
- •2. Динамика материальной точки
- •2.1.Границы применимости классической механики
- •2.2. Инерциальные системы отсчета и первый закон ньютона
- •2.3. Масса, импульс, сила
- •2.3. Второй закон ньютона. Уравнение движения материальной точки
- •2.4. Третий закон ньютона и закон сохранения импульса
- •2.5. Центр масс механической системы, закон движения центра масс
- •2.6. Преобразования галилея. Принцип относительности галилея
- •2.7. Силы
- •2.8. Упругие силы. Идеально упругое тело. Упругие напряжения и деформации. Закон гука. Модуль юнга
- •2.9. Силы сопротивления
- •2.10. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения
- •2.11.Сила тяжести и вес
- •2.12. Движение тел с переменной массой. Уравнение мещерского. Формула циолковского
2.11.Сила тяжести и вес
Под действием
силы притяжения к Земле все тела падают
с одинаковым относительно поверхности
Земли ускорением
.
Это означает, что в системе отсчета,
связанной с Землей, на всякое тело массы
действует
сила
,
называемая силой тяжести. Когда тело
покоится относительно поверхности
Земли, сила
уравновешивается реакцией
подвеса или опоры, удерживающих тело
от падения
.
По третьему закону Ньютона тело в этом
случае действует на подвес или опору с
силой равной -
,
т.е. с силой
.
Сила
,
с которой тело действует на подвес или
опору, называется весом тела. Эта сила
равна
лишь в том случае, когда тело и опора
(или подвес) неподвижны относительно
Земли. В случае их движения с ускорением
вес
не будет равен
.
Рассмотрим пример (рис.2.13). Подвес в виде
укрепленной на рамке пружины движется
вместе с телом с ускорением
.
Уравнение движения тела имеет вид
,
где
–
реакция подвеса, т.е. сила, с которой
пружина действует на тело. По третьему
закону Ньютона тело действует на пружину
с силой –
,
которая по определению представляет
собой вес тела
.
Тогда
.
(2.24)
Эта формула определяет вес тела в общем случае.
Предположим, что тело и подвес движутся в вертикальном направлении (демонстрация 5). Спроектировав (2.24) на направление отвеса, получаем:
.
Знак «+»
соответствует ускорению, направленному
вверх, а знак «- » - ускорению, направленному
вниз. При свободном падении рамки
и
=0.
Тело находится в невесомости.
Не следует
путать силу тяжести и вес. Эти силы
приложены к разным телам:
–к телу, а
– к опоре. Сила
всегда равна
,
независимо от того, движется тело или
покоится, сила же веса
зависит от ускорения, с которым движутся
опора и тело, и может быть как больше,
так и меньше
.
2.12. Движение тел с переменной массой. Уравнение мещерского. Формула циолковского
В ньютоновской
механике масса считается независящей
от скорости, однако это вовсе не означает,
что она должна оставаться постоянной
в процессе движения тела. Она может
меняться, например, при обмене веществом
между телом и оружающей средой. Типичным
примером движения тела переменной массы
является реактивное движение. В процессе
работы установленного на ракете двигателя
продукты сгорания топлива выбрасываются
через сопло двигателя, и масса ракеты
постепенно уменьшается.
Основное
уравнение динамики материальной тела
переменной массы было получено И.В.
Мещерским. Рассмотрим систему, состоящую
из поступательно движущегося тела
переменной массы и отделяющихся от него
частиц (рис.2.14). В момент времени
масса тела равна
,
его скорость
,
полный импульс системы равен
.
От тела отделяются частицы со скоростью
.За
время
масса отделившихся частиц составила
,
а масса тела стала равна
,
скорость тела увеличилась до значения
,
тогда изменение импульса системы за
время
равно
.
Раскрыв
скобки и пренебрегая величиной
,
получаем
,
или
,
где
– скорость отделяющихся частиц по отношению к рассматриваемому телу (относительная скорость). Подставив последнее выражение в закон изменения импульса (2.5), получим уравнение Мещерского:
векторная величина
имеет
размерность силы и называется реактивной
силой. Положив в этом уравнении
,
получим формулу Циолковского для
движения ракеты под действием одной
только реактивной тяги:
где
-
скорость истечения продуктов сгорания
из сопла ракеты, измеренная относительно
ракеты. Если начальная скорость ракеты
равна нулю, а траектория – прямая линия,
то скорости
и
направлены противоположно, и в проекции
на направление движения ракеты получаем
или
.
Если
–стартовая скорость ракеты, а
– конечная масса ракеты после окончания
работы двигателей вследствие выгорания
всего топлива,
-
масса топлива, тогда интегрируя последнее
выражение, получим максимальную скорость
ракеты:
или
Эта формула называется формулой Циолковского.