Дискретка_Экзамен_Ответы / отн / 3 разбиение множества на классы эквивалентности

3.7. Классы эквивалентности и фактормножества

Пусть задано отношение эквивалентности R на множестве М и хМ. Подмножество элементов множества М, эквивалентных х, называется классом эквивалентности для х: [x] = {y | yM и yRx}.

Алгоритм 3.12 построения класса эквивалентности [х].

Вход: М – множество;

хМ;

R - отношение эквивалентности.

Выход: [x] – класс эквивалентности для х.

1. [x]:={x};

2. Для всех уМ выполнить:

если уRх, то включить у в [x];

3. Конец.

Для любого элемента х множества М класс эквивалентности не пуст, т.к. содержит в себе по крайней мере элемент х (хх).

Любые два эквивалентных элемента х и у образуют равные классы эквивалентности, т.е. если ху , то [x]=[y].

Неэквивалентные элементы х и у образуют непересекающиеся классы эквивалентности.

Всякое отношение эквивалентности R на множестве М определяет единственное разбиение множества М на классы эквивалентности. Множество всех классов эквивалентности называется фактормножеством множества М по эквивалентности R .

Алгоритм 3.13 построения разбиения множества М на классы эквивалентности.

Вход: множество М и отношение эквивалентности R.

Выход: S – разбиение множества М на классы эквивалентности.

1. А:=М; S:=;

2. Пока А ≠  выполнять:

Для А, хА и R построить [x] по алгоритму 3.1,

добавить его в S и вычесть из А;

3. Конец.

Всякое разбиение S множества М определяет единственное отношение эквивалентности R на множестве М. Ниже приведены два алгоритма, определяющие отношение эквивалентности R на множестве М по заданному разбиению S.

Алгоритм 3.14 построения отношения эквивалентности R по разбиению S множества М.

Вход: М – множество;

S – разбиение множества М.

Выход: R – отношение эквивалентности на множестве М, определяемое разбиением S.

1. R:=;

2. Для всех пар (х,у)М² выполнить:

если x и y принадлежат одному и тому же подмножеству разбиения S , то (х,у) включить в R;

3. Конец.

Алгоритм 3.15 построения отношения эквивалентности R по разбиению S множества М.

Вход: М – множество;

S – разбиение множества М.

Выход: R – отношение эквивалентности на множестве М, определяемое разбиением S.

1. R:=;

2. Для всех подмножеств S_i  S выполнить:

каждую пару (х,у), такую, что хS_i и yS_i , включить в R;

3. Конец.