§ 12. Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба .

Определение. Точка графика непрерывной функции f(x), при переходе через которую кривая ме­няет направление выпуклости, называется точкой пере­гиба.

Согласно определению в точке перегиба касательная к графику функции с одной стороны расположена выше [ графика, а с другой — ниже, т, e. в точке перегиба каса­тельная пересекает кривую (см. рис. 66).

Теорема 1 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция у = f(x) имеет непре­рывные производные до второго порядка включительно на интервале ]а; b[ и точка (х₀; f (х₀)), где х_о ]а;b[, является точкой перегиба графика функции f(x), то

Доказательство. Так как точка (;f(x_o)) яв­ляется точкой перегиба, то слева и справа от имеет разные знаки. Но тогда в силу непрерывности второй производной имеем .

Теорема 2 (достаточное условие). Если функция y=.f(x), x]a; b[, дважды дифференцируема на ин-

тервале ]а; b[ и при переходе через х_о]а; b[ вторая производная f"(x) меняет знак, то точки кривой с абсциссой х — х₀ является точкой перегиба.

Доказательство. Пусть f "(х) < 0 при и f"(x)>0 при х > х₀. Тогда при х < х₀ график функ­ции обращен выпуклостью вверх, а при х>х₀ —вы­пуклостью вниз. Таким образом, точка (x_o;f(x)) яв­ляется точкой перегиба графика функции y=f(x).

Аналогично доказывается, что если f"(x)>0 при х < х₀ и f"(х) < 0 при х > х₀, то точка (х₀; f(x₀)) яв­ляется точкой перегиба графика функции у = f(x).

Так как вторая производная функции у = f(x) мо­жет изменить свой знак при переходе не только через точки, в которых f"(x) обращается в нуль, но и через точки, в которых (х) не. существует, то точки пере­гиба следует искать среди критических точек второго рода.

Пример. Найти точки перегиба графика функции

= x³-2x² + 7x-4.

Решение, Данная функция определена на всей числовой прямой.

1. Находим:

,

|Вторая производная существует для любого действительного х и обращается в нуль при х = 2

-критическая точка второго рода. Следовательно, на интер­валах ]-; 2[ и ]2; +[ функцияf"(х) сохраняет свой знак.

2. Методом пробных точек определяем знак произ­водной f " (х) на каждом из этих интервалов. При х = 0]-; 2[ имеемf "(0) = -4 < 0, при х = 3]2; +[ имеемf "(3)= 2 > 0. Следовательно, точка кривой с абсциссой х = 2 является точкой перегиба.

3. Находим ординату точки перегиба: у = f(2) = 4.

Таким образом, точка (2; 4является точкой пере­гиба графика данной функции, причем на интервале ]-; 2[ функция обращена выпуклостью вверх, а на интервале ] 2; +[ — выпуклостью вниз.

§ 13. Асимптоты кривой.

Как мы знаем, прямая у = kx + b называется асимп­тотой кривой y= f(x) при х, если

Отсюда

(1)

где lim а(х) = 0. Имеем:

,

Отсюда

(2)

(3)

По формулам (2) и (3) вычисляются угловой коэф­фициент k и начальная ордината b асимптоты у = kx +b

Аналогично определяется и находите! асимптота кривой у = f(x) при x.

Очевидно, что если k = 0, то уравнение асимптоты примет вид

(4)

Асимптота, определяемая уравнением (4), называется горизонтальной асимптотой.

Прямая х = а называется вертикальной асимптотой, если

или

Для определения вертикальных асимптот надо оты­скать те значения х, вблизи которых функция f(x) неог­раниченно возрастает по модулю, Обычно — это точки разрыва функции.

Пример 1. Найти асимптоты кривой

Решение. Так как

то прямая х = 2 является вертикальной асимптотой.

Находим: рис. 14

Итак, y = х + 2 является наклонной асимптотой данной функции при х±.

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту х = 2 и наклонную y = x + 2 (рис. 14).