книги / Микромеханика композиционных материалов

(12.3)

При этом возникают необратимые деформации, обусловленные изме­ нением состояния материала.

Последующие этапы возникновения новых и роста образовавших­ ся трещин сводятся к последовательности преобразования вида (12.1).

По предлагаемой теории возникновение и рост локальных трещин

б) изменение симметрии структуры среды, в результате чего, на­ пример, в случае волокнистой структуры трансверсально-изотропное тело преобразуется к среде с моноклинной симметрией, а число ком­ понентов матрицы увеличивается от 5 до 17; хотя новые эффекты от­ носительно невелики, они способствуют большей неоднородности со­ стояния материала;

в) появление неустойчивых состояний, достигаемых при некото­ рых соотношениях между средними напряжениями, деформациями и размерами микротрещин, при которых последние объединяются в мак­ ротрещину. В последнем случае приращение деформаций содержит не­ обратимую часть, которая может быть выделена при разгрузке среды.

Для согласования результатов экспериментов с данными теории дисперсного разрушения рассмотрим детально диаграмму состояния ортогонально-армированного стеклопластика, составленного после­ довательно из равного числа одинаково ориентированных слоев.

В случае растяжения в направлении, образующем угол 45° к ори­ ентации волокон, опытная правая кривая на рис. 85,6 определяет раз­ витие деформаций в направлении растяжения с ростом интенсивности средних напряжений при квазистатическом приложении нагрузки,

аопытная левая — соответствующий рост поперечных деформаций. При обработке данных предполагаем: искривление диаграммы

обусловлено только ростом условных локальных трещин в структуре; пренебрегаем на первых этапах разрушения вкладом, вносимым в из­ менение деформации межслоевыми трещинами.

Из поведения диаграммы видно, что наряду с образованием трещин в материале проявляются нелинейные свойства от неупругости мат­ рицы и изменения ориентации волокон. Точка А определяет верхнюю границу раннего этапа зарождения трещин; точка В — участок крити­ ческого развития трещин. Для обработки опытных данных определя­

261

ем модуль при растяжении и коэффициент поперечного эффекта на наклонных и главных направлениях анизотропии площадках

Е— Е — _________— _________

“1 - 2 ^ + а д ^ + В Д -1 ’

VУх “

_________4У21________ ^ в

1— 2\>21 -{- Ех0 ^ + ^1-^2 1 На участке ОА согласовываем начальный размер трещин ®, модуль

ЕI вдоль волокон до начала массового их разрыва с незначительной погрешностью можно принять неизменным. Определяющими парамет­ рами, существенно зависящими от размеров, ориентации и концент­

рации условных трещин, будут V21, ОЙ1, ^ Г 1

Опытные данные обрабатываем с помощью уравнений

<сгх.> = ______________ <**>__________________

щин в структуре. Конкретная зависимость эффективных модулей от указанных параметров приведена в предыдущих главах для различ­ ных материалов.

Полагаем в первом приближении 0 = 0, е{; ^ С и считаем все ус­ ловные трещины симметричными и равными; из (12.4) находим величи­ ну #о» соответствующую участку диаграммы АВ и т. д.

При известных параметрах условных трещин по ранее найденным формулам определяются все эффективные модули композиционных ма­ териалов. В более широкой программе экспериментов можно по одним данным оценить параметры разрушения, по другим — вносимую при этом погрешность в определение эффективных постоянных на других площадках.

Выше предполагалось, что главные оси анизотропии при росте условных трещин не меняли своего положения. В действительности произвольно ориентированные трещины изменяют (поворачивают) оси анизотропии композиционного материала, что приводит к суще­ ственному усложнению уравнений состояния. Первый случай назо­ вем простым, а второй — сложным дисперсным разрушением.

§ 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ м а к р о - и м и к р о т р е щ и н

Рассмотрим изменение интенсивности напряжений у сквозной мак­ ротрещины при растяжении тонкой пластинки из однонаправленного волокнистого материала с ростом размеров ориентированных микро-

8 При отсутствии трещин теоретически определенные модули выше, чем полу­ чаемые экспериментально.

262

Рис. 86

трещин, расположенных на межфазных границах или в матрице. Ва­ рианты взаимной ориентации трещин приведены на рис. 86.

Взаимодействие трещин рассматриваем приближенно с помощью эффективных механических характеристик ослабленного трещинами волокнистого материала.

Пусть макротрещина имеет вид эллипса с бесконечно малой осью по оси ОУ\ большая ось эллипса 2а (размер трещины) ориентирована перпендикулярно к ориентации волокон (рис. 86,в) или параллельно

0 Предполагается, что Я не может быть меньше стороны ячейки структуры материала.

263

Формулы (12.5) определяют концентрацию средних напряжений у

конца трещины; напряжения характеризуются классической особен- _ 1

ностью возрастания Я с уменьшением Я- Локальные напряжения в структуре материала у концов микротрещин на межфазной границе для заданных средних напряжений на ячейку могут быть выражены через эти средние и имеют свою особенность. Если выделить некоторый объем вблизи макротрещины, то он будет находиться под действием напряжений (оя), (аи) и (ояУ), заданных формулами (12.5).

