Дискретка_Экзамен_Ответы / отн / 3 отношения основные понятия, соответствия

3. ОТНОШЕНИЯ

3.1. Основные понятия

Двухэлементное множество {a,b}, в котором элементы расположены в определённом порядке (порядок важен) называется упорядоченной парой (a,b). Упорядоченные пары (a,b) и (b,a) неравны (в отличие от множеств {a,b} и {b,a}). Упорядоченные пары равны, если равны их первые элементы и равны их вторые элементы. Допускается равенство первого и второго элементов пары (a,a).

Пусть А и В – два множества. Прямым (декартовым) произведением двух множеств А и В называется множество упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит А, а второй принадлежит В:

AB = {(x,y) | xA и yB}, |AB|=|A|*|B|.

Любое подмножество PAB называется бинарным соответствием из А в В. При этом множество А называется областью отправления, множество В – областью прибытия соответствия Р. Множество {x | (x,y)P и xA и yB} называется областью определения, а множество {y | (x,y)P и xA и yB} – областью значений. Множество {y | (a,y)P и yB} называется образом элемента а при соответствии Р, а множество {x | (x,b)P и xA} – прообразом элемента b при соответствии Р.

Существует много способов задания соответствия. На рис.3.1 показано графовое представление соответствия P={(1,a),(3,a),(3,b),(3,c),(4,c), (4,e)} из множества A={1,2,3,4} в множество B={a,b,c,d,e}.

1

a

2

b

3

c

4

d

e

Рис.3.1. Графовое представление соответствия

Областью определения этого соответствия является множество {1,3,4}, областью значений – множество {a,b,c,e}. Образ элемента 1 – множество {a}, образ элемента 3 – множество {a,b,c}, образ элемента 4 – множество {c,e}. Прообраз элемента a – множество {1,3}, прообраз эле-

мента b – множество {3}, прообраз элемента с – множество {3,4}, прообраз элемента e – множество {4}.

Соответствие называется функциональным или функцией, если для каждого элемента из области определения существует одноэлементный образ (однозначное соответствие).

Функция, у которой область определения равна области отправления, называется полностью определённой или отображением.

Если область значений равна области прибытия, то функция называется сюръективной или сюръекцией.

Функция называется инъекцией, если различные элементы из области определения имеют различные образы или, по другому, если прообразом любого элемента из области значений является одноэлементное множество.

Отображение, которое и сюръективное и инъективное, называется биективным или взаимно-однозначным отображением.

На рис.3.2 приведены различные виды соответствий из А в В. Множества А и В представлены прямоугольниками, элементы множеств – кружочками, элементы соответствий – стрелочками, направленными от элементов множества А к элементам множества В.

Соответствие, но не функция Инъекция, но не сюръекция

Сюръекция, но не инъекция Биекция

Рис.3.2. Различные виды соответствий

Степенью множества А называется его прямое произведение самого на себя : А¹ = А, А² = АА, Аⁿ = АА^n-1.

Бинарным отношением R называется подмножество RA² и является отношением на множестве А. Бинарное отношение является частным случаем бинарного соответствия, поэтому оно может быть не функцией, функцией, отображением, сюръекцией, инъекцией, биекцией.

Бинарное отношение называется пустым, если R=, тождественным I={(x,x) | xA}, универсальным U={(x,y) | xA и yA}= A².

Далее будем рассматривать только бинарные отношения и слово “бинарные” будем опускать.

Обобщённым понятием отношения является n-арное отношение R – подмножество прямого произведения n множеств: RA₁А₂…А_n={(a₁,a₂,…,a_n)| a₁A₁,a₂, A₂,…,a_nA_n}.