2_Элементы теории множеств

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Кантор описывает множество следующим образом:

О п р е д е л е н и е . Множество S есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое.

 Понятие множества. Способы задания множества

Мы под множеством будем понимать следующее:

О п р е д е л е н и е . Множество – набор (совокупность) определенных, различимых между собой объектов, рассматриваемых как единое целое, и обладающий некоторым общим свойством.

А, B, C и т.п. .

Объекты, составляющие данное множество, называют его

элементами.

х, a, b и т.п. .

Для того, чтобы указать, что х – элемент множества А, записывают х А и читают «х принадлежит А». Чтобы указать, что х не является элементом множества А, записывают х А и читают «х не принадлежит множеству А».

Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:

Обозначения числовых множеств:

1)N – множество натуральных чисел.

2)Z – множество целых чисел.

3)Q – множество рациональных чисел (дроби).

4)R – множество действительных чисел

2

Существует два способа задания множества:

Способы задания множеств

Конечные множества: множество букв алфавита, множество студентов 2 курса специальности «Юриспруденция» и т.д.

Бесконечные множества: множество натуральных чисел, множество точек прямой

ит.д.

Кконечным множествам относится и множество, не содержащее элементов вообще. Такое множество называют пустым и обозначают Ø.

П р и м е р 2 .

Ø = х х R и x2 1 0 , поскольку среди действительных чисел нет решения данного уравнения.

О п р е д е л е н и е . Если каждый элемент множества В является также и элементом множества А, то говорят, что множество В называется

подмножеством множества А.

4)Каждое не пустое множество A Ø имеет по крайней мере два различных подмножества: само А и пустое множество Ø.

5)Каждый элемент множества А определяет некоторое подмножество множества

А: если a A , то a A .

3

Операции пересечение и объединение множеств выполняются для любой пары множеств. Операция дополнение имеет смысл для тех множеств, когда второе является подмножеством первого.

Следует провести аналогию между логическими операциями и операциями над множествами.

Множества вместе с определенными на них операциями образуют алгебру множеств. Последовательность выполнения операций задается с помощью формулы

алгебры множеств. Например, А В , A B \ C – формулы алгебры множеств.

5

 Основные законы над множествами

7)Закон двойного отрицания:

A A

8)U Ø

9)Законы для объединения, пересечения и дополнения:

а) A U U ; б) A U A ; в) A Ø = A; г) A Ø = Ø;

д) A A U ; е) A A Ø

10) A \ B A B

11) Законы для разностей:

а) U \ A A ; б) A \ U Ø; в) A \ Ø = A; г) Ø \ A Ø;

д) A \ A Ø

Доказательство каждого из перечисленных законов основано на определении равенства множеств и определений операций над множествами. Чтобы доказать некоторое

преобразований получили, что он принадлежит A B , т.е. A \ B A B .

И действительно это так, проиллюстрируем это на диаграммах Эйлера-Венна (см.

Рисунок 3).

1 def – это действие по определению.

7

 Формула включений и исключений

После определения операций и основных законов над множествами возникает вопрос относительно числа элементов полученных множеств.

Пусть дано конечное не пустое множество А, т.е. А Ø, состоящее из n элементов. Закрепим за каждым элементом множества А соответствующий номер 1, 2, 3, …, n. Тогда элементы множества А предстанут в занумерованном виде: a1 , a2 , a3 , , an , где номер

последнего элемента и означает число элементов множества А. Значит число n, соответствующее количеству элементов множества А a1 , a2 , a3 , , an , будет

8

количественной характеристикой данного множества. Число элементов конечного множества А будем обозначать N A . Число элементов пустого множества Ø равно нулю, т.е. N A 0 .

Пусть существуют множества А и В, количество элементов которых N A и N В ,

тогда общее количество элементов А и В вычисляет формула, называемая формулой включений и исключений2 (ее можно обобщить на три и более множества), которая позволяет решать многие задачи теории множеств (см. Рисунок 4).

Формула включений и исключений

N A B С N A N B N C N A B

N B C N A C N A B C

Рисунок 4. Формула включений и исключений.

П р и м е р 7 .

Из 16 студентов группы, изучающих английский или китайский язык, 11 – изучают китайский. Сколько студентов изучают оба языка, если английский язык изучают 9 из них?

Р е ш е н и е .

Что дано?

Даны два множества:

2 Впервые формулу включений и исключений опубликовал португальский математик Даниэль да Сильва в 1854 года. Но еще в 1713 году Николай Бернулли использовал этот метод для решения задачи о встречах.

9

Рисунок 5

Значит, количество студентов в группе изучающих оба языка можно вычислить по формуле включений и исключений:

N К А N К N А N К А , т.е. N К А N К N А N К А

N К А 11 9 16 4 .

О т в е т . 4 человека изучают оба языка: китайский и английский язык.

Упражнения для выполнения

1)Приведите примеры множеств из обычной жизни. Какие множества, из приведенных примеров, является конечными, а какие нет. Поясните свой ответ.

2)Запишите, используя символы: а) число 12 – натуральное;

б) число – 6 – не является натуральным; в) число 0 является рациональным; г) число 2 - действительное.

3)Прочитайте следующие высказывания и укажите среди них верные, поясните свой ответ:

4)Перечислите элементы следующих множеств:

а) А – множество нечетных однозначных множеств; б) В – множество натуральных чисел меньших или равных13; в) С – множество двухзначных чисел, делящихся на 5.

5)Задайте множество D, которое состоит из натуральных чисел: а) кратных 3; б) больших 40, но меньших 70;

в) не больших 13; г) четных двухзначных чисел;

д) по крайней мере равных 10.

6)Укажите характеристическое свойство элементов множества:

а) {а, е, ѐ, и, о, у, э, ю, я, ы};

10