книги / Микромеханика композиционных материалов

§ а МАГНИТОСТАТИКА. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ

В армированной среде с простейшей регулярной упаковкой воло­ кон, находящейся в стационарном магнитном поле, вектор магнитной напряженности выражается через градиент потенциала

Если продольная компонента вектора Н равна нулю, то Н2 — /# 3 бу­

дет двоякопериодической функцией. Магнитная индукция В в изо­ тропной среде связана с вектором И (в слабых полях) известным со­

отношением В = \хИ, где р — магнитная проницаемость среды.

На границах раздела компонентов должно соблюдаться равенство тангенциальных составляющих вектора поперечного магнитного поля и нормальных составляющих вектора магнитной индукции. Полагая в

Между представлениями электрической (13.7) и магнитной энергий есть (в статических полях) аналогия, на основе которой можно запи­ сать эффективную магнитную проницаемость волокнистой среды

где индексом а, как всегда, отмечены величины, относящиеся к во­ локнам; остальные обозначения известны.

Для многокомпонентных материалов эффективные диэлектрические и магнитные проницаемости в статическом приближении могут быть выписаны аналогично формулам, полученным при решении задач о продольном сдвиге.

Уравнения состояния волокнистой среды для усредненных харак­

281

В высоконаполненных композиционных средах побочные эф­ фекты р2з> е2Эвесьма малы; оценить их нетрудно по аналогии с побоч­ ными эффектами, возникающими в случае продольного сдвига (см. гл. 4). Эффективные постоянные гп и рп можно оценить по формулам простой смеси, если пренебречь краевыми эффектами у торцов воло­ кон. На основе (13.20) нетрудно построить аналогичные зависимости для слоистых сред; последняя задача элементарна, если пренебречь краевыми эффектами.

объема усреднения в композиционной среде; б) поле изменяется с такой частотой, что его структура с необхо­

димой точностью устанавливается раздельными уравнениями элек­ тростатики.

Диссипативные явления при указанных предпосылках учитывают­ ся с помощью операторов (13.13), (13.15).

§3. ВЫСОКОЧАСТОТНОЕ ПОЛЕ В СРЕДАХ

СВОЛОКНАМИ-ПРОВОДНИКАМИ

Рассмотрим волокнистый материал, в котором оси волокон одина­ ково ориентированы, а их центры в поперечной плоскости образуют простейшую моноклинную структуру; расстояния между центрами смежных волокон будут о)ь <о2; а — угол сетки. Координаты центра тп-то волокна определим формулой

282

где к = со/с; п и п * удовлетворяют одному уравнению

д2л Э2я д2п , ,о — Л

1 ? + ^ + ^ + ^ п = а

Внутри идеального проводника 10 электрическое поле равно нулю, поэтому на его поверхности тангенциальные компоненты вектора поля отсутствуют:

Здесь л — вектор нормали к поверхности волокна; второе краевое условие написано, как и для идеального магнитного проводника. Как видно, задача в данной постановке сводится к определению электри­ ческого и магнитного полей в связующей среде.

Вцилиндрической системе координат сохраняем одну компоненту вектора Герца п = е1п, я = е1^Г, Здесь и в дальнейшем е{,ег,ев — единичные орты локальной цилиндрической системы координат.

Как нетрудно убедиться, при однородных краевых уравнениях (13.23) электрический и магнитный векторы Герца являются несвязан­ ными и могут строиться раздельно.

Вслучае поперечно-магнитных волн электромагнитное поле в ло­ кальной цилиндрической системе координат согласно (13.22)

Граничные условия (13.23) представляются в виде, удобном для раз­ дельного построения векторов Герца:

10 Подобное приближение пригодно к металлам при невысоких частотах со.

283

В цилиндрической системе координат искомые решения уравне­ ния Гельмгольца

Здесь М° (х) — цилиндрические функции первого и третьего родов; № = кЧ\1— Н2

Известно, что в однородной среде плоская волна общего вида может

где Н = к соз Р; Р и <р в случае изотропной среды — углы наклона вол­ ны с осями х1 и х2; г, 0 — текущие цилиндрические координаты. Век­ торы Герца должны удовлетворять краевым условиям, вытекающим из первой группы уравнений (13.26):

я | = 0 , дг \атп= 0 , т ,п = 0, ± 1,...» ± °°-

По аналогии с представлением (13.27) падающее поле на тп-е волокно

284

Сумма.падающего и отраженного полей (13.28) и (13.29) удовлетворя­ ет краевым условиям, поэтому искомое решение будет

