Роботы

занное можно пояснить так: важно сначала повернуть объект, а затем доставить его в заданную точку или наоборот.

Подробнее эти ситуации будут рассмотрены на примерах расчетов конкретных кинематических структур.

2.3.2.Преобразования систем координат для кинематической структуры манипулятора ПР модели М20П.40.01

Координаты точки А в собственной системе координат звена 4 из-за отсутствия эксцентриситета в общем виде принимают значения: А4(0·соsφ4,0·sinφ4,L4) (рис. 2.4, б). Здесь величина L4, характеризует длину звена 4.

Для вычисления координат этой же точки, но в системе 0 необходимо найти законы перехода от системы 4 к системе 3, затем от 3й ко 2й и от 2й к 1й. Переход от системы 1 к системе 0 не требуется, поскольку в пункте 2.1.2. настоящего пособия было отмечено, что одноименные оси и точки начал этих систем совпада-

ют.

Начиная с перехода от 4й к 3й системе, заметим, что одноименные координатные вектора сонаправлены (рис. 2.11) и учет угловых смещений не требуется. Однако точки начал систем смещены друг относительно друга. Причем модуль этого смещения не постоянен, а зависит от обобщенной координаты s3, поскольку жестко связанная со звеном 3 система координат 4 поступательно перемещается при наличии движения в кинематической паре 3. Следует учесть, что при назначении собственных систем координат ось z3 была направлена вдоль поступательного движения, поэтому смещение точки начала системы 4 (точки В) на величину s3 происходит вдоль оси z. Это находит свое отражение в координатах точки B(0;0;s3) и описывается матрицей:

При переходе от 3й ко 2й системе координат (рис. 2.12, а), заметим, что поступательное движение в паре 2 никоим образом не влияет на взаимную ориентацию осей указанных систем. Кроме этого, учтем, что из трех пар одноименные координатных векторов сонаправлены только х2 и х3, остальные же имеют угловое смещение, а также не совпадают точки начал систем координат, что говорит о наличии линейных смещений. Поскольку матрицы перехода учитывают лишь одно из смещений, то введем в рассмотрение вспомогательную систему координат x'y'z', начинающуюся в точке С. Данная система получается из системы х2у2z2 путем пере-

31

носа точки начала вдоль оси Оz на расстояние L2 (длина звена 2). Таким образом, переход от 3й ко 2й системе координат будет происходить не напрямую, а через вспомогательную систему x'y'z'.

к системе 3

Итак, переход от 3й системы к x'y'z' происходит путем учета углового смещения первой относительно оси Ох второй системы на -90° (рис. 2.12, б). Математически это учитывается использованием матрицы поворота с аргументом α= -90°:

Переход от x'y'z' к системе 2 происходит путем учета линейного смещения первой относительно оси Oz второй системы на L2. Для учета линейных смещений достаточно найти координаты точки начала системы 3 (точки С) относительно системы координат 2 С(0;0;L2) и использовать следующую матрицу преобразования координат:

Таким образом, для преобразования координат 3й системы в координаты 2й системы координат необходимо провести два действия, и матрица перехода в этом случае имеет вид:

32

Необходимо отметить, что в данном случае возможен и другой переход: сперва линейно перенести точку начала системы 3 в точку D, а затем повернуть на угол -90° (рис. 2.12, в). При таком порядке перехода изменится и последовательность матриц преобразования, однако результирующая матрица не изменится, поскольку, как упоминалось в п. 2.3.1, участвующие в этом переходе матрицы коммутируют между собой:

Этот пример показывает, что в некоторых случаях порядок преобразования систем координат может быть различным, однако и с точки зрения выполняемых действий, и с точки зрения математических операций результат будет одним и тем же.

Теперь перейдем к дальнейшим преобразованиям. Ротация в первой кинематической паре на угол φ1 приводит к угловому смещению первого и всех последующих звеньев манипулятора относительно стойки. Система координат 2 жестко связана со звеном 1, следовательно, и она будет иметь некоторое угловое смещение относительно оси z1 системы координат 1 (рис. 2.13, а). Кроме этого, в общем случае системы 1 и 2 имеют линейное смещение, обусловленное наличием обобщенной координаты s2, характеризующей перемещение во второй поступательной кинематической паре. Таким образом, при переходе от 2й к 1й системе координат необходимо учесть указанные смещения.

Рис. 2.13. Переход от системы 2 к системе 1

33

В этом случае, как и при переходе от 3й ко 2й системе через вспомогательную x'y'z', возможны 2 варианта. Далее будет более подробно рассмотрен один из них (рис. 2.13, б), второй же получается изменением порядка преобразований (рис. 2.13, в).

