1.1.8.Применение теоремы гаусса к расчету полей

1. Найдем напряженность электрического поля бесконечной нити, заряженной с линейной плотностью заряда (рис.1.1.10). Построим гауссову поверхность в виде цилиндра, ось которого совпадает с нитью. Радиус цилиндраr, высота h . В силу симметрии рассматриваемого поля линии вектора напряженности расходятся радиально от нити, и поток вектораотличен от нуля только через боковую поверхность цилиндра:

Очевидно, на одинаковом расстоянии r от нити значения Е будут одинаковы, поэтому Согласно теореме Гаусса

где - заряд, заключенный внутри гауссова цилиндра. Тогда

и - напряженность поля заряженной нити на расстоянииr от нее.

2. Поле бесконечной однородной заряженной плоскости. Поверхностная плотность зарядаво всех точках плоскости одинакова. Напряженность поля перпендикулярна к плоскости. В симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величине и противоположна по направлению. Построим цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями(рис.1.1.11). В силу симметрии.

Поток через боковую поверхность равен нулю, так как векторперпендикулярен к этой поверхности, таким образом суммарный поток через поверхность цилиндра равен, и.

3.Рассмотрим электрическое поле, созданное двумя разноименно заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда и. Очевидно, напряженности полей плоскостей направлены в одну сторону (от положительной плоскости к отрицательной, рис.1.1.12), и результирующая напряженность, где- напряженность поля одной заряженной плоскости. Окончательно получаем

4.Вычислим напряженность электрического поля, создаваемого заряженной сферой радиуса R. Заряд сферы q, его поверхностная плотность Для определения напряженности построим гауссову поверхность в виде сферы радиусаr, центр которой совпадает с центром заряженной сферы (рис.1.1.13).

Приr≤R внутри гауссовой поверхности зарядов нет, так как весь заряд распределен по поверхности сферы. По теореме Гаусса или, следовательно,- напряженность электрического поля внутри заряженной сферы равна нулю.

При внутрь гауссовой поверхности попадает весь заряд q сферы. В силу центральной симметрии поля напряженность на расстоянии r от центра сферы всюду одинакова, и илипри этом, тогда, иС ростомr значения Е убывают пропорционально (рис.1.1.14). На поверхности сферы напряженность испытывает скачек

5.Рассмотрим электрическое поле, созданное объемно заряженным шаром радиуса R . Объемная плотность заряда шара ρ. Гауссову поверхность построим в виде сферы, центр которой совпадает с центром шара, а радиус равен r (рис.1.1.15).

При внутрь гауссовой поверхности попадает заряд , тогда по теореме Гаусса , и. На поверхности шара приr=R напряженность .

Привнутрь гауссовой поверхности попадает весь заряд, и, отсюдаНа поверхности сферыт.е.и скачка напряженности не происходит. Зависимостьпредставлена на рис1.1.16.

Лекция 4

1.1.9.Потенциальный характер электростатического поля.Работа сил поля при перемещении зарядов. Циркуляция и ротор вектора напряженности

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда на отрезокравна:

.

Работа по перемещению единичного положительного заряда численно равна

Работа, совершаемая при перемещении единичного положительного заряда по конечному пути равна

. (1.1.2)

Здесь - сила Кулона, которая является центральной силой. Из механики известно, что поле центральных сил консервативно. Следовательно, работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от траектории, а определяется только начальной и конечными ее точками. Работа по замкнутому пути равна нулю. Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным. Тогда из (1.1.2) имеем:

(1.1.3)

- циркуляция вектора по замкнутому пути равна нулю.Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным.

Докажем потенциальный характер электростатического поля.

Рассмотрим сначала работу электрических сил в поле элементарного точечного заряда. Работа этих сил при бесконечно малом перемещениипробного единичного положительного заряда равна:

,

где - проекция перемещения пробного зарядана радиус-вектор, проведенный из возбуждающего поле заряда. Из рис.1.1.17 видно, что- это приращение численного значения радиус-вектора, то есть увеличение расстояния пробного зарядаот заряда. Поэтому работаможет быть представлена как полный дифференциал скалярной функции точки:

,

где - численное значение радиус-вектора. Тогда работа по перемещению единичного положительного заряда из точкив точкупо конечному путиравна:

,

гдеи- расстояния начальной и конечной точек пути от заряда. Таким образом, работа электрических сил на произвольном пути в поле неподвижного

элементарного точечного заряда действительно зависит от положений начальной и конечной точек этого пути и не зависит от формы пути. На рис.1.1.18 работа на пути равна работе на пути: избыточная работа, совершаемая на путипри перемещении пробного заряда за пределы сферы радиуса, компенсируется отрицательной работой, совершаемой при последующем приближении пробного заряда к зарядуна последнем участке пути. Таким образом, поле неподвижного точечного заряда есть поле потенциальное.

Очевидно, сумма потенциальных полей тоже есть потенциальное поле (так как если работа слагаемых сил не зависит от формы пути, то и работа равнодействующей от нее не зависит). Поле произвольной системы зарядов можно рассматривать как сумму полей каждого из точечных зарядов, поэтому всякое электростатическое поле есть поле потенциальное.

По определению, проекция на произвольное направление поляравна

,

где - бесконечно малая площадка, проходящая через точкуперпендикулярно вектору.

Так как циркуляция вектора по замкнутому контуру равна,, то

, или. (1.1.4)

Так как направление выбрано произвольно, то проекцияна любые направления равна 0, поэтому из (1.1.4)во всех точках электростатического поля, то есть электростатическое поле является безвихревым. Этот результат можно получить и из теоремы Стокса. Выражения (1.1.3) и (1.1.4) эквивалентны.