1.2.4. Поле внутри диэлектрика. Свободные и связанные заряды

Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, называются связанными. Под действием поля связанные заряды могут лишь немного смещаться из своих положений равновесия. Покинуть пределы молекул, в состав которых они входят, связанные заряды не могут.

Заряды, находящиеся внутри диэлектрика, которые не входят в состав его молекул, а также заряды, расположенные за пределами диэлектрика, называются свободными или сторонними.

Поле в диэлектрике является суперпозицией поля , создаваемого сторонними зарядами, и полясвязанных зарядов. Результирующее поле называется истинным или микроскопическим:

.

Микроскопическое поле сильно меняется в пределах межатомных расстояний, а вследствие движения зарядов это поле меняется и со временем. Поэтому в качестве характеристики поля используются усредненные по бесконечно малому объему значения величин:

.

Если сторонние заряды неподвижны, поле обладает теми же свойствами, что и электростатическое поле в вакууме.

Когда диэлектрик неполяризован, объемная плотностьи поверхностная плотностьсвязанных зарядов равна нулю. В результате поляризации поверхностная плотность, а в ряде случаев и объемная плотность связанных зарядов, становятся отличными от нуля. Под действием внешнего поля происходит смещение зарядов в неполярных молекулах и поворот диполей в полярных молекулах (рис.1.2.2) так, что положительные заряды смещаются по полю, а отрицательные – против поля. Разноименные связанные

заряды, находящиеся внутри однородного диэлектрика, компенсируют друг друга. Связанные же заряды, находящиеся на поверхности диэлектрика, скомпенсированы быть не могут, и на поверхности остается избыточный заряд одного знака. Та поверхность диэлектрика, в которую линии вектора входят, получает отрицательный связанный заряд, а та поверхность, из которой линии векторавыходят, - положительный связанный заряд.

Найдем связь между вектором поляризации и поверхностной плотностью связанных зарядов. Рассмотрим бесконечную плоскопараллельную пластину из однородного изотропного диэлектрика, помещенную в однородное электрическое поле (рис 1.2.3). Выделим в диэлектрике элементарный объемв виде цилиндра, образующие которого параллельны, а основаниесовпадает с поверхностью пластины. Этот объем равен

,

г

де- угол между вектороми внешней нормальюк положительно заряженной поверхности диэлектрика,- толщина пластины,- расстояние между основаниями цилиндров. Объемимеет электрический момент

,

где - модуль вектора поляризации. Этот объем эквивалентен диполю, образованному зарядамии, отстоящими друг от друга на расстояние. Его электрический момент, тогда, и

(1.2.5)

где - составляющая вектора поляризации по внешней нормали к соответствующей поверхности. Для правой поверхности (рис.1.2.3) , поэтому, для левойи. Известно, что, тогда

(1.2.6)

где - нормальная составляющая напряженности поля внутри диэлектрика.

Из формулы (1.2.6) следует, что, если - линии напряженности выходят из диэлектрика, то на поверхности появляются положительные связанные заряды. Если- линии напряженности входят в диэлектрик, то на поверхности появляются отрицательные заряды.Формулы (1.2.5) и (1.2.6) справедливы и в общем случае, когда неоднородный диэлектрик произвольной формы находится в неоднородном электрическом поле.

Найдем объемную плотность связанных зарядов, возникающих внутри неоднородного диэлектрика. В неоднородном изотропном диэлектрике с неполярными молекулами рассмотрим воображаемую малую площадку(рис 1.2.4). Пусть в единице объема диэлектрика имеетсяn одинаковых частиц с зарядом - иодинаковых частиц с зарядом. В небольшой окрестностиполе и диэлектрик можно считать однородными. Поэтому при включении поля все положительные заряды, находящиеся вблизи, сместятся в направлениина расстояние, а отрицательные - противоположнона расстояние. При этом через площадкупройдет в направлении нормали к ней некоторое количество зарядов одного знака (положительных, если, или отрицательных, если).

Площадку пересекут все заряды, которые до включения поля отстояли от нее более, чем на, то есть все заряды, заключенные в косом цилиндре объемом. Число этих зарядов равно, а переносимый ими в направлении нормали к площадке заряд равен(призаряд, переносимый за счет смещения положительных зарядов, будет отрицательным). Аналогично, площадкупересекут все заряды, заключенные в косом цилиндре объемом.Эти заряды перенесут в направлении нормали к площадке заряд(призарядыперенесут черезв направлении, противоположном, заряд, что эквивалентно переносу в направлениизаряда).

Таким образом, при включении поля через площадку переносится заряд в направлении нормали:

. (1.2.7)

Ясно, что - это расстояние, на которое смещаются друг относительно друга положительные и отрицательные связанные заряды в диэлектрике. В результате этого смещения каждая пара зарядов приобретает дипольный момент. Число таких пар в единице объема равно. Тогда модуль вектора поляризации равен

. (1.2.8)

С учетом формулы (1.2.8) выражение (1.2.7) принимает вид:

.

Диэлектрик изотропный, поэтому направления исовпадают, иесть угол междуи:

,

или для бесконечно малой площадки :

- это связанный заряд, который проходит при включении поля через элементарную площадку в направления нормали к ней.

Рассмотрим замкнутую поверхность , расположенную внутри диэлектрика. При включении поля эту поверхность пересечет и выйдет наружу связанный заряд:

причем,- это поток вектора поляризации через: поверхность. В результате выхода зарядав объеме, ограниченном поверхностью, останется избыточный связанный заряд:

.

Этот заряд равен, где- объемная плотность связанных зарядов. Интеграл бёрется по объему, ограниченному поверхностью. Тогда

.

Применим к этому выражению теорему Стокса, получаем: , или

(1.2.9)

- объемная плотность связанных зарядов равна дивергенции вектора , взятой с обратным знаком.

Точки с(рис. 1.2.5) служат источниками поля вектора, из этих точек линии векторарасходятся. Точки с(рис.1.2.6) служат стоками поля вектора, к этим точкам линиисходятся. При поляризации диэлектрика положительные связанные заряды смещаются в направлении вектора, а отрицательные связанные заряды - в противоположном. В результате в местах с положительной дивергенциейобразуется избыток отрицательных связанных зарядов, а в местах с отрицательной- избыток положительных связанных зарядов.

Связанные заряды отличаются от сторонних лишь тем, что не могут покинуть пределы молекул, в состав которых они входят. В остальном их свойства не отличаются от свойств других зарядов. Поэтому, если плотность связанных зарядов отлична от нуля, теорему Гаусса для вектораследует писать в виде:

, (1.2.10)

тогда уравнение Пуассона принимает вид

,

где - плотность сторонних (свободных) зарядов.

Из (1.2.9) имеем

или , и

. (1.2.11)

Из выражения (1.2.11) следует, что объемная плотность связанных зарядов может быть отлична от нуля в двух случаях: - если диэлектрик неоднороден, ; и, - если в данном месте диэлектрика плотность сторонних зарядов отлична от нуля,.

Если внутри диэлектрика сторонних (свободных) зарядов нет, имеем:

.

ЛЕКЦИЯ 5