книги / Микромеханика композиционных материалов

Когда волокна имеют совершенный контакт с матрицей на всей межфазной границе, то ^ = 2я и

N

1 - С + 2 2^ / 0, (1 + о/о,)” 1

Более детально рассмотрим свойства среды, элементарная ячейка

которой содержит одно волокно с произвольно расположенной тре­ щиной:

где 0 — угловая координата центра участка межфазной границы с со­ вершенным контактом;

I (?, О) = 4 [ 1 - ?2соз -у + 2 (1 + ^соз -1) <»Ч + (1 - Й (аЧ)2] •

Появление в среде произвольно расположенной трещины, изменяющей симметрию ее структуры, эквивалентно преобразованию матрицы элек­ тропроводности

Здесь р2з — коэффициент взаимного влияния,

С помощью найденных формул удается проследить влияние удельного сопротивления токопроводящих волокон, трещин и их ориентации на эффективные характеристики электропроводности армированного ма­ териала.

Соответствие теоретических соотношений свойствам реального ма­ териала установлено путем экспериментального исследования модель­ ных сред. Стабильность свойств, практическое отсутствие анизотро­ пии электропроводности после отжига и возможность получения до-

271

•статочно тонких разрезов заданного размера удается обеспечить на фольге из алюминиево-магниевых сплавов. Указанное соответствие выполнялось с точностью до 5 % [28].

§ 5. ВЯЗКОУПРУГОСТЬ АРМИРОВАННЫХ МАТЕРИАЛОВ С ТРЕЩИНАМИ

Основные соотношения теории линейной анизотропной вязкоупру­ гости термореактивных полимеров, армированных упругими волокна­ ми, построены с помощью принципа соответствия Вольтерра и при­ ближенных формул для эффективных упругих постоянных волокнис­ той среды [11]. Ниже приводится обобщение этой теории на армирован­ ные материалы с продольными трещинами.

Описание вязкоупругих свойств полимерной матрицы в ограничен­ ном интервале изменения приложенного напряжения проводится на основе теории упругой наследственности при использовании в каче­ стве ядер дробно-экспоненциальной функции [60]

где Г Ы — Г-функция [29]; со», А, — реологические параметры, чис­ ловое значение которых определяем по данным испытаний на ползу­ честь или релаксацию напряжений. При X -ъ 1

Введение дробно-экспоненциальной функции позволяет с требуе­ мой точностью описывать экспериментальные и теоретически вычис­ ленные кривые ползучести и релаксации напряжений на ограничен­ ном начальном участке кривой; удовлетворительно согласовывать асимптотические значения кривых ползучести и релаксации напря­ жений при длительном нагружении или разгрузке и достаточно просто преобразовывать сложные операторные соотношения с помощью прос­ тых правил. Для удобства приводим основные формулы преобразова­ ния операторов [60]:

272

Здесь Сп (к = 1, ..., га) — корни уравнения

*=I

коэффициенты ЪК определяются из решения системы га линейных алгебраических уравнений вида

далее

6

где 2 — время наблюдения события; / ' — текущая переменная. Для числовых расчетов в случае простой ползучести или релаксации на­ пряжений удобно использовать приближенные аппроксимации вида [64]

В случае одномерной ползучести с постоянным во времени напря­ жением о = а^, полагая деформации в виде суммы упругой и вязкоупругой составляющих, получаем

В предельном случае I ->■ оо имеем согласно (12.26)

откуда следует длительный модуль Едл полимера

Модуль мгновенной упругости Е0 рассчитывается по результатам кратковременных испытаний, когда не проявляются вязкоупругие деформации полимеров. Модуль Е» определяется замером общей де­ формации устойчивой ползучести, накопленной до момента, когда скорость ползучести близка к нулю, с учетом формулы (12.27). Для

описания устойчивого процесса ползучести необходимо четыре су- 0)

В результате обработки опытных данных полимеров, например на основе эпоксидно-малеиновой композиции, найдено: А,< 0 ,5 ; ©0 ^ ^ 0,052/-*; ©то ~ 0,12/— Е„ = 0,981.0,73.1010 Н/м2.

