книги / Микромеханика композиционных материалов

г) поперечный поток тепла

д) суммарный поперечный поток энергии

— Ш г = Яг~~ «<7з 4 - И-(/2 — %)•

Здесь использованы обозначения, введенные в гл. 10.

Вдвухмерном поперечном поле потенциальные функции связаны

сфизическими полями

^2 — ~ 2р' (г) = — 2ф' (г),

( 11.22)

С учетом приведенных формул токи и потоки выражаются через ком­ плексные функции

и — У* = — 2скр' (г) + 2ааТ„ф' (г).

(11.23)

9г — 1-9з = — 2»д<р' (г) + 2хГ^' (г).

Условия совершенного контакта компонентов (10.19) в случае двух­ фазной армированной среды сводятся к системе функциональных урав­ нений

Вывод условий усреднения построим для случая стационарных по­ токов в пределах выделенного объема. Рост энтропии определяем со­ отношением

Последних два члена равны нулю для стационарных потоков. Ин­ тегрируя полученное выражение по ячейке площадью Р с учетом тео­ ремы Стокса, получаем

251

объема; индексом п отмечены нормальные составляющие векторов. За­ меняя в (11.25) локальные значения температуры и потенциала на ус­ редненные согласно равенству

<И) = - (8* - «»> | - (8, + *8з> у .

и приравнивая найденные выражения к первому представлению энтро­ пии (10.10), получаем

Эффективные параметры определяются с помощью (11.25) и второго представления энтропии (10.10).

Рассмотрим основные соотношения теории пьезоэлектрических явлений при поперечных сдвиге и электрическом поле. В статическом приближении связанные поля определяются соотношениями в компо­ нентах:

упругие смещения — через комплексный потенциал

Здесь используются введенные в этой главе обозначения.

252

Условия совершенного контакта компонентов сводятся к системе

Путем сравнения краевых соотношений (11.24) и (11.31) устанавлива­ ем аналогию между ними при выполнении условий между потенци­ алами

иТ1) \04? — г ) '

Вэтом случае существуют следующие соотношения между потоками и термодинамическими силами (слева стоят величины для термоэлектри­ ческих, справа — для пьезоэлектрических явлений):

Аналогия между условием усреднения теплового потока в теории термоэлектрических явлений и соотношения усреднения электричес­ кой индукции в задаче о пьезоэлектрических эффектах полностью со­

253

гласуются с (11.35), однако аналогия нарушается во втором условии усреднения. Кроме указанных замечаний, отметим, что нарушаются соотношения, определяющие связь потоков и сил с комплексными по­ тенциалами.

§ 4. ПЬЕЗО- И УПРУГООПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ

Стеклопластики на основе эпоксидных и других полимеров явля" ются хорошими диэлектриками, не обладают магнитными свойствами и прозрачны при более длинных, чем оптические, волнах электромаг­ нитного излучения. Распространение электромагнитных волн в стек­ лопластиках удобно для задач неразрушающего контроля, например, композиционных материалов описывать с использованием тензора ди­ электрической непроницаемости среды, связывающего векторы элект­ рической напряженности и индукции

=Т122 (^2

Здесь т]22 = т|зз — компоненты тензора диэлектрической непроница­ емости волокнистой среды при поперечном к ориентации волокон рас­ пространении электромагнитных волн; структура стеклопластика об­ разует гексагональную или тетрагональную решетки.

Если среда находится в напряженно-деформированном состоянии, то диэлектрическая непроницаемость при достаточно высоких частотах распространяющихся электромагнитных волн претерпевает изменение в зависимости от пьезооптического эффекта или фотоупругих свойств среды. В линейном приближении указанное изменение устанавливается тензором пьезооптических коэффициентов, связывающих изменение диэлектрической непроницаемости с напряжениями:

локна и полимерная матрица являются оптически изотропными среда­ ми, поэтому (11.36) и (11.37) для компонентов стеклопластиков можно упростить:

254

Здесь, как и везде выше, выписывается одна группа соотношений без индексов, поэтому для каждого компонента композиционной среды ко­ эффициенты этих уравнений отмечаются соответствующими индексами.

Особый практический интерес при разработке аппаратуры для неразрушающих методов контроля процесса трещинообразования в конструкциях из стеклопластиков представляет изменение пьезо11 упругооптических коэффициентов с ростом концентрации, размеров и ориентации трещин. Для определенности рассмотрим линейно-арми­ рованный материал с простейшей регулярной структурой, когда тре­ щины на межфазной границе сильно удлинены вдоль волокон. Если берега трещин свободны, то общий вид напряженно-деформированного состояния разделяется на простые составные схемы нагружения выде­ ленного объема армированной среды.

