книги / Микромеханика композиционных материалов

Заменяя 1Х и Ух асимптотическими разложениями (13.42) и рас­ крывая определители (13.35), найдем постоянные распространения к и к'. Для поперечно-электрического поля, например, в первом прибли­ жении

О -0<о?

но затухают. С увеличением частоты Й увеличивается число различ­ ных волн, распространяющихся вдоль волокон, Как видно, армиро­ ванные проводниками диэлектрики обладают свойствами направляю­ щих систем — волноводов, для чего необходимо ограничение среды проводящими стенками вдоль ориентации волокон.

§ 4. ВОЛНЫ В АРМИРОВАННЫХ ДИЭЛЕКТРИКАХ

Для однонаправленной среды с диэлектрическими волокнами ре­ шение задачи содержит одновременно поперечно-магнитные и попереч­ но-электрические волны. Задача рассматривается для структуры, параметры которой введены в § 3. _

Решение системы (13.21) ищется в виде суммы электрического л и

магнитного я* векторов Герца согласно (13.22) для каждого компо­ нента среды. Граничное условие сводится к требованию непрерывности на поверхностях контакта волокон с матрицей тангенциальных компо­ нентов векторов напряженности электрического и магнитного полей

где п — вектор нормали к цилиндрической поверхности волокна. По­ перечно-магнитные и поперечно-электрические поля определяются векторами Герца согласно (13.24) и (13.25).

В соответствии с представлениями общего поля граничные усло­

291

Волновое поле в области, занимаемой тп-м волокном, отыскивается в виде рядов по стоячим волнам

Постоянные А, В, С, й устанавливаются из граничных условий, которые можно представить в виде

После громоздких преобразований функции электромагнитного поля запишем в виде

12 В этой формуле я.везде в дальнейшем опускается верхний индекс у функций Ханкеля.

292

Падающее на поверхность Йтп волновое поле есть сумма отраженных волн от всех волокон; при суммировании отраженных волн от окружающих неоднородностей и применении теоремы сложения ци­ линдрических функций находится система связанных уравнений

•• л .т л

2 9 3

где ф — угол между направлением распространения волн и положи­ тельным направлением оси Охх. С помощью преобразования

в системе (13.58) вводится полярная система отсчета точек. При под­ становке решений (13.59) в (13.58) получаются связанные системы ал­ гебраических уравнений

из условия совместности которых следует равенство нулю бесконечно­ го определителя

ч>. Р

Знак штрих означает, что из суммы исключен член при р = 0. Пусть а3—/’-й корень бесконечного определителя (13.60); устанавливаются со­ отношения между постоянными

и функции электромагнитного поля в общем случае содержат решения, соответствующие всем /:

\Х = — ОО

и па. Компоненты векторов электрического и магнитного полей вычис­ ляются непосредственно с учетом (13.62).

294

Рассмотрим длинноволновое приближение, когда поле слабо из­ меняется в смежных ячейках. В этом приближении смму в (13.61) можно заменить интегралом

где Р = б©!2 51П а — площадь элементарной ячейки в сечении; при использовании формулы Пуассона соотношение (13.61) преобразуется;

С„ = Щг-е“'5ф\РФЛ (ар) я !+, (Яр).

Б

Вычисление этого интеграла рассматривалось ранее (см. (13.41)). Аналогичные упрощения при указанных ограничениях проводят­ ся с параметрами 28, 2* и У8, У*. Используя асимптотические разло­

жения цилиндрических функций при малом аргументе, получаем

(, + "5г ) ( , + г ё ) “ ^ (1- х Ж г

(13.63)

295

При волнах, распространяющихся поперечно ориентации наполни­ теля — волокном, положим к = 0, № = к2вр, тогда

(13.64)

Бесконечный определитель раскрывается по методу последователь­ ных приближений. В случае поперечно распространяющихся волн, как это следует из (13.64), функции поперечно-электрического и маг­ нитного полей я* и я становятся независимыми. Бесконечный опре­ делитель распадается на два совершенно независимых определителя

имеющих одинаковую структуру

Согласно (13.64) при распространении длинных поперечных волн в армированной среде, матрица и наполнитель которой имеют равные значения магнитной проницаемости, возбуждается только поперечно­ электрическое поле. Если матрица и наполнитель армированного тела имеют одинаковую диэлектрическую проницаемость, то в среде при распространении длинных поперечных электромагнитных волн возникает только поперечно-магнитное поле.

