Дискретка_Экзамен_Ответы / отн / 3 операции над отношениями

3.3. Операции над отношениями

1. Включение А в В (АВ или ВА) истинно, если каждая упорядоченная пара (x,y) отношения А принадлежит отношению В.

2. Равенство А и В (А=В) истинно, если отношения А и В состоят из одних и тех же упорядоченных пар, или если АВ и ВА.

3. Строгое включение А в В (АВ или ВА) истинно, если АВ и АВ.

4. Объединение А и В (АВ) есть отношение, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, которые принадлежат А или В, т.е.

АВ = {(x,y) | (x,y)A или (x,y)B}.

5. Пересечение А и В (АВ) есть отношение, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, которые принадлежат каждому из отношений А и В, т.е.

АВ = {(x,y) | (x,y)A и (x,y)B}.

6. Разность А и В (А-В) есть отношение, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар отношения А, которые не принадлежат отношению В, т.е.

А-В = {(x,y) | (x,y)A и (x,y)B}.

7. Симметрическая разность А и В (АВ) есть отношение, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар отношения А, которые не принадлежат отношению В и только тех упорядоченных пар отношения В, которые не принадлежат отношению А, т.е.

АВ = {(x,y) | (x,y)A и (x,y)B или (x,y)В и (x,y)А}.

8. Дополнение А до универсального отношения U () есть отношение, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар универсального отношения U, которые не принадлежат отношению А, т.е.

= {(x,y) | (x,y)А}.

Операции 1-8 над отношениями аналогичны операциям над множествами.

9. Обращением А (А^-1) называется отношение, которое состоит из всех тех и только тех упорядоченных пар (x,y), для которых (y,x) принадлежит отношению А, т.е.

А^-1 = {(x,y) | (y,x)A}.

10. Композицией (суперпозицией или умножением) А и В (АВ) называется отношение, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар (x,y), для которых найдётся хотя бы один элемент z такой, что (x,z)A и (z,y)B, т.е.

АВ = {(x,y) | существует z такой, что (x,z)A и (z,y)B }.

11. Степенью отношения А называется его композиция с самим собой: А⁰ = I, А¹ = А, А² = АА, Аⁿ = АА^n-1.

Отношение АА^-1 называется ядром отношения А.