Кристаллография / Лекции_по_кристаллографии_посл_вар_2

11

Лекция 2

Элементарные ячейки Браве

Существуют, четырнадцать трехмерных пространственных решеток Браве. Таблица 2.1

Элементарные ячейки четырнадцати пространственных решеток Браве

Пространственные решетки Браве показаны на рис. 2.1 и перечислены в табл. 2.1. Четырнадцать решеток Браве обычно подразделяются на семь систем, в соответствии с семью различными типами элементарных ячеек: триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной, кубической, тригональной и гексагональной. Каждая из систем характеризуется своим соотношением осей

a , b , c и углов α , β и γ определяемых так, как показано на рис. 2.2.

13

Рис. 2.2. Кристаллографические оси a , b , c

Ниже рассматривается подразделение решеток Браве на системы.

1.В триклинной системе единственная пространственная решетка имеет примитивную (Р) элементарную ячейку, в которой все три оси имеют разную длину, а все углы не равны между собой.

2.В моноклинной системе имеются две пространственные решетки: одна

имеет примитивную элементарную ячейку, другая(С) имеет элементарную ячейку с центрированными основаниями (не примитивную); у нее точки решетки расположены в центрах граней ячейки, нормальных к оси с.

3.В ромбической системе имеется четыре пространственные решетки: тип Р имеет примитивную ячейку, тип С — ячейку с центрированными основаниями, тип I — объемноцентрированную и, наконец, тип F — гранецентрированную.

4.В тетрагональной системе простейшей ячейкой будет правильная призма с квадратом в основании. Эта ячейка примитивная, и поэтому

решетка называется тетрагональной типа Р. Вторая тетрагональная ячейка, типа I, объемноцентрированная.

5. В кубической системе возможны три решетки: простая кубическая (Р) с примитивной ячейкой, объемноцентрированная (I) кубическая решетка (ОЦК) и гранецентрированная (F) кубическая решетка (ГЦК). Характеристики трех кубических решеток приведены в табл. 2.2.

Примитивная ячейка объемноцентрированной кубической решетки показана на рис. 2.3, а векторы примитивных трансляций этой решетки — на рис. 2.4.

14

Рис. 2.3. Примитивная ромбоэдрическая ячейка, построенная на базе

Рис. 2.4. Примитивные векторы трансляций объемноцентрированной кубической решетки; эти векторы связывают между собой точку решетки в начале координат с точками решетки, расположенными в центрах кубов. При достраивании получается ромбоэдрическая примитивная ячейка. Векторы примитивных трансляций следующим образом можно выразить через длину

ребра куба a

15

Таблица 2.2

Характеристики кубических решеток

Векторы примитивных трансляций гранецентрированной кубической решетки показаны на рис. 2.5. На примитивную элементарную ячейку приходится один узел решетки, а элементарные ячейки ОЦК и ГЦК решеток содержат соответственно два и четыре узла.

Векторы примитивных трансляций образуют углы 109°28'

6.В тригональной системе в качестве элементарной ячейки обычно выбирают ромбоэдр. Решетка является примитивной, но обозначают ее

16

обычно буквой R, а не Р, и соответственно называют ее тригональной пространственной решеткой типа R.

Рис. 2.5. Примитивная ромбоэдрическая ячейка, построенная на базе гранецентрированной кубической кристаллической решетки. Векторы

примитивных трансляций a' , b' , c' связывают между собой точку

решетки в начале координат с точками решетки, расположенными в центрах граней куба. Из чертежа видно, что

Углы между a' , b' и c' равны 600

7.В гексагональной системе элементарную ячейку удобно выбрать в виде прямой призмы, в основании которой лежит ромб с углом 600 Решетка – примитивная. Для того чтобы подчеркнуть принадлежность данной элементарной ячейке к гексагональной системе, часто добавляют к ней еще две ячейки повернутые друг относительно друга на 1200, получая таким образом утроенную ячейку в форме гексагональной призмы (рис. 2.6)

17

Рис. 2.6. Сопоставление примитивной ячейки гексагональной системы (утолщенные линии) и гексагональной призмы. Здесь a=b≠c

18

Лекция 3

Кристаллографические индексы

Положение узла элементарной ячейки задается координатами, которые выражаются в долях длин векторов a , b , c ; начало координат выбирается в вершине угла элементарной ячейки. Таким образом, например, в кубической

Координаты атомов в ГЦК и ОЦК решетках находятся обычно по координатам узлов соответствующей элементарной кубической ячейки. В таблицах с характеристиками кристаллических структур обычно указывается тип и размер элементарной ячейки, а затем приводятся значения координат каждого атома ячейки.

Рис. 3.1. Координаты центральной точки: ячейки, выраженные в долях длин

1 1 1

векторов a , b , c равны 2 2 2

Для обозначения координат атомов используются символы узлов. Если один из узлов решетки выбрать на начало координат, то любой другой узел решетка определяется радиусом вектора R=ma+nb+pc , где m , n , p – три числа,

которые называются индексом данного узла. Совокупность чисел m , n , p записанная в двойных квадратных скобках [[m,n,p,]] называется символом узла.

20

кристалла обозначается {hkl} .

Прямая и параллельное ей ребро, проходящие из начала координат 0 в

Рис. 3.3. Индексы Миллера некоторых наиболее важных плоcкостей кубического кристалла. Плоскость (200) параллельна плоскости (100)

В кристаллах гексагональной сингонии используют четырехосную систему

направления характеризуются ориентировкой относительно всех четырех осей и, соответственно четырьмя индексами (индексы Браве). Сумма первых трех индексов Браве всегда

Рис 3.4 кристалла в четырехосной