Дискретка_Экзамен_Ответы / отн / 3 свойства отношений

3.5. Свойства отношений

Пусть R – бинарное отношение на множестве A, I – тождественное отношение, U – универсальное отношение. Вместо (x,y)R будем иногда использовать обозначение xRy. Отношения могут обладать следующими основными свойствами:

1. R рефлексивно, если xRx для всех xA (граф такого отношения имеет петли при каждой вершине). Рефлексивность отношения R определяется истинностью значения выражения IR;

2. R антирефлексивно, если (x,x)R для всех xA (граф такого отношения не имеет петель). Антирефлексивность отношения R определяется истинностью значения выражения RI=. Нерефлексивное отношение в общем случае не является антирефлексивным. Отношение, граф которого содержит вершины с петлями и без петель – нерефлексивное и не антирефлексивное;

3. R симметрично, если из xRy следует yRx для всех x,yA (такое отношение изображается неориентированным графом, возможно с петлями). Симметричность отношения R определяется истинностью значения выражения R=R^-1;

4. R антисимметрично, если из xRy следует (y,x)R для всех x,yA (такое отношение изображается ориентированным графом, возможно с петлями). Антисимметричность отношения R определяется истинностью значения выражения RR^-1I . Отношение, граф которого содержит ориентированные дуги и неориентированные рёбра, не является ни симметричным, ни антисимметричным;

5. R транзитивно, если из xRz и zRy следует xRy для всех x,y,zA. Транзитивность отношения R определяется истинностью значения выражения RRR;

6. R антитранзитивно, если из xRz и zRy следует (x,y)R для всех x,y,zA.

7. R полно, если из xy следует, что xRy или yRx для всех x,yA (такое отношение изображается полным графом). Полнота отношения R определяется истинностью значения выражения RIR^-1=U.