Lection1.2(2)

9

Курс лекций “Математическое моделирование”

1. Модели и моделирование

Лекция 2

1.4. Соответствие между моделью и действительностью

(различия и сходства)

Обсудим главные различия между моделью и действительностью: конечность, упрощенность и приближенность модели.

Мир, частью которого мы являемся, бесконечен, как бесконечен и любой объект, не только в пространстве и времени, но и в своих связях с другими объектами, и в том, что к любому числу отношений, в которых мы рассматривали данный объект, всегда можно добавить еще одно.

Возникает явное противоречие: необходимо познавать бесконечный мир конечными средствами. Способ преодоления этого противоречия состоит в построении моделей. При этом из необозримого множества свойств выбираются и используются лишь некоторые свойства, подобные интересующим нас свойствам объекта-оригинала. Модель подобна оригиналу только в конечном числе отношений.

Схема моделирования представлена на рис.1.6.

Важно подчеркнуть, что модель является моделью реального объекта лишь относительно некоторой системы характеристик (свойств), где . При этом выбирается или строится именно для имитации по этим характеристикам. Поскольку модель строится лишь для имитации части свойств исходного объекта, то, как правило, она оказывается в целом проще его (например, робот, деловая игра, план-график работы, математическая модель экономики и т. д.).

Конечность моделей делает их упрощенность неизбежной. В человеческой практике упрощенность моделей является допустимой. К счастью, для любой цели оказывается вполне достаточным неполное, упрощенное отображение действительности. Более того, для конкретных целей такое упрощение является даже и необходимым. Выбор цели моделирования определяет, что можно и что нужно отбросить, в каком направлении упрощать модель по сравнению с отображаемым оригиналом. Упрощение является сильным средством для выявления главных эффектов в исследуемом явлении: это видно на примере таких моделей физики, как идеальный газ, абсолютно черное тело, материальная точка и т. д.

Следующая причина упрощения модели связана с необходимостью оперирования с ней. За неимением методов решения нелинейного уравнения мы его линеаризуем; в других случаях понижаем размерность, заменяем переменные величины постоянными, случайные - детерминированными и т. д.

Другой аспект упрощенности модели - оказывается, что из двух моделей, одинаково хорошо описывающих данное явление, та, которая проще, оказывается ближе к истинной природе отображаемого явления. У физиков имеется неформальный, эвристический критерий: если уравнение "красивое", то оно, скорее всего, правильное.

Второй фактор, позволяющий преодолеть бесконечность мира в конечном познании, - это приближенность (приблизительность) отображения действительности с помощью моделей. Приближенность отличается от упрощенности. Приближенность это такие различия между оригиналом и моделью, которые допускают количественные сравнения ("больше - меньше" "лучше - хуже"), в отличие от упрощенности, которое характеризует качественное отличие оригинала и модели.

Приближенность модели может быть очень высокой (так некоторые подделки произведения искусства даже эксперты не могут отличить от оригинала). В других случаях приближенность модели видна сразу и может варьироваться (например, карты местности в разных масштабах. Различие само по себе не может быть ни большим, ни малым: само по себе оно либо есть, либо его нет. Величину, меру, степень приемлемости различия мы можем ввести только соотнеся его с целью моделирования. Скажем, точность наручных часов, вполне достаточная для бытовых целей, совершенно недостаточна при регистрации спортивных рекордов или целей астрономии.

Важнейшим требованием к математической модели является требование адекватности изучаемому реальному процессу (объекту) относительно выбранной системы его характеристик. Под этим понимается:

1. правильное качественное описание объекта по выбранным характеристикам;

2. правильное количественное описание объекта по выбранным характеристикам с некоторой разумной степенью точности.

Важно подчеркнуть, что модель адекватная относительно одного класса воздействий может оказаться неадекватной относительно другого класса воздействий. Таким образом, адекватность моделирования определяется не только моделируемым объектом и его моделью, но также и видом рассматриваемых воздействий, выбранным классом откликов на них и принятым уровнем точности описания.