Для схемы армирования на рис. 86,в действие этих напряжений эквивалентно суперпозиции состояний поперечного растяжения, про­ дольного растяжения и продольного сдвига волокнистой среды, де­ тально рассмотренных в гл. 8. Интенсивность, например, касательных напряжений у концов межфазной микротрещины

где с — параметр, определяемый геометрией трещины и неоднород­ ностью; р — расстояние от конца микротрещины.

Формулы (12.5) можно представить в виде

(* > - т 7 я Г (0*>-

Отсюда касательные напряжения у микротрещины можно записать следующим образом:

Как видно, напряжения у трещины, имеющей более высокий мас­ штабный уровень, вблизи макротрещины связаны со средними дей­ ствующими напряжениями <а0) через произведение интенсивностей средних и микронапряжений. Первый сомножитель в сумме (12.7) характеризует особенности в распределении напряжений в микросструктуре, второй — влияние изменения средних напряжений, оп­ ределяемое приведенными характеристиками среды с трещинами и геометрией макроскопического дефекта.

Рассмотрим влияние ориентации волокон и микротрещин на ин­ тенсивность напряжений у концов макротрещины. Средние напря­ жения на площадках, расположенных под углом ср = 0, имеют вид

Касательные напряжения, действующие на перпендикулярных пло­ щадках (ф =* я/2), будут

(12.9)

264

Интенсивность средних напряжений (12.8) и (12.9) на рассматри­ ваемых площадках определяется изменением только эффективных упругих параметров армированной среды, зависящих от ориентации волокон и микротрещин в структуре.

В соответствии со схемами на рис. 86 ниже приводятся оценки на­

ции микротрещин. Если значения (12.10) внести в (12.8) и (12.9), то видно, что интенсивность нормальных и касательных напряжений по сравнению с бездефектной структурой возрастает, но нормальные на­ пряжения (оу) с увеличением микротрещин растут более интенсивно. Согласно линейной механике разрушения предельное напряжение,

росту трещины. Предельное напряжение в случае наличия микротре­ щин с принятой на рис. 86,а ориентацией

Отсюда вследствие неравенства Е2> Е \ вытекает (^ )ь > (о у)ь, т. е. с возникновением ориентированных микротрещин в рассматриваемом приближении происходит повышение сопротивления росту макротрещины.

2.Здесь принято, что плоскости ориентации микротрещин и мак­

ротрещины параллельны; для данной схемы ЕУ= Е 2\ Ех=Еи Оху= = Ом, уУх = V^2 Предельные напряжения для среды с трещинами

т. е. сопротивление пластинки росту трещины нормального разрыва падает для рассматриваемой ориентации микротрещин.

3.В этом случае плоскости ориентации микро- и макротрещин вза-

заны с таковыми для бездефектной структуры (оу}ь равенством

265

в этом случае трещина нормального разрыва «затупляется», так как

Ег > Е \.

4.В этой схеме, где все трещины ориентированы в параллельных

Сравнение этого результата с рассмотренным в п. 1 показывает, что ориентация микротрещин способна изменить схему последующего рос­ та макротрещины. В последнем случае (п. 4) происходит падение со­ противления пластинки нормальному разрыву из-за неблагоприятного изменения степени анизотропии материала.

Проведенный анализ, как видно, основан на допущении, что раз­ меры микротрещины значительно меньше отдельной ячейки, а разме­ ры макротрещины больше этой ячейки, и опущены детали взаимодей­ ствия при непосредственном их влиянии.

§3. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

СУЧЕТОМ ЕЕ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ ПРИ НАГРУЖЕНИИ

При нагружении композиционного материала в нелинейной облас­ ти его деформирования • возможно изменение несущей способности конструкции вследствие перераспределения напряжений и уменьшения жесткости. В реальных материалах нелинейность проявляется благо­ даря локальным трещинам, необратимым деформациям, нелинейным свойствам матрицы при линейных упрочнителях и другим факторам.

В этом параграфе рассмотрим влияние условных трещин на свой­ ства материала и устойчивость оболочки. Задачу решаем при допуще­ ниях:

а) образование трещин не нарушает вида определяющих уравнений упругого состояния линейно-армированного слоя;

б) условные трещины располагаются на межфазной границе сим­ метрично (0 = 0) и равномерно, поэтому главные оси анизотропии ма­ териала не меняют своего направления; межслоевые трещины отсут­ ствуют;

в) процесс разрушения не сопровождается образованием сквозных макротрещин в стенке оболочки; повреждения для смежных и основной форм равновесия оболочки однотипны при достижении критической нагрузки.

