5. Экономический смысл производной.

Пример. Пусть предприятие выпускает однородную продукцию, тогда из­держки производства у можно считать функцией количества выпускаемой про­дукции х, т. е. y=f(х).

Предположим, что количество выпускаемой продукции изменилось на х, тогда издержки производства также изменятся на

y=f(x+x)-f(x).

Разделив приращение издержек производства на приращение выпускаемой продукции, получим

(1)

Равенство (1) выражает среднее приращение издержек производства на единицу приращенной продукции, перейдя к пределу, получим

(2)

Предел (0) или производная от функции f(x) в экономике называется предельными издержками производства.

§ 3. Сложная функция и ее производная

Функция вида

(1)

называется сложной функцией, составленной из функ­ций f u g, или суперпозицией функций f u g.

Например, функция y = cos(3x — 2) есть сложная функция, составленная из функций и = Зх — 2 и cos,

Можно показать, что если функции f и g непрерывны, то и сложная функция g(f(x)) непрерывна.

Сложную функцию (1) часто пишут в виде

y = g(u), где u = f(x). (2) Три этом аргумент х называют независимой перемен­ной, а u — промежуточным аргументом.

Теорема. Если функция u = f(x) дифференцируема в некоторой точке х, а функция у = g(u) опре­делена на множестве значений функции и u дифферен­цируема в точке u = f(x), то сложная функция у =g(f(x)) в данной точке х имеет производную, кото­рая находится по формуле

или

(3)

Доказательство. Дадим независимой переменой х приращение х 0 и допустим, что и получит приращение u 0, а следовательно, и у получит приращение у, которое, как известно из курса средней школы, равно

(4) где функция а(и) такова, что

Формула (4) будет верна и при и = 0, если положить

Разделим обе части равенства (4) на х;

Переходя к пределу при х  0, получим

осмотрим отдельно

Если , то

(здесь мы воспользовались тем, что дифференцируемая функция всегда непрерывна, т. е. при х0 и u0). Так как при u = О мы положили (u)=О, то и в этом случае, очевидно,

Итак

-

ИЛИ

что и требовалось доказать.

Пример. Найти производную функции

у = (х³ — 5х + 7)⁹.

Решение. Обозначив и = х³ — 5х + 7, получим у = u⁹. Найдем:

и

.

По формуле (3) имеем

§ 4. Формулы дифференцирования

Нахождение производной функции непосредственно по определению занимает много времени и часто свя­зано с большими трудностями. Поэтому выводится ряд формул, с помощью которых можно проще и с мини­мальной затратой времени дифференцировать различ­ные функции. В этом параграфе приведены основные формулы дифференцирования. Условимся буквами и, обозначать дифференцируемые функции независимой переменной х, а буквами- с, а, а — константы.

Остальные формулы записаны как для функций не­зависимой переменной, так и для сложных функций.

Пример 1. Найти производную функции

Решение.