- •Конспект лекций.
- •1.1.2.Закон кулона
- •1.1.3.Электрическое поле. Напряженность
- •1.1.4.Принцип суперпозиции электрических полей
- •1.1.5. Примеры расчета полей на основе
- •Лекция 3
- •1.1.6. Густота линий напряженности. Поток вектора напряженности
- •1.1.7. Теорема гаусса
- •1.1.8.Применение теоремы гаусса к расчету полей
- •1.1.9.Потенциальный характер электростатического поля.Работа сил поля при перемещении зарядов. Циркуляция и ротор вектора напряженности
- •1.1.10.Потенциал. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле
- •1.1.11.Связь между напряженностью и потенциалом
- •1.1.12. Уравнение пуассона
- •1.1.13. Эквипотенциальные поверхности
- •Лекция 5
- •1.2. Электрическое поле в диэлектриках
- •1.2.1.Полярные и неполярные молекулы
- •1.2.2. Диполь в однородном и неоднородном электрических полях
- •1.2.3Поляризация диэлектриков
- •1.2.4. Поле внутри диэлектрика. Свободные и связанные заряды
- •1.2.5. Вектор электрического смещения
- •1.2.8.Условия на границе двух диэлектриков
- •1.2.7. Примеры расчета электрических полей в диэлектриках
- •1.3.Проводники в электрическом поле
- •1.3.1.Распределение зарядов на проводнике
- •1.3.2.Проводник во внешнем электрическом поле
- •1.3.3.Электроемкость уединенного проводника
- •1.3.4. Взаимная электроемкость. Конденсаторы
- •1.3.5. Соединения конденсаторов
- •1.4.Энергия электрического поля
- •1.4.1.Энергия заряженного проводника
- •1.4.2.Энергия заряженного конденсатора
- •1.4.3.Энергия поляризованного диэлектрика
- •1.4.4. Закон сохранения энергии для электрического поля в несегнетоэлектрической среде
1.2.4. Поле внутри диэлектрика. Свободные и связанные заряды
Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, называются связанными. Под действием поля связанные заряды могут лишь немного смещаться из своих положений равновесия. Покинуть пределы молекул, в состав которых они входят, связанные заряды не могут.
Заряды, находящиеся внутри диэлектрика, которые не входят в состав его молекул, а также заряды, расположенные за пределами диэлектрика, называются свободными или сторонними.
Поле в диэлектрике является суперпозицией поля , создаваемого сторонними зарядами, и полясвязанных зарядов. Результирующее поле называется истинным или микроскопическим:
.
Микроскопическое поле сильно меняется в пределах межатомных расстояний, а вследствие движения зарядов это поле меняется и со временем. Поэтому в качестве характеристики поля используются усредненные по бесконечно малому объему значения величин:
.
Если сторонние заряды неподвижны, поле обладает теми же свойствами, что и электростатическое поле в вакууме.
Когда диэлектрик неполяризован, объемная плотностьи поверхностная плотностьсвязанных зарядов равна нулю. В результате поляризации поверхностная плотность, а в ряде случаев и объемная плотность связанных зарядов, становятся отличными от нуля. Под действием внешнего поля происходит смещение зарядов в неполярных молекулах и поворот диполей в полярных молекулах (рис.1.2.2) так, что положительные заряды смещаются по полю, а отрицательные – против поля. Разноименные связанные
заряды, находящиеся внутри однородного диэлектрика, компенсируют друг друга. Связанные же заряды, находящиеся на поверхности диэлектрика, скомпенсированы быть не могут, и на поверхности остается избыточный заряд одного знака. Та поверхность диэлектрика, в которую линии вектора входят, получает отрицательный связанный заряд, а та поверхность, из которой линии векторавыходят, - положительный связанный заряд.
Найдем связь между вектором поляризации и поверхностной плотностью связанных зарядов. Рассмотрим бесконечную плоскопараллельную пластину из однородного изотропного диэлектрика, помещенную в однородное электрическое поле (рис 1.2.3). Выделим в диэлектрике элементарный объемв виде цилиндра, образующие которого параллельны, а основаниесовпадает с поверхностью пластины. Этот объем равен
,
г
,
где - модуль вектора поляризации. Этот объем эквивалентен диполю, образованному зарядамии, отстоящими друг от друга на расстояние. Его электрический момент, тогда, и
(1.2.5)
где - составляющая вектора поляризации по внешней нормали к соответствующей поверхности. Для правой поверхности (рис.1.2.3) , поэтому, для левойи. Известно, что, тогда
(1.2.6)
где - нормальная составляющая напряженности поля внутри диэлектрика.
