Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кристаллография / Лекции_по_кристаллографии_посл_вар_2

.2.pdf

Скачиваний:

241

Добавлен:

11.03.2015

Размер:

8.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

hx+ky+lz=0 .

(3.2)

Уравнения других плоскостей, параллельных данной, и не проходящих через начало координат, будут иметь вид

hx+ky+lz=p ,

(3.3)

где константа p определяет расстояние плоскости от начала координат. Межплоскостное расстояние для решетки с произвольной сингонией

{

k 2

}

d 2

ξ 2

a /sin α 2

a /sin β 2

a /sin γ 2

2 hk

cos αcos β−cosγ

cosγ cos α−cos β

cos β cosγ−cosα ,

где параметр ξ

определяется формулой

ξ 2=1−cos2 α−cos2 β−cos2 γ+2cos2 α cos2 β cos2 γ .

В частном случае для кристаллов кубической сингонии

h2 +k 2 +l 2

d 2

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Период идентичности узлового ряда – расстояние между двумя ближайшими узлами данного ряда

Pld = u2 a2 +v2 b2 +ω2 c2 2uvabcosγ

2u ωaccosβ+ 2v ωbccosα 1/2 ,

где [uvω] – индексы узлового ряда.

Для ортогональной решетки период идентичности узлового ряда

P ld = u2 a2 +v 2 b2 +ω2 c2 .

Угол между двумя узловыми рядами [u1 v1 ω1 ] и [u2 v 2 ω2 ]

cos = R1 R2 .

R1 R2

Здесь R1 =u1 a+v1 b+ω1 c и R2 =u2 a+v 2 b+ω2 c . Для кубической решетки

(3.7)

(3.8)

(3.9)

cos =			u1 u2 +v1 v2 +ω1 ω2
								.	(3.10)

			u12 +v12 +ω12			u22 +v22 +ω22
Угол между двумя узловыми плоскостями h1 k 1 l1									и h2 k 2 l2
		cos =		H 1 H 2
							,		(3.11)
				H H
где H 1 и H 2 –	1				2
	векторы обратной решетки, перпендикулярные данным
узловым плоскостям	H 1 =h1 a+k 1 b+l1 c , H 2 =h2 a+k 2 b+l 2 c .
Условие перпендикулярности двух плоскостей
			H 1 H 2 =0 .						(3.12)

В частности для кубической решетки угол между двумя плоскостями равен

cos =	h1 h2 +k1 k2 +l1 l2		,

	h12 +k12 +l12	h22 +k 22 +l22

и условие перпендикулярности

h1 h2 +k 1 k 2 +l1 l 2=0 .

Угол между узловой плоскостью и узловым рядом

cos ψ=	RH	.

	R H

(3.13)

(3.14)

(3.15)

Если в плоскости hkl лежат два направления [u1 v1 ω1 ]	и [u2 v 2 ω2 ] ,
то индексы этой плоскости равны
h=v 1 ω2−v2 ω1
k=ω1 v 2−ω2 v1 .	(3.16)
l=u1 v2−u2 v1

Аналогично, индексы направления [uvω]		, вдоль которой пересекаются две
плоскости h1 k 1 l1	и h2 k 2 l2 , определяются системой уравнений
	u=k 1 l 2−k 2 l1
	v=l1 h2−l 2 h1 .	(3.17)

ω=h1 k 2−h2 k 1

В различных задачах кристаллографии и физики твердого тела большое значение имеет множество узловых плоскостей, параллельных некоторому узловому ряду. Такое множество, называется зоной плоскостей, а соответствующий узловой ряд – осью зоны. В качестве геометрического образа

зоны плоскостей можно представить раскрытую книгу, страницы которой соответствуют узловым плоскостям, а линия переплета соответствует оси зоны. Соотношение между индексами узловых плоскостей, принадлежащих зоне, и индексами узлового ряда, являющегося осью определяется из условия