Пусть многослойная цилиндрическая оболочка образована про­ дольно-поперечной укладкой одинаковых линейно-армированных слоев. Толщина каждого слоя &, толщина оболочки Ь= (2л + 1) Н, пакет собран симметрично относительно срединной поверхности оболочки. Параметры упругости слоев определяются с учетом изменения направ­ ления армирования по отношению к образующей цилиндрической по­ верхности:

266

Приведенные жесткости пакета на растяжение-сжатие (Си) и изгиб (йи) определяются характеристиками слоев

В принятом приближении, сравнивая изменение тангенса угла наклона касательной в выбранной точке диаграммы (а), <е) на оче­ редном этапе нагружения с формулами для модуля Е2 пакета, найден­ ными выше с учетом угла раскрытия трещин, найдем значение угла определяющего степень разрушения структуры у межфазной грани­ цы. Угол О позволяет по формулам гл. 8 найти все характеристики па­ кета с учетом дисперсного разрушения. В этом случае связь между при­

ращениями вектора приведенных усилий Т и деформаций е пакета на каждом этапе линейна:

где Т = [7У„ Т2\ 5; Т13] Т23; Мх\ М12\ М2] — компоненты вектора уси­ лий; 1а^] — матрица жесткости оболочки при рассматриваемом уров­ не напряжения. Приращения деформаций связаны с перемещениями оболочки известными линейными соотношениями.

Уравнения устойчивости оболочки, построенные с привлечением гипотез Тимошенко, выраженные через смещения, имеют вид

координаты точки срединной поверхности.

Полагая, что на концах оболочки обеспечивается шарнирно-по­ движное закрепление, решение системы (12.12) ищем в виде рядов

-367

дим к следующему участку диаграммы сжатия образца. По значению касательного модуля в начальной точке этого участка находим пара­ метр поврежденности структуры материала — угол после чего оп­ ределяем все компоненты 2-матрицы. С помощью последних и урав­ нений (12.14), (12.15) устанавливаем сгФ. Процесс продолжается до выполнения неравенства а[^<сг^

Влияние микроструктурных разрушений и отношения толщины к радиусу к!#- 10а на изменение критической нагрузки при равномерном внешнем давлении и осевом сжатии показано на рис. 87. Кривые 1—3 на рис. 87,а вычислены при отношениях длины цилиндрической обо­ лочки Ь к ее радиусу равных 2; 1; 0,5; А,—параметр, равный отно­ шению критической нагрузки с ростом трещинообразования к нагруз­ ке, при исходных значениях упругих постоянных. Критическая на-

268

грузка существенно снижается, как видно из поведения кривых, при ЫЯ ^ 1 и к/К- К)2 > 3 , т. е. сравнительно для более коротких и толстых^'оболочек.

1При осевом сжатии (рис. 87,6) для оболочек средней длины крити­ ческая нагрузка с учетом трещин снижается до 0,65 от таковой для не­ поврежденного материала при к!ЯтЮ2 ~ 20. Штриховые кривые по­ казывают, что приращение толщины оболочки в процессе расчета про­ водилось не непрерывно, а путем добавления отдельных слоев задан­ ной толщины так, чтобы пакет имел симметричное строение относи­ тельно срединной поверхности.

Из приведенных примеров следует, что учет дисперсного разруше­ ния слоистого композиционного материала вносит существенную по­ правку к критической нагрузке для коротких и средней толщины оболочек.

§ 4. РАССЕЯНИЕ ПОПЕРЕЧНОГО ТОКА

Пусть компоненты армированного материала являются токопро­ водящими средами; дисперсное разрушение их будет изменять удель­ ную эффективную электропроводность композиционного материала. Сравнение электропроводности неповреждаемого и материала с тре­ щинами позволяет судить о степени рассеяния тока дефектами струк­ туры и может быть положено в основу неразрушающего контроля структуры материалов.

Рассмотрим неограниченную среду с двоякопериодической струк­ турой общего вида, армированную однонаправленными круговыми ци­ линдрическими волокнами радиуса а^ в постоянном во времени элект­ рическом поле, напряженность которого &. Элементарная ячейка среды содержит несколько волокон с нарушенными связями на меж­ фазной границе. Определим удельную интегральную электропровод­

ность среды.

Задача сводится к определению потенциалов ср {г) и фу (г) в облас­ тях, занимаемых матрицей и /-м волокном. Пусть перпендикулярно к ориентации волокон течет постоянный электрический ток, так что можно задать среднее по ячейке электрическое поле (§2), (&3). Поле имеет потенциал, поэтому

функциями, полагая, что ось Охг направлена вдоль ориентации воло­ кон;

269

Здесь ^п^— плотность тока на площадке, нормаль к которой образует угол 0 с осью Ох2\ з — дуга окружности. Приведенные соотношения одинаково справедливы для всех компонентов материала, поэтому индексы опущены.

На межфазной границе при совершенном электрическом контакте компонентов полагаем непрерывность потенциалов и нормальной со­ ставляющей плотности тока:

где т — координата граничной точки. На участке с трещиной считаем, что контакт между берегами отсутствует:

В принятой постановке пренебрегаем туннельным эффектом, кон­ тактными и термоэлектрическими явлениями на межфазной границе. Условия двоякой периодичности поля будут выполнены, если

270