- •§ 1. Предел и непрерывность функций
- •§ 2. Производная функции, ее геометрический и физический смысл
- •5. Экономический смысл производной.
- •§ 3. Сложная функция и ее производная
- •§ 4. Формулы дифференцирования
- •§ 5. Обратная функция и ее производная
- •§ 6. Неявная функция и ее производная
- •§ 7. Производные высших порядков
- •§ 8. Возрастание и убывание функции. Признаки возрастания и убывания функции
- •§ 9. Экстремумы функции. Необходимые условия существования экстремума
- •§ 10. Достаточные условия существования экстремума
- •1. Первое достаточное условие.
- •2. Второе достаточное условие.
- •§ 11. Выпуклость графика функции. Достаточное условие выпуклости
- •§ 12. Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба .
- •§ 13. Асимптоты кривой.
- •§ 14. Общая схема исследования функций и построения графиков
- •§ 15. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
§ 7. Производные высших порядков
Пусть функция y = f(x), x(a,b), дифференцируема во всей области ее определения. Производная y' = f'(x), вообще говоря, также является функцией от х. Производная от функции у' = f (х) (от первой производной), если она существует, называется производной второго порядка или второй производной функции y=f(x) и обозначается у", f"(x), .Таким образом,
, .
Пример 1. Найти вторую производную функции
у = х5 — 2х3 + х — 3.
Решение. Находим
=(х5_-2х3 + х-3)' = 5х4 — 6х2 +1,
затем
= = (5х4 — 6х2 + 1)' = 20х3-12х.
Производная от второй производной функции у =f(x), если она существует, называется производной третьего порядка или третьей производной:
,
Производной п-го порядка (или п-й производной) функции у = f(x) называется производная от произвдной (п—1)-порядка:
.
Пример 2. Найти производную n-го порядка функции
Решение, у' = (ekx)' = kekx; у" = (kekx)' = k2ekx; у'" = (k2ekx)' = k3ekx. Вообще,
.
§ 8. Возрастание и убывание функции. Признаки возрастания и убывания функции
Определение 1. Функция y = f(x), х]а; b[, называется возрастающей на интервале ]а; b[, если для любых и , принадлежащих этому интервалу,
x2>xl=f(x2)>f(xl).
Определение 2. Функция y = f(x), x]a; b[, называется убывающей на интервале ]а; b[, если для любых и х2, принадлежащих этому интервалу,
х2> xl=f{x2) <f(xd.
Определение 3. Функция y=f(x), x]a; b[, называется неубывающей (невозрастающей) на интервале ]а; b[, если для любых и х2, принадлежащих этому интервалу,
Напомним, что интервалы, в которых функция либо только возрастает (не убывает), либо только убывает (не возрастает), называются интервалами строгой монотонности (интервалами монотонности).
Необходимые условия монотонности функции на интервале дают следующие теоремы.
Теорема 1 (необходимое условие возрастания функции). Если дифференцируемая функция у = f(x), х ]а; b[, возрастает на интервале ]а; b[, то для любого х0 .
Доказательство. Из определения (1) имеем:
т. е. f' (х0)0, что и требовалось доказать.
Теорема 2 (необходимое условие убывания функции). Если дифференцируемая функция y = f(x), x ] а; b[, убывает на интервале ]а; b[, то f'(xo)для любого х0 ]а; b[.
Доказательство этой теоремы аналогично предыдущей.
Теоремы, дающие достаточные признаки монотонности функции, доказываются в школьном курсе, поэтому мы приводим лишь их формулировку.
Теорема 3 (достаточное условие возрастания функции). Если функция y = f(x), х ]а; b[, имеет положительную производную в каждой точке интервала ]а; b[, то эта функция возрастает на интервале
]а; b[.
Короче, если , то функцияf(x) возрастает на интервале ]а; b[.
Теорема 4 (достаточное условие убывания функции). Если функция у = f(x), x]a;b[, имеет отрица тельную производную в каждой точке интервала ] a; b [, то эта функция убывает на интервале ]а; b[.
Короче, если , то функцияf(x) убывает на интервале ]а; b[.
Заметим, что если функция f(x) монотонна на интервале ]а; b[ и непрерывна в точках а и b, то она монотонна на отрезке [а; b].
Пример. Найти интервалы монотонности функции
f(x)=x3-4x + 2.
Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей действительной прямой. Находим производную: f/(x) = x2-4. Очевидно, что f'(x)>0 при х2 - 4 > 0 х2 > 4 |х| > 2,
Таким образом, данная функция возрастает на множестве ]-; -2[]2; +[ и убывает на интервале ]-2;2[.