Lection1.1(1)

11

Курс лекций “Математическое моделирование”

1. Модели и моделирование

Лекция 1

1.1. Понятие модели

Математическое компьютерное моделирование - это одна из наиболее динамично развивающихся научных дисциплин. Слова модель, математическое моделирование, компьютерное моделирование все более настойчиво входят в жизнь современного общества, в котором центр тяжести использования ЭВМ переместился из области научных исследований в область экономики, планирования, управления производством и распределением, т.е. в сферы, непосредственно затрагивающие интересы большинства людей. Компьютеризация в определяющей степени стимулирует развитие технологии математического моделирования, в то же время, без математических моделей различных процессов и явлений о всеобщей компьютеризации можно только мечтать. Математическое компьютерное моделирование является мощным, а в ряде случаев и единственным инструментом, позволяющим глубже понять физику явления или спрогнозировать динамику протекания процесса.

Под системой в общем случае понимается наличие множества объектов с набором связей между ними и между их свойствами (например, промышленное предприятие, больница, человек и машина и т. д.).

Модель - это представление явления, объекта или системы в некоторой форме, отличной от формы их реального существования - отображение реальности в область "фантазий". Под "фантазиями" здесь понимаются действия, подчиняющиеся определенным законам логики, математики, физики, экономики, социологии и т. д.

Моделирование - это форма человеческой деятельности, связанная с построением, использованием и совершенствованием моделей.

Целью моделирования является анализ явления, описание поведения объекта, или системы, выявление закономерностей и механизмов такого поведения с целью прогнозировать, предсказывать поведение объекта, или системы, в различных ситуациях не прибегая к экспериментам на реальном объекте или системе.

Принято считать, что умение правильно выбрать и реализовать математическую модель находится на грани искусства и науки, тем не менее, постижение технологии этого процесса позволяет реализовать те или иные способности в этой области в несравненно большей степени.

Первоначально понятие модель относилось только к материальным объектам специального типа, например манекен, гидродинамическая уменьшенная модель плотины, модели судов, самолетов, чучела (модели животных и птиц) и т.п.

Затем были осознаны модельные свойства чертежей, рисунков, карт реальных объектов, воплощающих абстракцию довольно высокого уровня. Следующий шаг заключался в признании того, что моделями могут служить не только реальные объекты, но и абстрактные, идеальные построения. Типичным примером служат математические модели.

Наиболее важной формой моделирования является имитационное моделирование. Имитировать, значит "вообразить, постичь суть явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте".

Имитационное моделирование является экспериментальной и прикладной методологией, имеющей целью:

1. Описать поведение системы;

2. Понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, основные свойства, законы развития, саморазвития и взаимодействия с окружающей средой;

3. Научиться управлять объектом или процессом, определять наилучшие способы управления при заданных целях и критериях;

4. Прогнозировать будущее поведение системы, а также прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на систему.

1.2. Классификация моделей

Любая классификация моделей условна в силу того, что она отражает, с одной стороны, пристрастие авторов, с другой – ограниченность их знаний в конечном числе областей научного познания.

Как уже отмечалось, существует несколько подходов к моделированию, которые условно можно объединить в две большие группы: материальное (предметное) и идеальное (теоретическое) моделирование. Учитывая, что идеальное моделирование является первичным по отношению к материальному (вначале в сознании человека формируется идеальная модель, а затем на ее основе строится материальная), существующие типы моделирования можно представить схемой, показанной на рис.1.1.

Рис. 1.1. Существующие типы моделирования

Материальное моделирование. Основными разновидностями материального моделирования являются физическое и аналоговое моделирование. При этом оба вида материального моделирования основаны на свойствах геометрического или физического подобия. Две геометрические фигуры подобны, если простым умножением размеров одной фигуры на величину масштаба получаются размеры другой, ей подобной геометрической фигуры. Два явления физически подобны, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц измерения к другой. Изучением условий подобия явлений занимается теория подобия.

Физическое моделирование – это такое моделирование, при котором реальному объекту ставится в соответствие его увеличенный или уменьшенный материальный аналог, допускающий исследование (как правило, в лабораторных условиях) с помощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе теории подобия.

Аналоговое моделирование – это моделирование, основанное на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими соотношениями, логическими и структурными схемами).

