере 100 фунтами свинца... С этими часами было сделано следующее чрез­ вычайно интересное наблюдение.

Двое таких часов висели на одной и той же балке, по­ коящейся на двух опорах. Оба маятника двигались всегда в противоположные стороны, и колебания их так точно совпадали, что никогда пи па сколько не расходились. Тикание обоих часов было слышно в одно и то же мгнове­ ние. Если искусственно нарушить это совпадение, то оно само восстанавливалось в короткое время. Сначала я был поражен этим странным явлением, но, наконец, после вни­ мательного исследования нашел, что причина лежит в не­ заметном движении самой балки. Колебания маятника сообщают некоторое движение и самим часам, как бы тя­ желы они ни были. Л это движение передается балке, и если маятники сами не двигались в противоположных на­ правлениях, то теперь это произойдет с необходимостью».

Вероятно, это был первый замеченный случай само­ синхронизации технических объектов. Аналогичные явле­ нии для органных труб и камертонов обнаружил в конце прошлого века Рэлей. Позднее — примерно в начале теку­ щего столетия — были открыты явления самосинхрони­ зации в электрических цепях и в некоторых электромехани­ ческих системах.

Подобные явления были давно замечены и в небесной механике. Луна обращена к Земле все время одной сторо­ ной; это значит, что угловая скорость собственного враще­ ния Лупы в среднем равна угловой скорости вращения радиуса-вектора центра Луны (в геоцентрической системе координат). В последнее время такие совпадения объяс­ няют с помощью теории самосинхронизации.

В самосинхронизации можно видеть общее свойство приспособляемости отдельных объектов «технического кол­ лектива» к ритму работы коллектива в целом. В литературе высказывалась мысль о том, что подобные свойства обла­ дают некоторой универсальностью и присущи, например, даже жизни биологических коллективов.

Явление самосинхронизации мы рассмотрим на про­ стейшем примере лвухгибраторной системы (рис. 44.1), когда в сеть включен левый вибратор, ротор которого

вращается с заданной угловой скоростью &>; неуравнове­ шенный ротор правого вибратора является обычным сво­ бодно подвешенным физическим маятником. Оказыва­ ется,— и мы в этом убедимся,— что в этих условиях ро­ тору правого вибратора свойственно вращение с той же угловой скоростью. В данном случае самосинхронизация объясняется вибрациями общего основания; последнее слу­ жит своеобразной связью между вибраторами, способной согласовать их движения. Подобные «слабые» связи харак­ терны для всех самосинхронизирующихся систем.

Благодаря возбуждению, создаваемому левым вибра­ тором, основание будет колебаться с угловой частотой со. Следовательно, вертикальное движение точки подвеса мож­ но описать законом

где А — амплитуда колебаний.

Допустим, что состояние относительного покоя свобод­ ного ротора нарушено; обратимся к составлению уравне­

от оси х но направлению хода часовой стрелки (рис. 44.2). В уравнение моментов относительно колеблющейся оси (У следует включить момент силы тяжести

и момент трения, который будем считать пропорциональ-

324

иым угловой скорости <f>:

Кроме того, следует учесть, что сама координатная система хО'у' движется относительно неподвижной координатной системы хОу, и поэтому в уравнение моментов необходимо ввести также момент переносной силы инерции. Эта сила направлена по вертикали и равна

Таким образом, дифференциальное уравнение относитель­ ного движения свободного ротора можно згписать в виде

mge cos <р— kip— meЛсо* cos tpsin a>t—/лраф, (44.6)

ному дифференциальному уравнению с переменными ко­ эффициентами, которое допускает решения различных

типов. Ограничимся выяснением главного вопроса о самосинхронизации: возможно ли вращение ротора с угловой

скоростью со? Для этого нужно проверить, является ли функция

решением дифференциального уравнения (44.6) (а — по­ стоянная). Принимая закон движения ротора в виде (44.7), мы допускаем, что ротор синхронизирован, но движется с некоторым сдвигом фазы а по отношению к колебаниям основания *). Подставляя выражение (44.7) в дифферен­ циальное уравнение (44.6), приходим к соотношению

не удовлетворяется. Это означает, что функция (44.7) не является точным решением уравнения (44.6).

Однако отсюда не следует делать вывод о юлкой непри­ годности выражения (44.7) для описания движения ротора

*) Из-за неукруги* сопротивлений также нозможен некоторый сдвиг фаз вращения левого вибратора и колебаний основания

325

й полезно проверить, нельзя ли рассматривать функцию (44.7) как п р и б л и ж е н н о е р е ш е н и е дифферен­ циального уравнения (44.6). С этой целью отбросим не­ выполнимое требование о тождественном удовлетворении соотношения (44.8) и заменим его более слабым требованием о выполнении равенства (44.8) в с р е д н е м .