Будем пренебрегать изменением внешних механических и электри­ ческих полей в пределах приведенного элемента, что соответствует длинноволновому приближению, т. е. длина волны изменяющегося в поперечном направлении поля должна превышать 100 мкм для реаль­ ных стеклопластиков с диаметром волокон менее 10 мкм.

Детально рассмотрим задачу о продольном сдвиге среды с произ­ вольно расположенными межфазными трещинами. Основные уравнения

255

в) напряженное состояние обладает трансляционной симметрией,

где о)21 о)3 — периоды структуры; г) средние по площади ячейки напряжения заданы согласно (8.33).

Здесь индексом а отмечены величины, относящиеся к волокну, без индекса — к матрице.

Поставленная задача о продольном сдвиге получила точные и при­ ближенные решения в гл. 8. Здесь ограничимся построением приближен­ ного решения с помощью (8.26), когда выделенный элемент содержит

Интегрированием получаем определяющие уравнения для элемента композиционной среды [19]

Здесь рШт — эффективные упругооптические коэффициенты:

256

середины участка с совершенным контактом; #0 — угол, определяющий участок межфазной границы с совершенным контактом.

Анализ полученных формул для эффективных коэффициентов по­

ентов для рассматриваемой простейшей упаковки волокон снижается

Число пьезооптических коэффициентов для среды с совершенным контактом компонентов уменьшается тоже до одного.

Как видно, рост и ориентация трещин усиливают степень анизотро­ пии среды и изменяют симметрию ее структуры. Решение задачи при других видах напряженного состояния волокнистой среды строится

257

Г Л А В А 12

ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЛОКНИСТЫХ СРЕД С ТРЕЩИНАМИ

Классическая теория хрупкого разрушения твердых тел связывает размеры трещин с предельной нагрузкой и приводит к полезным соот­ ношениям для обработки некоторых данных экспериментального раз­ рушения упругих материалов с технологическими или другими несо­ вершенствами. Однако основные положения теории не затрагивают задачи о происхождении и размерах начальных дефектов, как и ее применение к композиционным материалам. Если в однородных упру­ гих средах начало движения изолированной трещины может прини­ маться как достижение критического состояния, ведущего к разруше­ нию элемента конструкции, то в композиционных материалах при раз­ личных видах нагружения экспериментально наблюдается характерная картина дисперсного разрушения. В последнем случае в структуре среды возникает множество трещин, приводящих к качественно новым эффектам — росту анизотропии материала при преимущественной ори­ ентации трещин, падению упругих модулей, нарушению симметрии в структуре материала и наступлению неустойчивого состояния равно­ весия.

В этой главе рассмотрены некоторые приложения теории дисперс­ ного разрушения композиционных материалов к оценке предельного состояния пластинок с отверстиями и макротрещинами, элементов обо­ лочечных конструкций.

§ 1. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ВОЛОКНИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ДИСПЕРСНОМ РАЗРУШЕНИИ

Простейшая схема упрочнения конструкций из волокнистых мате­ риалов реализуется в слоистых структурах, где каждый слой состав­ лен одинаково ориентированными волокнами. Дисперсное разрушение каждого слоя в таком материале является следствием локального пе­ рераспределения напряжений между несущими и ослабленными эле­ ментами структуры при росте трещин. В отдельно взятом слое подоб­ ная схема разрушения трудно реализуема в силу отсутствия указан­ ного перераспределения напряжений между слоями.

Для описания дисперсного разрушения слоистого материала при­ мем схему поэтапного развития локальных трещин, когда рост раз­ меров, ориентации и концентрации трещин приводит к следующим

259

ности не наблюдается изменение эффективных модулей материала, трещины не взаимодействуют между собой, изменение наклона каса­ тельной на диаграмме (г1к) не превышает допустимой погреш­ ности;

б) критический этап развития трещин, при котором наблюдается изменение упругих постоянных за пределом допустимой погрешности, реальная диаграмма (агй), {г1к) на этом интервале изменения дефор­ маций заменяется участком прямой, параллельной касательной к ди­ аграмме в середине участка; вводятся условные трещины;

в) последующие этапы роста и объединения трещин, при которых необходима новая коррекция изменения наклона касательной к рас­ сматриваемому участку диаграммы состояния материала.

Эволюция хрупкого разрушения волокнистой среды сводится к соответствующим преобразованиям 2-матрицы, связывающей усред­ ненные напряжения и деформации на каждом участке диаграммы состо­ яния среды. Явная зависимость компонентов 2-матрицы, являющаяся аналитическими функциями параметров, определяющих детали микро­ разрушения в структуре, устанавливается с помощью моделей, отража­ ющих кусочно-однородную структуру и возможные пути распростра­ нения микротрещин.

Если в выделенном объеме материала с простейшей регулярной структурой возникла микротрещина, то этот факт эквивалентен пре­

260