параллельности узлового ряда с индексами [uvω]						и плоскости с индексами
hkl	. Условие зональности, определяющее связь между индексами оси зоны
[uvω]	и индексами hkl	плоскостей, входящих в данную зону, имеет вид
	hu+kv+lω=0 .						(3.18)
Индексы оси зоны, которой				принадлежат две		плоскости	h1 k 1 l1 и
h2 k 2 l2 , определяются из соотношений
	u=k 1 l 2−k 2 l1
	v=h2 l1−h1 l2 .						(3.19)
	ω=h1 k 2−h2 k 1
Три узловые плоскости		h1 k 1 l1 , h2 k 2 l2				и h3 k 3 l3	принадлежат
одной зоне, если
	h1	k1		l1
	hh32	kk	32	ll	32 =0 .		(3.20)

Рис. 3.5. Зона плоскостей в кристаллическом пространстве

Лекция 4

Обратная решетка. Зоны Бриллюэна

Многие свойства кристаллов, определяющие дифракцию рентгеновских лучей и электронных волн удобнее описывать с помощью так называемой обратно решетки.

Базисныe векторa обратной решетки определяются соотношениями

a*=	[bc]	, b*=	[ca ]	, c*=	[ab]	.	(4.1)
	c [ab ]		a [bc ]		b [ca ]

Угловые параметры ячеек прямой и обратной решеток связаны уравнениями

cos α*=cos β cos γ−cos α sin β sin γ

cos β*= cosγ cosα−cos β sin γsin α

cos γ*=cosα cos β−cos γ sin αsin β

;

(4.2)

Скалярные произведение векторов прямой и обратной решетки равны

aa* =1	ab* =0	ac* =0
ba* =0	bb* =1	bc* =0 .	(4.3)
ca* =0	cb* =0	cc* =1

Из первого столбца (4.3) следует, что вектор a* перпендикулярен векторам b и с , из второго – b* перпендикулярен векторам a и с и вектор c* перпендикулярен a и b .

Каждой кристаллической структуре соответствуют две решетки: кристаллическая решетка и обратная решетка. Они связаны между собой соотношениями (4.1) – (4.3) Векторы кристаллической решетки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решетки [длина]-1. Кристаллическая решетка – это решетка в обычном реальном пространстве, обратная решетка – это решетка в пространстве Фурье. Положение узлов обратной решетки и или векторы обратной решетки в пространстве Фурье описываются выражением

G=ha*+kb*+lc* ,

(4.4)

где h , k , l – целые числа. Произведение вектора трансляции обратной

решетки на вектор трансляции прямой решетки
TG= 2π×целоечисло .	(4.5)

25
Отсюда следует
exp iGT =1 .	(4.6)

Рассмотрим свойства обратной решетки

1.Каждый вектор обратной решетки перпендикулярен некоторому множеству плоскостей прямой решетки.

2.Если компоненты вектора G не имеют общего множителя, то абсолютная величина G обратно пропорциональна расстоянию между плоскостями решетки, перпендикулярными вектору G .

3.Объем элементарной ячейки обратной решетки обратно пропорционален объему элементарной ячейки прямой решетки

4.Прямая решетка является обратной по отношению к своей обратной решетке.

5.Элементарная ячейка обратной решетки не обязательно представляет собой параллелепипед.

Зона Бриллюэна представляет собой ячейку Вигнера — Зейтца в обратной решетке. (Ячейка Вигнера — Зейтца прямой решетки показана на рис. 4.1.) Определенная таким образом зона Бриллюэна является наглядной

геометрической интерпретацией условия дифракции 2k G+G2=0 . Сначала
удобно в это условие подставить −G	вместо G , чтобы записать условие
дифракции в форме
2 kG=G 2 .	(4.7)

Эта подстановка не меняет существо условия дифракции, поскольку, если G — вектор обратной решетки, то и −G также является вектором обратной

решетки. Перепишем (4.7) следующим образом:
k 1/2G = 1 /2G 2 .	(4.8)
Построим плоскость, перпендикулярную к вектору	G и проходящую через
его середину; тогда (рис. 4.1) произвольный вектор k	, проведенный до этой

плоскости из точки, выбранной за начало координат, будет удовлетворять условию дифракции. Построенная таким образом плоскость образует часть границы зоны Бриллюэна.