Левая часть соотношения (44.8) представляет собой некоторую периодическую функцию времени с периодом 2л /(!>. Поэтому для определения среднего значения этой

Приравнивая полученный результат правой части (44.8), приходим к равенству

Таким образом, функция (44.7) является приближенным решением дифференциального уравнения (44.8) при усло­ вии, что параметры системы удовлетворяют соотношению (44.10). Из последнего следует выражение

Это выражение, с одной стороны, позволяет найти сдвиг фаз, а с другой стороны,— и эго самое важное для наших целей — позволяет сформулировать условие самосинхро­ низации в виде

Отсюда видно, что чем больше дебаланс те и скорость виб­ рации оси /4(о ротора, тем легче добиться самосинхрониза­ ции. Единственное обстоятельство, которое может воспре­ пятствовать самосинхронизации,— это сопротивление, ха­ рактеризуемое коэффициентом k\ чем оно меньше, тем лучшие условия создаются для самосинхронизации. Наи­ большее значение коэффициента сопротивления, при ко­ тором еще возможна самосинхронизация, определяется

выражением к ~ —^— . Ьму соответствует момент сопро­

326

тивления k<s) и потребляемая мощность

Представим себе, что к выключенному из сети ротору присоединено устройство, потребляющее энергию. Тогда выражение (44.13) определит мощность, расходуемую в этом устройстве. Так, если дебаланс ntge—1000 кто-см, ампли­ туда колебаний основания /1=0,5 см и основание совер­ шает 3000 колебаний в минуту, то но выражению (44.13) получится внушительная мощность около 800 кВт. И этот

\А coscot

Рис. 44.3. Упруго подвешен­ ная система с дополнитель­

ным планетарным вибровозбудителсм

эффект достигается без принудительной синхронизации, без всяких кинематических связей!

где а(() — периодическая функция времени периода 2л/ш; ее среднее значение равно нулю. Таким образом, синхро­ низация осуществляется лишь в с р е д н е м , так как на равномерное вращение ротора с угловой скоростью о> на­ кладываются периодические колебания; однако эти колеба­ ния относительно невелики, на чем и основан приведенный выше приближенный анализ.

В заключение отметим, что вибрационное поддержание вращения используется и в планетарных вибраторах. На рис. 44.3 изображена схема такого вибратора с цилинд­ рической полостью. Главной частью вибратора является цилиндр, свободно вложенный в цилиндрическую полость большого диаметра. При вибрациях (например, вертикаль­ ных) корпуса цилиндр обкатывает внутреннюю поверх­ ность полости и оказывает действие, подобное действию

327

дебалансного вибратора. Подобные механизмы могут бьпъ использованы не как возбудители колебаний, а в качестве рабочих органов машины. Так, например, на этом прин­ ципе работают вибрационные измельчители; при обкаты­ вании полости массивный цилиндр измельчает поступаю­ щий в нее материал.

С помошью этой теории Кофи в I960 г . объяснил природу вращения кольца в известной игре-упражнении «хула-хуп» (см. его работу:

(Изд-во А Н СССР, 1951, с. 30— 31). Теория самосинхронизации с боль­

шой обстоятельностью развита в цикле работ И . И . Блехмана. См. его монографии «Синхронизация динамических систем! (At.: Н аука . 1971)

и «Синхронизация в пророле и технике» (At.: Н аука; 1981). О синхрони­ зации движений небесных тел см. книгу В . В . Белецкого «Очерки о движении космических тел» (At.: Н аука. 1977).

§45. Динамика регулятора Буасса — Сарда

Для равномерности опускания груза на тросе под дей­ ствием собственного веса французскими инженерами Буассом и Сарда был предложен тормоз-регулятор, схема

циент вязкости равен k. Конструкция такова, что груз ре­ гулятора может перемещаться только по вертикали.

Такая система имеет две степени свободы. За обобщен­ ные координаты естественно принять угол <р поворота кри­ вошипа и вертикальное перемещение у груза регулятора.

32»

При движении системы на груз регулятора действуют три силы: сила тяжести mg, сила вязкости —ky и сила уп­ ругости пружины —с(у—rsinip). Таким образом, диффе­ ренциальное уравнение движения массы регулятора имеет вид

Второе дифференциальное уравнение относится к вращению барабана. Так как вертикальное ускорение груза М

равно <рR, то натяжение троса составляет

Г = М (£ — фЯ).

Следовательно, момент силы Т относительно оси АА ра­

вен MR(g—q:R).

С учетом знаков найдем момент силы натяжения пру­

Теперь нам предстоит решить систему нелинейных уравне­ ний (45.2) и (45.3).

Прежде всего выясним, возможно ли равномерное вра­ щение барабана, т. е. проверим, удовлетворяются ли урав­

где © — пока неизвестная постоянная угловая скорость

барабана.

Если выражение (45.4) есть решение, то уравнение (45.2) получает вид

329

где сдвиг фаз определяется соотношением

,2лш

(45.7)

Подставим (45.6) в левую часть уравнения (45.3). При условии, что <р определяется выражением (45.4), имеем

.... с (у— Г sin ф) Г COS ф=

К 4 .— г sin Ы г cos с»/. (45.8)

(о> |- <а*)2-{-4я*и»

Но эта величина — переменная и, следовательно, не удов­ летворяет уравнению (45.3), правая часть которого — по­ стоянная. Отсюда вытекает, что выражение (45.4) не удов­ летворяет системе уравнений задачи, т. е. строго равномер­ ное опускание груза невозможно.

Тем не менее можно попытаться найти приближенное решение, согласно которому угловая скорость барабана незначительно колеблется около некоторого среднего зна­ чения (о. Для определения w достаточно принять, что среднее значение функции (45.8) равно постоянной правой части уравнения (45.3).

Среднее значение выражения (45.8) представляется

ражение, вытекающее из соотношения (45.7)). Таким обра­ зом, вместо (45.3) получим

"<■*>$

(45.10)

—<1)*)г -|-4«*о>г

Это и есть уравнение для определения средней угловой скорости барабана.

Для графического решения построим графики обеих

330