В качестве примеров аналоговых моделей можно привести электрические и механические колебания, которые с точки зрения математики описываются одинаковыми соотношениями с точностью до обозначений, но относятся к качественно отличающимся физическим процессам. Поэтому изучение механических колебаний можно вести с помощью электрической схемы и наоборот.

Иногда после перехода к математической модели выясняется, что та же математическая модель соответствует совершенно иной задаче (см. рис.1.2), подчиненной другим физическим, экономическим, социальным или биологическим законам. Так возникают аналогии (распространение тепла, вещества, популяции животных, птиц и т. д.).

Рис. 1.2. Множественность аналогий моделирования

С другой стороны, один и тот же объект может иметь много не эквивалентных моделей. Это связано с изучением различных свойств объекта , т. е. с необходимостью исследования различных систем его характеристик. В то же время принципиально разные модели могут появляться при изучении одной и той же системы характеристик (см. рис.1.3).

Рис. 1.3. Множественность моделей при моделировании

Модели физического и аналогового типа являются материальным отражением реального объекта и тесно связаны с ним своими геометрическими, физическими и прочими характеристиками. Фактически процесс исследования моделей данного типа сводится к проведению ряда натурных экспериментов, где вместо реального объекта используется его физическая или аналоговая модель.

Идеальное моделирование разделяется на два основных типа: интуитивное и научное.

Интуитивное моделирование – это моделирование, основанное на интуитивном (не обоснованном с позиции формальной логики) представлении об объекте исследования, неподдающемся формализации или не нуждающемся в ней. К данному типу моделирования можно отнести умения и знания, накопленные многовековым опытом и передающиеся от поколения к поколению. Например, умение лечить болезни с использованием приемов народной медицины.

Главное отличие научного моделирования от интуитивного заключается не только в умении выполнять необходимые операции и действия по собственно моделированию, но и знание “внутренних” механизмов, которые используются при этом.

Научное моделирование – это всегда логически обоснованное моделирование, использующее минимальное число предположений, принятых в качестве гипотез на основании наблюдений за объектом моделирования.

Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаковые изображения какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, наборы символов, включающее также совокупность знаков и правил, по которым можно оперировать с выбранными знаковыми образованиями и элементами. В качестве примера таких моделей можно назвать любой язык. Например, язык устного и письменного человеческого общения, алгоритмический язык, язык живописи и язык нот для записи музыки. Моделирование с помощью математических соотношений также является примером знакового моделирования.

Говоря о научном моделировании, следует пояснить смысл таких терминов, как “модель” и “теория”.

Модель – это инструмент, ориентированный в первую очередь на исследование поведения и свойств конкретного объекта в целях управления этим объектом или предсказания его свойств.

Теория – более абстрактное, чем модель средство, основной целью которого является объяснение поведения или свойств не конкретного объекта, а некоторого класса объектов. Можно сказать, что теория содержит конечную или даже бесконечную совокупность конкретных моделей.

Когнитивные, концептуальные и формальные модели. При наблюдении за объектом-оригиналом в голове исследователя формируется некий мысленный образ объекта, его идеальная модель, которую принято называть когнитивной (мысленной, способствующей познанию) моделью. Когнитивные модели субъективны, так как формируются умозрительно (в “голове” исследователя) на основе всех его предыдущих знаний и опыта. Получить представление о когнитивной модели можно, только описав ее в знаковой форме.

Представление когнитивной модели на естественном языке называется содержательной моделью. В общем случае когнитивные и содержательные модели не эквивалентны, так как когнитивная модель может содержать элементы, которые исследователь не может или не хочет сформулировать.

В технике содержательную модель часто называют концептуальной или технической постановкой проблемы.

По функциональному признаку и целям содержательные модели подразделяются на описательные, объяснительные и прогностические.

Описательной моделью можно назвать любое описание объекта.

Объяснительные модели позволяют ответить на вопрос, почему что-либо происходит.

Прогностические модели должны описывать будущее поведение объекта.

В более широком смысле под концептуальной моделью понимают содержательную модель, базирующуюся на определенной концепции или точке зрения, и при формулировке которой используются понятия и представления предметных областей знаний, занимающихся изучением объекта моделирования. Выделяют три вида концептуальных моделей: логико-семантические, структурно-функциональные и причинно-следственные.