Вектор обратной решетки имеет определенную длину и определенное направление относительно кристаллографических осей a , b , c

рассматриваемого кристаллического образца. Рентгеновский луч, падающий на кристалл, будет дифрагировать, если его волновой вектор имеет величину и направление, удовлетворяющие соотношению (1.33), и дифрагированный луч

будет распространяться в направлении вектора k+G .

Рис. 4.1. Узлы обратной решетки в окрестности точки		О , выбранной за
начало координат Вектор обратной решетки G c	связывает между собой два
узла обратной решетки — О и С , а вектор	G D	— узлы О и D

Плоскости 1 и 2 проведены таким образом, что они перпендикулярны соответственно к векторам G c и G D и делят их пополам. Произвольные векторы, проведенные из начала координат и оканчивающиеся па плоскостях

1 и 2, например векторы k1	и k2 будут удовлетворять условиям
дифракции k1 Gc / 2 = Gc /2 2	, k2 G D / 2 = G D /2 2

Набор плоскостей, которые, будучи перпендикулярны к различным векторам обратной решетки, делят их пополам, играет особо важную роль в теории распространения волн в кристаллах, поскольку волна с волновым вектором, проведенным из начала координат и оканчивающимся на какой-либо из этих плоскостей, будет удовлетворять условиям дифракции. Эти плоскости делят фурье-пространство кристалла на неравные части, как показано для двухмерного случая на рис. 4.2. Квадрат в центре на рис. 4.2 есть примитивная ячейка обратной решетки; видно, что этот квадрат был построен по правилам построения примитивной ячейки Вигнера — Зейтца, изложенным в 1 лекции, за исключением того, что там эта ячейка была построена в реальном пространстве, а здесь — в фурье-пространстве.

Рис. 4.2. Квадратная обратная решетка. Тонкими сплошными линиями показаны векторы обратной решетки. Пунктирные линии перпендикулярны к этим векторам и делят их пополам. Квадрат, расположенный в центре рисунка, имеет наименьшую площадь из всех квадратов, расположенных в окрестности начала координат, и полностью замкнут пунктирными линиями. Этот квадрат является примитивной ячейкой Вигнера — Зейтца в обратной решетке

Центральная ячейка обратной решетки играет особо важную роль в теории твердого тела, и ее называют первой зоной Бриллюэна. Первая зона Бриллюэна является зоной с наименьшим объемом; она полностью ограничена плоскостями, которые делят пополам перпендикулярные к ним векторы обратной решетки, проведенные из начала координат. Первая зона Бриллюэна для двухмерной косоугольной решетки показана на рис. 4.3, а для линейной одномерной решетки — на рис. 4.4. Границами зоны линейной решетки

являются значения k=±π /a , где а — модуль вектора примитивной

трансляции кристаллической решетки.

Исторически сложилось так, что зоны Бриллюэна практически не используются в дифракционном рентгеноструктурном анализе, однако в теории электронных энергетических зон в кристаллах их применение совершенно

необходимо. Построение Бриллюэна показывает волновые векторы k всех

падающих лучей, которые могут быть отражены кристаллом посредством брэгговской дифракции.

