Лекция 3

1.1.6. Густота линий напряженности. Поток вектора напряженности

Силовую линию поля (линию напряженности) можно провести через любую точку пространства, так что число проводимых линий ничем не ограничено. Линия напряженности в этом случае дает лишь направление напряженности и не характеризует ее величину. Однако можно ввести условие, связывающее величину напряженности с числом проводимых силовых линий. Тогда в местах, где напряженность больше, линии напряженности будут гуще.

Электростатическое поле разобьем на малые области. В каждой такой области проведем площадку , перпендикулярную к линиям напряженности. Через площадкупроведем такое числолиний напряженности, чтобы число линий, приходящихся на единицу поверхности, было равно напряженности в области площадки, то есть потребуем, чтобы выполнялось условие:

.

При выполнении этого условия величина напряженности оказывается связанной с густотой силовых линий. Общее число линий, пронизывающих поверхность, равно потоку векторачерез эту поверхность:

;

где ,- единичный вектор внешней нормали к поверхности.

1.1.7. Теорема гаусса

Если известно расположение зарядов, то электрическое полезарядов можно найти по принципу суперпозиции. Однако применение этого метода в каждом отдельном случае требует довольно сложных вычислений. Задача может быть решена довольно просто применением некоторых теорем, которые мы здесь рассмотрим.

Вычислим поток вектора через бесконечно малую площадку. Будем считать, что поле создано точечным зарядом в вакууме, находящимся в точке(рис.1.1.7).

Из заряда проведем радиус-векторк площадке. Тогда потоквектора через эту площадку будет равен:.

Произведение равно проекции площадкина поверхность, перпендикулярную к.Это произведение положительно, если из видна внутренняя сторона площадки(уголострый), и отрицательно, если видна ее внешняя сторона (угол тупой), то есть_, где - абсолютная величина перпендикулярной кпроекции площадки. Пусть- телесный угол, под которым площадкавидна из точки. Тогда

(совпадает с элементом шаровой поверхности радиуса, проведенной из точки, поэтому). Тогда для потокавектораимеем

Углу будем приписывать положительный знак, если из точкивидна внутренняя сторона, и отрицательный, если внешняя. Тогда:

- в поле положительного заряда поток напряженностичерез произвольно ориентированную площадкузависит от величины заряда, образующего поле и от телесного угла, под которым эта площадка видна из занимаемой зарядом точки.

Тогда поток вектора через конечную поверхностьравен

где - положительный или отрицательный телесный угол, под которым видна из точкився поверхность.

Рассмотрим замкнутую поверхность . В этом случае зарядможет находиться либо внутри поверхности, либо вне ее.

Пусть заряд находится внутри замкнутой поверхности. Эта поверхность окружает его со всех сторон и видна из них под углом, тогда

Если же заряд находится в точке, лежащей вне поверхности(рис.1.1.8), то из точкиможно провести касательные к, образующие конус, соприкасающийся спо замкнутой кривой, которая разделитна две частии. Обе эти поверхности видны из точкипод одним и тем же углом, причем одна поверхность- с внутренней стороны , а другая- с внешней, то есть углыи, соответствующие этим поверхностям будут иметь разные знаки, при этом. Тогда и потоки через эти поверхности будут равны и имеютразные знаки, поэтому

-

- поток вектора через всякую замкнутую поверхность, не охватывающую заряд, равен нулю:

Полученные результаты справедливы для любой систему электрических зарядов. Действительно, пусть поле образовано системой зарядов . Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля Поток результирующего вектора равен

,

где , и

Эта формула выражает собой теорему Гаусса:

В произвольном электростатическом поле в вакууме поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную.

Если сумма , то - линии напряженности выходят из поверхности, если ,- линии напряженности входят в поверхность. Из теоремы Гаусса следует:

1. Линии напряженности могут начинаться только в местах положительных зарядов, а заканчиваться только в местах отрицательных зарядов.

2. Если мы возьмем замкнутую поверхность, охватывающую заряды, алгебраическая сумма которых равна нулю, то полный поток вектора напряженности через поверхность равен нулю. Это означает, что число линий, выходящих из объема, ограниченного данной поверхностью, равно числу линий, входящих в объем.

3. Если замкнутая поверхность проведена в поле так, что внутри нее нет зарядов, то линии напряженности будут ее пронизывать, не начинаясь, и не кончаясь внутри нее. Следовательно, число входящих линий равно числу выходящих линий, и полный поток напряженности через поверхность также равен нулю.

Рассмотрим теперь дифференциальную форму теоремы Гаусса. Пусть в некоторой точке с координатаминапряженность поля (рис.1.1.9) равна _.Построим около точкипрямоугольный бесконечно малый параллелепипед объемом. Объемная плотность заряда в нем равнаи зависит от координат выбранной точки поля:.

Поток векторачерез правую грань (1)

равен:

,

а через левую (2):

,

Поэтому поток вдоль оси равен

Таким же образом для верхней и нижней грани получим:

,

для задней и передней:

.

По теореме Гаусса

,

причем - заряд, заключенный внутри объема(ввиду малостиможно считать чтовнутри параллелепипеда всюду одинакова),

,

тогда

,

или

Сумма, стоящая в левой части, называется дивергенцией вектора ,

, или

-дивергенция вектора напряженности равна объемной плотности зарядов, создающих поле, деленной на .Это выражение представляет собой теорему Гаусса в дифференциальной форме. Она характеризует поле в точке. Электрические заряды являются источниками и стоками поля вектора . Линии вектораначинаются и заканчиваются на электрических зарядах. Если- это источник поля, если- сток поля. Если, то в данной точке нет зарядов, линиине прерываются.