273

При напряжениях ползучести о < (0,6ч-0,7) сгв, где сгв—напряже­ ния разрыва образца при непрерывном возрастании нагрузки с малой скоростью, в целом наблюдается удовлетворительное совпадение тео­ ретических и экспериментальных данных, полученных на образцах. Если пренебречь вязкоупругостью при гидростатическом сжатии, т. е. считать объемное расширение чисто упругим, то операторный коэф­ фициент Пуассона изотропного вязкоупругого тела

V* = V. [ 1 + со03 ;_ , ( - оо)] . (12.28)

Здесь индексом 0 отмечено мгновенное значение коэффициента, когда материал подчиняется закону Гука.

Для устойчивого процесса ползучести эпоксидно-малеинового поли­ мера коэффициент Пуассона изменяется в пределах 0,382 ^ V ^ 0,418, где наименьшее значение соответствует VI); для материалов с неустой­ чивым процессом ползучести, когда со„ 0, предельное значение ^дл = 0,5.

Приведенные правила (12.25) устанавливают следующие связи

Для построения определяющих уравнений линейной вязкоупругос­ ти волокнистых материалов с трещинами воспользуемся принципом Вольтерра, согласно которому упругие постоянные в формулах для эф­ фективных характеристик заменяются соответствующими операторами вязкоупругости. В материалах, когда вязкоупругие эффекты обоусловлены только матрицей, следует произвести преобразования вида Е -> -+Е*, V V*, 0 О* Операторная податливость при продольном сдвиге волокнистой среды с симметрично расположенными трещинами (0 = 0) будет (см. гл. 8)

1 _ \ - И \ - Ц + (1 + 1;)0*Юа 1 о;я “ 1 + С ( \ - Л ) + <1-;)е*/ба

В большинстве композиционных материалов преобразование опе-

0

раторов следует вести с учетом неравенств вида — <^ 1, что позво­

ляет существенно упростить формулы, не внося недопустимой по­ грешности. В этом случае, используя правила (12.25), а также заме­

274

няя операторы с весьма малыми сомножителями на соответствующие им постоянные, т. е. на мгновенно упругие значения, находим

Приближенное значение операторного модуля при продольном растя­ жении получается при сохранении в формуле (1.39) только первых двух членов:

Для материалов, в которых Ео/Еа < 1, например у стеклопласти­ ков, поправка, вносимая вторым слагаемым, составляет доли процен­ та, поэтому при продольном растяжении деформации ползучести ма­ лы, т. е. на этих площадках материал упругий. Определение общего вида операторов, характеризующих эффективные коэффициенты по­ перечной деформации и остальные операторные модули, представляет в случае армированных сред с трещинами значительные трудности. В этом случае, учитывая конкретные характеристики компонентов, возможны приближенные построения, при которых часть операторов заменяется их мгновенно упругими значениями. Подобные построе­ ния с учетом правил (12.25) не вызывают каких-либо трудностей, по­ этому здесь они не приводятся.

275

Г Л А В А 13

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВОЛОКНИСТЫХ МАТЕРИАЛАХ

Широко распространенные армированные материалы в зависимости от свойств компонентов условно разделяются на диэлектрики или про­ водники; подбором специальных свойств компонентов они могут быть отнесены к полупроводникам, ферромагнетикам, сверхпроводникам и т. д. В частности, стеклопластики, как правило, диэлектрики; компо­ зиции на основе металлической матрицы и токопроводящих волокон являются типовыми проводниками, а соединения из сверхпроводящих нитей или лент и, например, медной матрицы при достаточно низких температурах — сверхпроводниками второго рода. Электромагнитные свойства композиционных сред в длинноволновом приближении опре­ деляются эффективными диэлектрической и магнитной проницаемо­ стью, удельной проводимостью и др. В высокочастотном поле большой интерес представляет изучение рассеяния поля на неоднородностях волн, которые могут распространяться в композиционных средах.