Рис. 4.3. Построение первой зоны Бриллюэна для двухмерной косоугольной решетки. Вначале проводим векторы, соединяющие точку О с ближайшими

узлами обратной решетки. Затем проводим линии, перпендикулярные к этим векторам и делящие их пополам. Получаемый при этом многоугольник с наименьшей площадью является первой зоной Бриллюэна

Рис. 4.4. Одномерные кристаллическая и обратная решетки. Базисным вектором обратной решетки является вектор A длиной 2π /a Кратчайшими векторами обратной решетки, проведенными из начала координат, являются векторы A и −A . Линии, перпендикулярные к этим векторам и делящие их пополам, — границы первой зоны Бриллюэна На этих границах k=±π /a

Обратная решетка простой кубической решетки. Векторы примитивных трансляций простой кубической решетки можно записать следующим образом:

a=a x ; b=b y ; c=c z .	(4.9)
Объем элементарной ячейки равен a b×c=a3	. Векторы примитивных

трансляций обратной решетки находятся с помощью соотношений (4.1):

			29
a =2π	b×c	=2π	x ; b =2π	y ; c =	2π z . (4.10)
a =2π	a b×c	=2π	x ; b =2π	y ; c =	2π z . (4.10)
	a b×c	a	a		a

Таким образом, обратная решетка сама является простой кубической решеткой, но с постоянной решетки, равной 2π /a .

Первая зона Бриллюэна будет ограничена плоскостями, перпендикулярными к следующим шести векторам:

±	1 a =±	π	x ;	±1 b=±	π	y	;	±1 c=±	π	z .	(4.11)
	2	a		2	a			2	a		2π /a и объемом
Эти шесть плоскостей являются гранями куба с ребром											2π /a и объемом

2π /a 3 ; этот куб и будет первой зоной Бриллюэна простой кубической

кристаллической решетки.

Обратная решетка ОЦК решетки. Векторами примитивных трансляций ОЦК решетки (они показаны на рис. 4.5) являются

a'=	1 a x y−z ,
	2
1
b'= 2 a −x y z ,				(4.12)
				(4.12)
c'=	1	a x−y z .
c'=	2	a x−y z .
	2
где а - сторона обычного элементарного куба, x ,			y ,	z - ортогональные

единичные векторы, параллельные ребрам куба. Объем

Рис. 4.5. Примитивные базисные векторы ОЦК решетки

примитивной элементарной ячейки равен

	V= a' b' ×c' = 1 a3 .		(4.13)
	2
Используя определение векторов примитивных трансляций			a* , , b* c*
обратной решетки (4.1) и соотношения (4.12) и (4.13), получаем:
a*= 2π	x y ; b*= 2π y z ;	c*= 2π x z .	(4.14)
a	a	a

Сравнивая с рис. 1.9, можно видеть, что эти векторы являются векторами примитивных трансляций ГЦК решетки. Таким образом, ГЦК решетка является обратной для ОЦК решетки.

Рис. 4.6. Первая зона Бриллюэиа ОЦК решетки, имеющая форму правильного ромбододекаэдра

Если h , k , l	— целые числа, то произвольный вектор обратной решетки
можно записать так:
G=ha+kb+lc*=2π [ h+l x h+k y k+l z ] .				(4.15)
	a
Кратчайшими	отличными	от нуля	G -векторами обратной решетки
являются следующие двенадцать векторов:
2π ±x± y ; 2π		± y±z ;	2π ±x± z .	(4.16)
a	a		a

Знаки следует выбирать независимо для каждого вектора.

В качестве примитивной ячейки обратной решетки можно выбрать

параллелепипед с ребрами a* ,	b* , c* , определяемыми соотношениями
(4.1). Объем такой примитивной	ячейки равен a* b* ×c*=2 2π /a 3 .

Примитивный параллелепипед содержит один узел обратной решетки, так как каждый из восьми узлов в его вершинах является общим для восьми соседних

<<< < Предыдущая 1 23 / 163 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Кристаллография

#
11.03.201533.97 Mб252КРИСТАЛЛОГРАФИЯ b КРИСТАЛЛОХИМИЯ.pdf
#
11.03.20156.25 Mб425КРИСТАЛЛОХИМИЯ МГУ.pdf
#
11.03.20158.68 Mб241Лекции_по_кристаллографии_посл_вар_2.2.pdf