Это отвечает общему определению адекватности, так как под характеристикой реального объекта можно, в частности, понимать его реакцию на воздействия того или иного класса. Поэтому модель типа "черного ящика" адекватна, если для заданного класса входных возмущений она определяет с требуемой точностью тот же оператор преобразований входов в выходы.

При испытаниях на адекватность используются проверки трех типов:

1. Предельные значения параметров - абсурдные ответы.

2. Проверка исходных предположений.

3. Проверка преобразований информации от входа к выходу.

Оценка адекватности имеет две стороны:

• приобретение уверенности в том, что модель ведет себя таким же образом, как и реальная система;

• установление того, что выводы, полученные из экспериментов с моделью, справедливы и корректны.

В ряде областей (социология, экономика и т. д.) адекватность модели по необходимости может быть только качественной. Например, управленческая модель может иметь низкую прогнозную ценность, но если она помогает понять структуру проблемы, то этого достаточно, чтобы оправдать расходы на ее построение.

Даже в технике, где применение математики давным-давно апробировано, модель может оказаться количественно неадекватной из-за сложности изучаемого объекта. Однако и здесь понимание роли существенных свойств (таких, например, как устойчивость, взрыв, бифуркация и т. д.), выявленной на моделях качественного характера, помогает правильно ориентироваться в сложных ситуациях.

Возвращаясь к определению адекватности, правильнее говорить не просто об адекватности модели, а о степени адекватности: , понимая под этим как бы долю истинности модели относительно выбранной характеристики изучаемого объекта, нечто вроде коэффициента взаимосвязи модели и исходного объекта по этой характеристике. Это типично размытая величина, и хотя естественно считать, что степень адекватности должна принимать числовые значения от 0 (полная неадекватность, т.е. отсутствие связи между моделью и моделируемым объектом) до 1 (полная адекватность), но предложить способ приписывания таких значений в общем случае вряд ли возможно.

Адекватность модели следует рассматривать только по определенным признакам, характеристикам, принятым в данном исследовании за основные характеристики.

Не существует "универсальной адекватности", ибо такая адекватность означала бы тождество модели и моделируемого объекта.

Забвение того, что всякая адекватность лишь относительна и имеет свои рамки применимости, может привести (и не раз приводила) к попыткам навязать реальному объекту свойства его модели - например, к всерьез высказываемому утверждению, что скорость распространения тепла "на самом деле" бесконечна. В тоже время "хорошая" модель способна обнаружить неизвестные ранее свойства объекта.

В ряде случаев применение неадекватной модели может привести к тому, что мы не уловим или чрезмерно исказим то, что на самом деле есть и нам нужно, но зато будем изучать то, что нам не нужно (и даже то чего нет на самом деле).

Адекватная модель обычно обладает той или иной побочной адекватностью, т.е. она дает правильное качественное и количественное описание не только тех характеристик, для которых она была построена, но также и для других характеристик, потребность изучения которых может возникнуть в дальнейшем. Побочная адекватность - это своего рода нереализованная, потенциальная адекватность. Чем выше эта побочная адекватность, тем шире область применимости модели и поэтому обычно тем она «долговечнее».

Искусственные допущения, привлекаемые порой для согласования следствий из той или иной модели с заранее известными свойствами реального объекта, могут сделать эту модель адекватной по этим свойствам, но совершенно ненадежной относительно других важных свойств этого же объекта.

Итак, важной предпосылкой успеха прикладного исследования является соблюдение при последовательном моделировании итоговой адекватности по тем характеристикам, изучение которых является целью исследования.

Процесс установления степени адекватности модели называется ее апробацией.