Логико-семантическая модель является описанием объекта в терминах и определениях соответствующих предметных областей знаний. Анализ таких моделей осуществляется средствами логики с привлечением знаний, накопленных в соответствующих предметных областях.

При построении структурно-функциональных моделей объект обычно рассматривается как целостная система, которую расчленяют на отдельные элементы или подсистемы. Части системы связывают структурными отношениями, описывающими подчиненность.

Причинно-следственные модели используются для объяснения и прогнозирования поведения объекта и описания динамики исследуемых процессов.

В гуманитарных науках процесс моделирования обычно заканчивается созданием концептуальной модели объекта. В естественнонаучных дисциплинах, как правило, удается построить формальную модель.

Формальная модель является представлением концептуальной модели с помощью одного или нескольких формальных языков (например, языков математических теорий или алгоритмических языков).

Таким образом, когнитивные, содержательные и формальные модели составляют три взаимосвязанных уровня моделирования.

Взаимоотношения моделей между собой представлены на рис.1.4.

Рис. 1.4. Взаимоотношение моделей

Следует особо отметить, что если значение содержательных и формальных моделей для процесса познания более или менее понятно, то роль когнитивных моделей часто недооценивается. Это связано с субъективностью этих моделей и скрытостью процесса мышления. Однако существуют объекты и процессы, для которых роль когнитивных моделей особенно велика. Например, оператор или лицо, принимающее решение, осуществляет управление объектом или процессом главным образом на основании собственных когнитивных моделей. Велика роль когнитивных моделей в гуманитарных науках. Изучением свойств и особенностей когнитивных моделей занимается когнитология.

Математическое моделирование – это идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов.

Примером математического моделирования можно назвать классическую механику точки Ньютона, описывающую движение любого материального объекта, размеры которого малы по сравнению с характерными расстояниями.

Под математической моделью будем понимать любой оператор , позволяющий по соответствующим значениям входных параметров установить выходные значения параметров объекта моделирования:

,

где множества допустимых значений входных и выходных параметров для моделируемого объекта. В зависимости от природы моделируемого объекта элементами множеств могут являться любые математические объекты (числа, векторы, функции, множества и т.п.).

Понятие оператора в приведенном определении трактуется в широком смысле. Это может быть как некоторая функция, так и система алгебраических, дифференциальных, интегральных и смешанных уравнений. Наконец, это может быть некоторый алгоритм, совокупность правил или таблиц, обеспечивающих определение выходных параметров по заданным исходным значениям.

Почти каждая модель представляет собой, вообще говоря, некоторую комбинацию таких составляющих, как

• компоненты;

• переменные;

• параметры;

• функциональные зависимости;

• ограничения;

• целевые функции.

Под компонентами здесь понимаются составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему.

Модель города может состоять из таких компонентов, как система образования, система здравоохранения, транспортная система и т.п. В экономической модели компонентами могут быть отдельные фирмы, отдельные потребители и т. п. Система определяется как группа или совокупность объектов (компонентов), объединенных некоторой формой регулярного взаимодействия или взаимозависимости для выполнения заданной функции.

Параметры суть величины, которые оператор, работающий на модели, может выбирать произвольно, в отличие от переменных.

В модели системы различаются переменные двух видов - экзогенные и эндогенные. Экзогенные переменные называются входные переменные; порождаемые вне системы; они являются результатом воздействия внешних причин. Эндогенными переменными называются переменные, возникающие в системе или в результате воздействия внутренних причин. К эндогенным переменным относятся также и переменные состояния системы; иногда они называются также выходными переменными, когда речь идет о выходах системы. Экзогенные переменные иногда называют независимыми, а эндогенные зависимыми переменными.

Функциональные зависимости описывают поведение переменных и параметров в пределах компонента или выражают соотношения между компонентами системы.

Ограничения представляют собой устанавливаемые пределы изменения значений переменных или ограничивающие условия распределения и расходования тех или иных средств (энергии, запасов, времени и т. п.). Они могут вводиться либо разработчиком (искусственные ограничения), либо самой системой вследствие присущих ей свойств (естественные ограничения).

Целевая функция, или функция критерия - это точное отображение целей или задач системы и необходимых правил оценки их выполнения.