Рассмотрим электромагнитное поле в армированной среде при про­ дольно распространяющихся волнах к Ф 0. Функции электромагнит­

ного поля я, и я* должны быть двоякопериодическими для переменных х2 и х3, поэтому решение системы (13.58) ищется в виде

При подстановке (13.65) в (13.58) получается бесконечная система алгебраических уравнений, из условия совместности которых выте­ кает равенство нулю бесконечного определителя, из которого находят­ ся допустимые значения параметров к. В (13.60) в случае продольно распространяющихся волн

296

и искомые функции поля получаются при суммировании по всем до­ пустимым решениям

Т= — 00

Подобные соотношения выписываются для функций яа и я*.

Если поле слабо изменяется в смежных ячейках, что имеет место при распространении длинных волн, то сумму в (13.66) заменяем ин­ тегралами.

В случае длинноволнового приближения электромагнитное поле в неоднородных средах приближенно характеризуется приведенными диэлектрическими и магнитными проницаемостями, величина которых определяется при сравнении основных характеристик электромагнит­ ного поля в однородных анизотропных и гетерогенных средах. В най­ денном решении учитываются дисперсионные явления в структуре, поэтому эффективные параметры зависят от частоты поля.

УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ВОЛОКНИСТЫХ СРЕДАХ

При исследовании распространения волн в композиционных средах условно выделяются такие случаи: 1) распространение длинных волн, когда их длина на порядок и более превосходит расстояния между от­ дельными неоднородностями, а градиент усредненных по ячейке напря­ жений пренебрежимо мало изменяется в пределах отдельной ячейки; 2) коротковолновые колебания с длиной волны, соизмеримой с по­ стоянной решетки рассматриваемой структуры среды; 3) высокочас­ тотные возмущения с длиной волны, значительно меньшей размеров от­ дельного включения. Несмотря на условность, приведенная класси­ фикация полезна для приближенной ориентации в постановке задач

ораспространении волн.

Вслучае волн первого вида поле напряжений в структуре среды близко к статическому, хотя и изменяется во времени; поэтому доста­ точно ограничиться рассмотрением волновых движений центров яче­ ек среды с приведенной массой. Наиболее простая модель композици­

297

онного материала для данного случая — однородный анизотропный континуум, характеристики которого находят из решения задач'ста­ тики, а число существенно различных параметров устанавливается с учетом симметрии упаковки среды. На этих частотах колебаний, дис­ сипативные процессы изучаются на основе соотношений теории анизо­ тропной вязкоупругости, если рассеяние энергии в компонентах удов­ летворительно описывается линейными соотношениями. Особого вни­ мания заслуживают диссипативные процессы в материалах с трещи­ нами, когда на рассеяние энергии существенно влияют процессы сухо­ го трения на берегах трещин. Указанное простое приближение поло­ жено в основу изучения динамических явлений в прикладных задачах механики конструкций из композиционных материалов.

Исследование распространения волн второго вида проводится с учетом дифракционных явлений в структуре композиционной среды. В этом случае скорость распространения волн зависит от частоты или их длины; каждая ячейка на данных частотах ведет себя как система с бесконечным числом степеней свободы, и существуют интервалы частот, при которых волны испытывают рассеяние.

Распространение волн в третьем случае исследуется на основе асимптотических решений, построенных применительно к высокочас­ тотным возмущениям в неоднородных средах.

В заключение отметим, что сформулированные в книге методы усреднения состояний и учета взаимодействия компонентов обла­ дают достаточной эффективностью для построения в виде разло­ жения в ряд по степени взаимодействия ближайших включений разрешающих функций в случае длинноволновых внешних полей.

Дальнейшее обобщение рассмотренной теории связано с пост­ роением статистической механики композиционных сред, учиты­ вающей дисперсию геометрических параметров включений, тре­

чаемых из минимального объема экспериментов над реальным материалом. Эти результаты необходимы для расчетов конструк­ ций с учетом повреждаемости материала в процессе нагружения или вследствие длительных циклических, статических и других воздействий. Простейшая задача этого вида рассмотрена в § 3 гл. 12.

Несомненный интерес представляет исследование эффективных параметров композиционных материалов в случае внешних воз­ действий с конечной длиной волны, когда существенны градиенты и частотные характеристики поля. Развиваемый в гл. 9, 13 математический аппарат представляет один из путей решения указанной задачи.

298

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алфутов Н . А . Основы расчета на устойчивость упругих систем.— М.: Маши­ ностроение, 1978.— 312 с.

2. Ам барцум ян С. А. Теория анизотропных оболочек.— М.: Физматгиз, 1961 —

384 с.

3.А т лас нейтронных эффективных сечен й элементов.— М.: Изд-во АН СССР,

1955— 220 с.

4. Ахиезер Н . И . Элементы теории эллиптических функций— М.: Гостехиздат, 1948— 304 с.