§ 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ

Начало декартовых координат располагаем на оси волокна, сов­ местив ее с осью Ох1 В стационарном электрическом поле в диэлектри­ чески однородной изотропной среде потенциал поля

Для волокнистых материалов наибольший интерес представляет случай поперечного поля, когда продольная компонента вектора на­

пряженности отсутствует. В среде с регулярной упаковкой при слабо изменяющемся в пределах отдельной ячейки внешнем поле по­

перечные компоненты вектора & будут двоякопериодическими функ­

277

поперечные компоненты в двухмерном поле рассчитываются согласно равенству

Вектор электрической индукции определяется через напряженность поля

На межфазных границах при совершенном контакте обеспечивается равенство тангенциальных компонентов вектора напряженности и нор­ мальных к границе составляющих вектора электрической индукции.

Фа (т) + Ф а (т) = Ф(т) + Ф(т),

еа [Фа (т) - Я Ш ] = е [Ф (г) - Ф ф ] ,

что эквивалентно равенству

Усреднение осуществляем с помощью подстановки (11.8) в формулу для потенциала

Интегральные диэлектрические постоянные композиционной среды «22 = езз (ДЛЯ рассматриваемых структур) определяются из второго представления удельной электрической энергии. Сравнение исходных соотношений и краевых условий (13.1)—(13.18) с формулами (1.9)— (1.28) указывает на математическую аналогию в решениях этих задач; при этом соблюдается соответствие между характеристиками полей

278

а также е -* О, е22 -* 012; е33 -* 013. Поэтому интегральные параметры могут быть Еыписаны по аналогии; во втором приближении согласно (1.28) получаем

где п = 4 и л = 6 — соответственно для тетрагональной и гексаго­ нальной упаковок волокон; а 4 = я/2; а 6 = п/З; С — объемное содер­ жание волокон;

Для определения диэлектрической проницаемости материалов с полыми волокнами воспользуемся правилом, рассмотренным при вы­ воде (3.15). Согласно этому предложению эффективная диэлектричес­ кая проницаемость элементарного волокна с полостью может быть

‘“ '- М Д , + ( 1 - у е о) ^ - '>

Здесь ев и е0 — диэлектрические проницаемости волокна и полости; п характеризует упаковку материала; ц — а0/а — отношение радиуса полости к внешнему радиусу волокна. Эффективная диэлектрическая

8 1+С+(1-0б?/в

Подобным способом составляются формулы эффективной диэлектри­ ческой проницаемости для неоднородных, анизотропных и других во­ локон. Отметим, что в случае вакуума Ео = 1, однако при попадании влаги в полость значение е0 возрастает в десятки раз и эффективная диэлектрическая проницаемость существенно увеличивается.

В реальных материалах наблюдается отставание вектора электри­

ческой индукции В от вектора напряженности поля е, сопровожда­ емое рассеянием энергии в диэлектрике. Учет сдвига фаз в линейном приближении осуществляется путем замены постоянной диэлектри­

279

ческой проницаемости на интегральный оператор проницаемости с дробно-экспоненциальным ядром Работнова:

при малой и большой частотах изменения электромагнитного поля; параметры й 0 и X подбираются по данным опытов; вид введенных ядер

исвойства интегральных операторов рассмотрены в § 5 гл. 12.

Впериодически изменяющемся поле, когда

(ф — угол сдвига фаз), при учете рассеяния (13.13) устанавливаются вещественная е' и мнимая е" части проницаемости в однородном изо­ тропном теле е = б ' — 1в", где

рабатывать данные экспериментов с большей точностью, чем с помощью обычных формул, вытекающих из последних при Х = 1 [131.

При высоких частотах в некоторых материалах наблюдается явле­ ние резонанса, когда проницаемость возрастает, а при критической частоте имеет место крутой спад проницаемости до значения, меньше­ го единицы. С ростом частоты е' асимптотически приближается к зна­ чению, соответствующему вакууму. Переход через резонансную час­

Приведенные соотношения позволяют оценить диссипацию электро­ магнитной энергии в композиционном материале по свойствам компо­ нентов [131.

280