всех включений; применяя теорему сложения цилиндрических функ­ ций и суммируя отраженные волны от окружающих волокон, находим

Здесь нижние индексы У5тп и УР5тп соответствуют номеру рассматривае-

характеризующими волновое поле в отдельной ячейке. В дальнейшем решения уравнений (13.31) строятся отдельно для поперечно и про­ дольно распространяющихся волн. Для первого случая решение урав­

285

из условия совместности которых следуют дисперсионные уравнения для определения а и

Векторы электрического и магнитного полей выписываются непосред ственно по формулам (13.22) с учетом (13.37).

Рассматривается длинноволновое приближение данной задачи, когда поле слабо изменяется в смежных ячейках. В принятом прибли­ жении суммы (13.36) заменяются интегралами

При слабом изменении поля и сходимости интеграла в интервале ниж­ ний предел будет 6 = 0. Интегрированием по частям с использовани­ ем уравнений Бесселя интеграл (13.39) преобразуется:

286

Слагаемые в скобках на верхнем пределе стремятся к сумме 6-функций от аргумента а ± А,. Исключая из рассмотрения указанный случай, в дальнейшем в окончательном результате опускаем обобщенные функ­ ции. На нижнем пределе при использовании асимптотически бесселе­ вых функций при малом аргументе получим

где Г (я) — Г-функция. Интеграл в (13.40) выражается через разрыв­ ные интегралы Вебера—Шафхейлина и им родственные. Окончатель­ но запишем

^ ( ^ ; ^ ; е ; 1 - ^ , С > 1 .

287

где ^ = оД; 2Р{ (а, Ь\ с\ хг) — гипергеометрическая функция11,

т—О

Аналогичные упрощения при использовании асимптотики цилиндри­ ческих функций при малом аргументе проводятся с Ув = = К_5:

(13.42)

Бесконечные определители (13.35) раскрываются по методу после­ довательных приближений; их структура такова:

гласно (13.45) представлено произведением функций, характеризующих волновое поле между ячейками (экспоненциальный сомножитель) и поле внутри каждой ячейки.

В длинноволновом приближении удается ввести эффективные ди­ электрические и магнитные проницаемости. Рассмотрим уравнения распространения усредненных характеристик поля

11 Результат вычисления интеграла (13.40) получается из (13,41) при вамене а

на д.

288

Сравнивая показатели экспоненциальных функций в (13.43) и (13.45), устанавливаем в длинноволновом приближении

В длинноволновом приближении, используя (13.39) и (13.41), на­ ходим

4* ( - \ у - ^ ' - х)^ \(а(% Г\ %> а,

Ра?

1(Я/а)'-т, Ъ<а;

( - 1)/-у(/-ЧФ Г(М .)'-\ Х>Ф,

/г — ^ *•*— {(Ш )'- *, 1 < А

Используя асимптотики (13.42), в поперечно-электрическом поле в первом приближении, ограничиваясь одним членом во втором Опре­ делителе (13.35), находим

Последующие приближения учитывают дисперсионные явления. Рассмотрим волны, распространяющиеся в направлении ориента­

ции волокон. Допустим, что продольные компоненты векторов напря-

289

Основная волна ТЕМ — одновременно поперечно-электрическая и по­ перечно-магнитная; распространяется она как плоская волна в мат­ рице. Из (13.49) и (13.21) вытекает

поэтому поперечные компоненты Л и Я удовлетворяют двухмерному уравнению Лапласа. Структура поля в поперечном сечении хг = соп$1 определяется на основе решений уравнений электромагнитостатики при соблюдении краевых условий (13.23).

При распространении волн поперечно-электрических (ТЕ) и по­ перечно-магнитных (ТМ) вдоль волокон поле определяется компонен­ тами векторов Герца. Решение задачи строится аналогично рассмот­ ренному выше, поэтому приводим лишь конечные результаты. Если поле в плоскости хг = соп$1 двоякопериодическое, то компоненты век­ торов Герца строятся аналогично решению (13.37):

где р, р, I — натуральные числа, характеризующие периоды поля в плоскости хх = соп§1. Параметры распространения км к' находятся из бесконечных определителей (13.35), где

В длинноволновом приближении, если суммирование заменить ин­ тегрированием, находим

290-