Итак, переход от 2й системы к x'y'z' происходит путем учета углового смещения первой относительно оси Oz второй системы на φ1. Математически это учитывается использованием матрицы поворота с аргументом α=φ1:

Переход от x'y'z' к системе 1 происходит путем учета линейного смещения первой относительно оси Oz второй системы на s2. Для учета линейных смещений достаточной найти координаты точки начала системы 3 (точки D) относительно системы координат 2 D(0;0;s2) и использовать следующую матрицу преобразования координат:

Еще раз отметим, что на основании совпадения точек начал систем коорди-

нат и сонаправленности одноименных осей переход от системы 1 к системе 0 излишен2.

2 Строго говоря, в этом случае матрица перехода будет единичной, что никак не скажется на преобразованиях.

34

Рис. 2.15 Переход от системы 3 к системе 2.

Для завершения перехода между системами необходимо учесть угловое смещение на величину (φ2+π/2) вокруг оси z, что описывается матрицей:

Полный переход от системы 3 к системе 2 происходит с помощью матрицы:

Теперь рассмотрим второй вариант. Введем вспомогательную систему координат x2' y2' z2' на изломе R2- L2 звена 2. Оси этой системы сонаправим с одноименными координатными векторами системы 3. Тогда переход от системы 3 к x2' y2' z2' происходит с помощью матрицы учета линейных смещений:

37

В свою очередь, переход от координат системы x2' y2' z2' к координатам системы

2 происходит путем учета линейных смещений вдоль осей х и у на величины R2 cosφ2 и R2 sinφ2 соответственно. Кроме этого, необходимо учесть угловое смещение вокруг оси z на величину (φ2+π/2). В результате проведения указанных операций получим матрицу:

Полная конвертация координат системы 3 в координаты системы 2 при таком варианте происходит с помощью матрицы:

Следует отметить, что в приложении 2 приведен именно последний вариант преобразования координат.

Переход от 2й к 1й системе координат (рис. 2.16, а) происходит с помощью учета постоянного линейного смещения на величину L1 (длина звена 1) вдоль оси z, а также учета угловых смещений, одно из которых получается из-за перпендикулярности осей вращательных кинематических пар 1 и 2 (оно постоянно), а другое обеспечивается обобщенной координатой φ1. Для удобства пояснения хода преобразований введем в рассмотрение две вспомогательные системы x'y'z' и x"y"z", начинающиеся в точке D. Причем координатные вектора первой из них сонаправлены с одноименными в системе 1 (другими словами система x'y'z' получается путем линейного смещения системы 1). Система x"y"z" получается путем поворота системы x'y'z' вокруг оси z на угол φ1. И наконец, система координат 2 получается из системы x"y"z" поворотом последней вокруг оси у на 90°.

Начнем по порядку с перехода от системы 2 к системе x"y"z". Матрица, учитывающая угловое смещение вокруг оси у на угол 90°,обусловленное перпендикулярностью осей вращения кинематических пар 1 и 2, имеет вид:

38

Рис. 2.16 Переход от системы 2 к системе 1.

Далее для перехода от системы x"y"z" к системе x'y'z' необходимо учесть переменное угловое смещение, обусловленное наличием обобщенной координаты φi, регламентирующей угол ротации в кинематической паре 1. Как было указано выше ротация происходит вокруг оси z, следовательно, матрица примет вид:

И наконец, последний переход от x'y'z' к линейно смещенной системе 1. Координаты точки D(0;0;L1), значит без лишних раздумий ясна необходимость использования следующей матрицы:

Окончательно переход от координат в системе 2 к их аналогам в системе 1 получается при использовании расширенной матрицы преобразования, полученной при перемножении матриц промежуточных переходов.

39

Последний переход от 1й к 0й системе координат (рис. 2.17) не столь сложен как предыдущий: достаточно учесть лишь угловое смещение вокруг оси х на угол -90°. Линейное смещение отсутствует, поскольку точка О общая для указанных систем и ее координаты в системе 0 примут вид: О(0;0;0). Последнее означает, что матрица линейных смещений выродится в единичную и никоим образом не повлияет на ход преобразования систем координат.

Рис.2.17. Переход от системы 1 к системе 0. Следовательно, матрица перехода имеет вид:

Окончательно имеем матрицу преобразования координат от собственной системы схвата манипулятора к неподвижной системе, связанной со стойкой робота:

M4 0 M1 0 M2 1 M3 2 M4 3.

Развернутый вид последнего матричного уравнения довольно громоздок и в целях сокращения объема выкладок приводиться не будет. А конечное выражение преобразования координат точки схвата манипулятора к системе стойки робота имеет вид:

A0 M4 0 A4

В общем случае координаты, содержащиеся в векторе А0 являются функциями от всех обобщенных координат кинематической структуры, а от размеров звеньев.

40