При математическом моделировании исследователь обычно стремится обеспечить имитацию свойств оригинала путем отражения в модели "внутреннего устройства" (структуры) оригинала, тогда говорят о структурной модели.

Указание структуры реального объекта всегда является результатом некоторой его схематизации. Структурное сходство модели и оригинала отнюдь не обязательно. В ряде случаев при моделировании используются довольно условные представления оригинала (например, представления реологических моделей в механике гетерогенных сред).

Есть второй путь, который реализует построение математической модели объекта или системы без анализа их структуры - модель типа "черного ящика". Такая модель строится на основе прямых наблюдений над входными и выходными параметрами. Эти наблюдения при их надлежащей организации и обработке позволяют создать математическую модель, которая в той или иной форме описывает отклик оригинала на внешние возмущения (см. рис.1.5).

Рис. 1.5. Модель типа "черного ящика"

Полученная таким образом математическая модель, в принципе, не снимает вопроса о внутреннем устройстве оригинала. Без этого невозможно предсказать, как изменится его математическая модель после каких-либо изменений этого устройства, и поэтому всякое преобразование оригинала повлечет за собой необходимость заново строить всю математическую модель.

1.3. Анализ и интерпретация математических результатов

Анализ и интерпретация математических результатов образуют самостоятельный этап прикладного исследования. Будучи заключительным этапом, открывающим прямой выход в практику, он должен завершиться, возможно, более четкими и компактно сформулированными ответами на вопросы, ради выяснения которых было предпринято исследование (а, возможно, и на те вопросы, которое возникли лишь в ходе исследования).

Непременными элементами анализа служат выявление общих свойств изучаемого объекта, исследование возможностей возникновения тех или иных критических состояний, выяснения влияния параметров и т. п. Полная разработка этого этапа в значительной мере определяется наличием еще некоторых немаловажных элементов; к ним, в первую очередь, относятся:

• общая апробация приемлемости исследования в целом;

• обсуждение результатов не только в заранее намеченных аспектах: не исключено, что при этом будут обнаружены интересные и важные факты, о существовании которых мы заранее не подозревали;

• выразительное и экономное представление результатов, нацеленное на непосредственные практические применения.

Общая апробация исследования. Здесь имеется в виду сопоставление найденных результатов с независимо установленными и практически достоверными фактами. К ним, прежде всего, относятся надежные экспериментальные данные. Некоторые из полученных результатов могут быть сопоставлены с результатами, известными из других, независимых теоретических исследований. Все такие подтверждения повышают внешнее правдоподобие элементов принятой модели (в частности, гипотез, положенных в ее основу) и модели в целом; как говорят, происходит верификация модели.

Поиски неожиданностей. Некоторые из интересных результатов неожиданно обнаруживаются лишь в процессе, иногда даже в самом конце исследования, план которого в связи с этим приходится по ходу дела перестраивать. Поэтому разностороннее обсуждение промежуточных и окончательных результатов, анализ побочных ветвей исследования могут оказаться весьма целесообразными.

Представление результатов. Предметом особой заботы автора, завершающего прикладное исследование, должно быть придание результатам легко обозримой и удобной для применения формы. Безразличное отношение к этой стороне дела может нанести серьезный ущерб внедрению результатов.

В частности, всегда полезно сформулировать главные выводы из исследования на качественном или "почти качественном" языке, например: "Таким образом, исследованное состояние равновесия системы неустойчиво, и при любых начальных возмущениях возникают автоколебания, амплитуда которых стремится к значению, определяемому такой-то формулой. Это значение, соответствующее предельному циклу, так-то и так-то зависит от параметров системы…".

Формулировка отчетливых обоснованных общезначимых выводов - не только один из самых важных, но один из самых трудных и ответственных этапов исследования.

Что же касается количественных результатов, то часть получаемой после исследования информации почти неизбежно оказывается лишней и образует лишь "информационный шум". Поэтому исследователь должен понимать необходимость отсечения лишней информации, уметь отбирать только нужную информацию и быть психологически готовым к некоторому самопожертвованию.

Некоторые субъективные проблемы. При построении и реализации моделей распространены ошибки следующих типов:

• психологические проблемы и инерционность мышления;

• ошибки в выборе модели;

• ошибки в выборе метода исследования;

• математические ошибки и ошибки в вычислительных схемах.