5. Баренблат т Г . И . Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении.— Журн. прикл. механики и техн. физики, 1961,

№ 4, с. 65— 70.

6.Бейтмен Г ., Эрдейц А . Высшие трансцендентные функции: В 3-х т. — М.: На­

9.Броек Д. Основы механики разрушения— М.: Высш. шк., 1980— '368 с.

10.Бры згалин Г . И . Проектирование деталей из композиционных материалов во­

локонной структуры.— ,М.: Машиностроение, 1982.— 84 с.

11. Ван Фо Фы Г . А . Теория армированных материалов— Киев Наук, думка, 1971— 232 с.

12. Ван Фо Фы Г. А . Конструкции из армированных пластмасс— Киев : Техшка, 1971— 220 с.

13. Ван Фо Фы Г . А ., Грошева В . М ., Карпинос Д . М . и др. Композиционные мате­ риалы волокнистого строения— Киев : Наук, думка, 1970— 404 с.

14. В а н т Г . А . Новый метод учета взаимодействия в теории композиционных сис­ тем— Докл. АН УССР. Сер. А, 1976, № 4, с. 321-324.

15. Ванин Г . А . Интегральные параметры электромагнитного поля в волокнистых анизотропных диэлектриках— Прикл. механика, 1976, 12, № 2, с. 3— 12.

16.Ванин Г. А . Термоэлектрические явления в композиционных средах— Там же,

№ 6. с. 41-47.

17.Ванин Г . А . К основам теории термогальваномагнитных явлений в армирован­

ных средах— Докл. АН УССР. Сер. А, 1976, № 7, с. 609— 612.

18. Ванин Г . А . Продольный сдвиг многокомпонентной волокнистой среды с де­ фектами.— Прикл. механика, 1977, 13, № 8, с. 35— 41.

19. Ванин Г . А . Интегральные параметры при продольном сдвиге композиционной пьезоэлектрической среды— Докл. АН УССР. Сер. А, 1977, № Ю, с. 894— 897.

20. Ванин Г. А . К теории пьезо- и упругооптических эффектов при продольном

сдвиге в волокнистых средах с несовершенствами.— Там же, № 12 с. 1078—

21. Ванин Г . А . Условия эквивалентных состояний композиционных сред.— Там же, 1978, № 7, с. 603— 606.

22. Ванин Г . А ., Семенюк Н . П ., Емельянов Р . Ф. Устойчивость оболочек из арми­ рованных материалов— Киев: Наук, думка, 1978— 212 с.

299

23. Ванин Г . А ., Быховец А . Н , Продольный сдвиг армированной среды с периоди­ ческой системой трещин.— Пробл. прочности, 1979, № 3, с. 3— 5.

24. Ванин Г . А . Взаимодействие трещин в волокнистых средах.— Механика ком­ позит. материалов, 1979, № 2, с. 305— 312.

25. Ванин Г . А. Объемное упругое расширение среды с полыми сферическими вклю­

чениями.— Прикл. механика, 1980, 16 № 7, с. 127— 129.

26. Ванин Г . А ., К рицук А . А . Тепловое расширение армированных сред с неиде­ альной связью компонентов.— Там же, 1981, 17, № 1 с. 126— 128.

27. Ванин Г . А . Локальные разрушения в волокнистых средах.— Механика ком­ позит. материалов, 1982, № 4, с. 618— 625.

28. Ванин Г . А. Теоретические основы связи физико-механических свойств компо­ зитов с их структурой.— В кн.: Методы и средства диагностики несущей спо­ собности изделий из композитов. Рига : Зинатне, 1983, с. 18— 32.

29.Ватсон Г . Н . Теория бесселевых функций.— М.: Изд-во иностр. лиг*, 1949.— Ч. 1. 794 с.

30.Вильямс М ., Андерсон Дж. Адгезионная механика разрушения.— Механи

44. К рат цер А ., Ф ранц В . Трансцендентные функции.— М.: Изд-во иностр. лит.,

358с.

49.Л ехницкий С. Г . Теория упругости анизотропного тела.— М.: Наука, 1977.—

416с.

50. Л у р ье А . И . Пространственные задачи теории упругости. — М.: Гостехиздат, 1955.— 492 с.

51. М алмейст ер А . К ., Там уж В . Я., Тет ере Г . А . Сопротивление жестких поли­ мерных материалов.— Рига : Зинатне, 1972.— 498 с.

52. М орс Ф. М ., Ф еш бах Г . Методы теоретической функции: В 2-х т.— М,: Изд-во иностр. лит., 1960.— Т. 1— 2.

300