С понятием адекватности модели тесно переплетается понятие идентификации. Идентификация модели - это создание непротиворечивого массива входных данных и свойств модели, обеспечивающих достоверную имитацию выбранных характеристик объекта. В принципе, чем точнее модель, тем большего массива входных данных требуется для ее реализации. Не всегда эти данные могут быть определены с достаточной точностью. Отсутствие же полной совокупности надежных входных данных увеличивает риск неадекватного априорного прогнозирования характеристик. Повышения точности моделирования, как правило, добиваются предварительной настройкой модели (за счет варьирования значениями наименее точно определяемых входных данных и связей (свойств)) на те условия ее реализации, для которых имеется достоверная информация. В этой связи одной из наиболее важных процедур в имитационном моделировании является анализ чувствительности к входным данным (параметрам) модели. При этом достоверность многих параметров является весьма сомнительной. Поэтому, если чувствительность сильная, то это может служить основанием для затраты большего количества времени и материальных средств для получения более точных значений оценок входного параметра и наоборот.

Модель, с помощью которой успешно достигается поставленная цель, будем называть адекватной. Понятие адекватности в общем случае не совпадает с требованиями полноты, точности и правильности (истинности): адекватность означает, что эти требования выполнены не вообще (так сказать, безмерно), а лишь в той мере, которая достаточна для достижения цели. Так, например, геоцентрическая модель Птолемея была неправильной, но адекватной в смысле точности описания движения планет, в отличие от гелиоцентрической модели Коперника, которая была правильной и адекватной.

В ряде случаев удается ввести некоторую меру адекватности модели, т.е. указать способ сравнения двух моделей по степени успешности достижения цели с их помощью. Если к тому же такой способ приводит к количественно выражаемой мере адекватности, то задача улучшения модели существенно облегчается. Именно в таких случаях можно количественно ставить вопрос об идентификации модели (т.е. о нахождении в заданном классе моделей наиболее адекватной), об исследовании чувствительности и устойчивости моделей (т.е. о зависимости меры адекватности модели от ее точности), об адаптации моделей (т.е. подстройке параметров модели с целью повышения адекватности) и т. п.

Рассмотрим теперь более трудный вопрос - о сходстве между моделью и оригиналом. Поскольку различия между моделью и реальностью принципиально неизбежны и неустранимы, существует предел истинности, правильности наших знаний, сконцентрированных в моделях. Является ли этот предел вечным, принципиально не отодвигаемым или имеется возможность неограниченно увеличивать сходства наших моделей с реальностью. Или, говоря философским языком, доступна ли объективная истина субъективному познанию?

Различные философские учения отвечали на этот вопрос по-разному. Здесь подчеркнем лишь, что об истинности, правильности или ложности модели самой по себе говорить бесполезно: только в практическом соотнесении модели с отображаемой ею натурой выявляется степень истинности.

Еще один важный аспект соотношения истинного (т.е. определенно известного и правильного) с предполагаемым (т.е. возможным, но не обязательно действительным) при построении моделей состоит в том, что ошибки в предположениях имеют разные последствия для прагматических и познавательных целей. Если ошибки в предположениях вредны и даже губительны при использовании прагматических моделей, то при создании познавательных моделей поисковые предположения, истинность которых еще предстоит проверить, - единственный способ оторваться от фактов. Роль гипотез в науке настолько важна, что образно можно сказать, что вся научная работа состоит в выдвижении и проверке гипотез. А. Эйнштейн писал: "Воображение важнее знания, ибо знание ограничено. Воображение же охватывает все на свете, стимулирует прогресс и является источником его эволюции".

Подведем итог. Главная ценность моделей как формы знаний состоит в том, что они содержат объективную истину, т.е. в чем-то правильно отображают моделируемое. Однако кроме, безусловно, истинного содержания в модели имеется и условно-истинное (т.е. верное лишь при определенных условиях), и предположительно-истинное (т.е. условно-истинное при неизвестных условиях), а следовательно, и ложное. При этом в каждых конкретных условиях неизвестно точно, каково же фактическое соотношение истинного и ложного в данной модели. Ответ на этот вопрос дает только практика. Однако в любом случае модель принципиально беднее оригинала, это ее фундаментальное свойство.

Как отмечалось выше, точность модели можно представить в виде числа на шкале от 0 до 1, где 0 означает абсолютно неточную модель, а 1 - абсолютно точную. С ростом точности модели возрастает ее стоимость, но возрастает и ее ценность для исследователя. Считают, что в большинстве случаев кривые имеют вид, представленный на рис.1.7.