Из формулы (1.2.6) следует, что, если - линии напряженности выходят из диэлектрика, то на поверхности появляются положительные связанные заряды. Если- линии напряженности входят в диэлектрик, то на поверхности появляются отрицательные заряды.Формулы (1.2.5) и (1.2.6) справедливы и в общем случае, когда неоднородный диэлектрик произвольной формы находится в неоднородном электрическом поле.
Найдем объемную плотность связанных зарядов, возникающих внутри неоднородного диэлектрика. В неоднородном изотропном диэлектрике с неполярными молекулами рассмотрим воображаемую малую площадку(рис 1.2.4). Пусть в единице объема диэлектрика имеетсяn одинаковых частиц с зарядом - иодинаковых частиц с зарядом. В небольшой окрестностиполе и диэлектрик можно считать однородными. Поэтому при включении поля все положительные заряды, находящиеся вблизи, сместятся в направлениина расстояние, а отрицательные - противоположнона расстояние. При этом через площадкупройдет в направлении нормали к ней некоторое количество зарядов одного знака (положительных, если, или отрицательных, если).
Площадку пересекут все заряды, которые до включения поля отстояли от нее более, чем на, то есть все заряды, заключенные в косом цилиндре объемом. Число этих зарядов равно, а переносимый ими в направлении нормали к площадке заряд равен(призаряд, переносимый за счет смещения положительных зарядов, будет отрицательным). Аналогично, площадкупересекут все заряды, заключенные в косом цилиндре объемом.Эти заряды перенесут в направлении нормали к площадке заряд(призарядыперенесут черезв направлении, противоположном, заряд, что эквивалентно переносу в направлениизаряда).
Таким образом, при включении поля через площадку переносится заряд в направлении нормали:
. (1.2.7)
Ясно, что - это расстояние, на которое смещаются друг относительно друга положительные и отрицательные связанные заряды в диэлектрике. В результате этого смещения каждая пара зарядов приобретает дипольный момент. Число таких пар в единице объема равно. Тогда модуль вектора поляризации равен
. (1.2.8)
С учетом формулы (1.2.8) выражение (1.2.7) принимает вид:
.
Диэлектрик изотропный, поэтому направления исовпадают, иесть угол междуи:
,
или для бесконечно малой площадки :
- это связанный заряд, который проходит при включении поля через элементарную площадку в направления нормали к ней.
Рассмотрим замкнутую поверхность , расположенную внутри диэлектрика. При включении поля эту поверхность пересечет и выйдет наружу связанный заряд:
причем,- это поток вектора поляризации через: поверхность. В результате выхода зарядав объеме, ограниченном поверхностью, останется избыточный связанный заряд:
.
Этот заряд равен, где- объемная плотность связанных зарядов. Интеграл бёрется по объему, ограниченному поверхностью. Тогда
.
Применим к этому выражению теорему Стокса, получаем: , или
(1.2.9)
- объемная плотность связанных зарядов равна дивергенции вектора , взятой с обратным знаком.
Точки с(рис. 1.2.5) служат источниками поля вектора, из этих точек линии векторарасходятся. Точки с(рис.1.2.6) служат стоками поля вектора, к этим точкам линиисходятся. При поляризации диэлектрика положительные связанные заряды смещаются в направлении вектора, а отрицательные связанные заряды - в противоположном. В результате в местах с положительной дивергенциейобразуется избыток отрицательных связанных зарядов, а в местах с отрицательной- избыток положительных связанных зарядов.
Связанные заряды отличаются от сторонних лишь тем, что не могут покинуть пределы молекул, в состав которых они входят. В остальном их свойства не отличаются от свойств других зарядов. Поэтому, если плотность связанных зарядов отлична от нуля, теорему Гаусса для вектораследует писать в виде:
, (1.2.10)
тогда уравнение Пуассона принимает вид
,
где - плотность сторонних (свободных) зарядов.
Из (1.2.9) имеем
или , и
. (1.2.11)
Из выражения (1.2.11) следует, что объемная плотность связанных зарядов может быть отлична от нуля в двух случаях: - если диэлектрик неоднороден, ; и, - если в данном месте диэлектрика плотность сторонних зарядов отлична от нуля,.
Если внутри диэлектрика сторонних (свободных) зарядов нет, имеем:
.
ЛЕКЦИЯ 5