Рис. 1.7. К вопросу о точности моделей

1.5. О построении, развитии и реализации моделей

Как и все в мире модели проходят свой жизненный цикл: они возникают, развиваются, сотрудничают или соперничают с другими моделями, уступают место более совершенным моделям. Одни модели живут дольше отдельных людей, и тогда этапы жизненного цикла моделей изучаются в виде истории той или иной отрасли знаний или деятельности. Жизненный цикл других моделей должен быть обязательно завершен в обозримый срок, и тогда перевод модели от этапа к этапу становится технологическим действием, должен выполняться как можно эффективнее (быстрее, лучше, дешевле). Это невозможно без моделирования самого процесса моделирования, т.е. алгоритмизации моделирования.

Наиболее полно необходимость алгоритмизации моделирования осознана там, где проблема эффективности действия стоит особенно остро: в проектной деятельности, в исследовании операций, в создании АСУ и др.

В работе с моделями существует наиболее эффективная последовательность этапов. Однако в практике моделирования чаще всего не всегда удается строго выдержать раз и навсегда рекомендуемую последовательность действий, т.е. не существует какого-то единого, пригодного для всех случаев алгоритма работы с моделями.

Во-первых, модель функционирует в определенной культурной среде, и конкретное окружение каждой модели может настолько отличаться, что опыт работы с одной моделью не может без изменений переносится на другую.

Во-вторых, требования, предъявляемые к модели, противоречивы: полнота модели противоречит ее простоте, точность модели - ее размерности, эффективность - затратам на реализацию. Многое в истории данной модели зависит от того, какой именно компромисс выбран между этими противоречащими критериями.

В-третьих, с самого начала невозможно предусмотреть все детали того, что произойдет в будущем с любой моделью. Моделирование призвано устранить неопределенность, но существует неопределенность и в том, что именно надо устранять. Начальные цели в последствии могут оказаться неполными. Например, после интерпретации результатов имитационного моделирования цели уточняются, в модель вносятся изменения и моделирование повторяется. Недостатки модели проще и легче обнаружить и исправить в ходе моделирования, чем предусмотреть их заранее.

Необходимое условие создания хорошей математической модели это соединение математических и специальных знаний, а также наличие интуиции и чувства соразмерности. В свою очередь, качество реализация математической модели и представление результатов напрямую связано с уровнем подготовки в области вычислительных алгоритмов и информатики. При этом важно строить модель, прежде всего ориентированную на решение вопросов, на которые требуется дать ответ, а не пытаться моделировать реальную систему во всех подробностях, т.е. модель должна отражать только те аспекты системы, которые являются наиболее важными в данном исследовании.

А. Эйнштейну принадлежит утверждение: "Правильная постановка задачи даже более важна, чем ее решение".

Трудность этапа выбора модели состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. При этом следует строить модель, ориентированную на решение вопросов, на которые требуется дать ответ, а не имитировать реальную систему во всех подробностях. Закон Парето гласит: "В каждой группе или совокупности существует жизненно важное меньшинство и тривиальное большинство". Поэтому модель должна отображать только те аспекты системы, которые соответствуют задачам исследования.

Итак, для моделирования характерно отсечение относительно менее важных свойств оригинала; благодаря этому модель приобретает некую идеализированную форму, в ней не учитываются малые неидеальности, всегда свойственные реальному оригиналу (допущения).

Вопрос об общих методах построения моделей очень сложен и мало разработан. Можно лишь четко сформулировать цель моделирования: описать поведение объекта или системы, выяснить закономерности и механизмы такого поведения с целью прогнозировать, предсказывать, поведение объекта или системы в различных ситуациях, не прибегая к экспериментам на реальном объекте или системе.

Выделяют следующие этапы построения модели: 1. Четко сформулировать цель исследования. 2. Принять систему допущений, отразив в них внутреннее устройство (структуру) оригинала. 3. Разложить общую задачу исследования на более простые частные случаи. 4. Подыскать аналогии. 5. Выбрать систему обозначений. 6. Рассмотреть специальный численный пример. 7. Записать очевидные соотношения. 8. Записать все необходимые соотношения и уравнения. 9. Записать начальные и граничные условия задачи. 10. Проверить совпадает ли число уравнений с числом неизвестных модели. 11. Проверить размерность записанных соотношений.

Основные требования к хорошей модели следующие: 1) простая и понятная пользователю, 2) целенаправленная, 3) надежная, в смысле гарантии от абсурдных результатов, 4) удобная в управлении и обращении, 5) удобная, с точки зрения изучаемых характеристик, 6) адаптивная, позволяющая переходить к другим данным, 7) совершенствуемая, допускающая постепенные изменения, уточнения и доработки.

Последовательность и связь различных этапов математического компьютерного моделирования представлена на рис.1.8. Суммарное время разработки и реализации модели в среднем разбивается следующим образом: 25 % времени уходит на постановку задачи; 20 % - на сбор и анализ данных; 35 % - на разработку компьютерной модели и 20 % - на реализацию.

Обсуждение вопроса о соотношении формальных и эвристических приемов в процессе построения моделей завершим словами Р. Шэннона: "Искусством моделирования могут овладеть те, кто обладает оригинальным мышлением, изобретательностью и находчивостью, ровно как, и глубокими знаниями систем и физических явлений, которые необходимо моделировать. Не существует твердых и эффективных правил относительно того, как надо формулировать задачу в самом начале процесса моделирования, т.е. сразу после первого знакомства с ней. Не существует и магических формул для решения при построении модели таких вопросов, как выбор переменных и параметров, соотношений, описывающих поведение системы, и ограничений, а также критериев оценки эффективности модели. Помните, что никто не решает задачу в чистом виде, каждый оперирует с моделью, которую он построил, исходя из поставленной задачи".

Рис.1.8. Технологическая схема математического компьютерного моделирования

Итак, говоря о том, как отдельные люди осуществляют построение моделей, необходимо признать, что в этом процессе кроме осознанных формализованных, технических и научных приемов огромную, решающую роль играет то, что мы называем творчеством, интуитивным искусством. В этом одна из главных причин невозможности полной формализации процесса моделирования.

Основные положения данного параграфа заключаются в следующем:

• как и любые реальности, модели также претерпевают изменения, проходят свой "жизненный цикл";

• на этапе построения моделей решающую роль играют неформализуемые эвристические способности человеческого интеллекта;

• существует эволюционный тип развития моделей, при котором вклад отдельных личностей мал, случаен, но в целом приводит к прогрессу модели;

• неформализуемость основных этапов построения модели превращая этот вид деятельности в искусство, не означает, что наука вообще и алгоритмизация в частности непричастны к этому, что нельзя дать никаких полезных и конкретных рекомендаций, повышающих эффективность моделирования;

• наука моделирования состоит в разделении процесса моделирования на этапы, детальном изучении каждого этапа и его описании с максимально возможной степенью формализации, рассмотрения и оценивания вариантов;

• в целом моделирование является неразделимым сочетанием, сплавом науки и искусства.

Если подытожить все сказанное в данной главе в виде определения модели, то оно может выглядеть так:

Модель есть отображение: целевое; абстрактное или реальное, статическое или динамическое; конечное, упрощенное, приближенное; имеющее наряду с безусловно-истинным условно-истинное и ложное содержание; проявляющееся и развивающееся в процессе его создания и практического использования.

Краткий эквивалент определения: модель есть системное отображение оригинала.

Этапы прикладного математического исследования.

1. Математическая формулировка задачи. Построение математической модели.

2. Выбор метода исследования.

3. Проведение математического исследования.

4. Анализ и реальная интерпретация полученных математических результатов.

Три основных элемента прикладного математического исследования.

1. Математические модели.

2. Вычислительные алгоритмы.

3. Информационные технологии.