§ 5. Обратная функция и ее производная

Функции y = f(x) и x = (y) называются взаимно обратными, если D(f) = E(),Е (f) = D() иy₀ = f()х₀ = для любых x_oD(f) и D(f) (здесь, как обычно, через D и Е обозначены соответственно область определения и область значении функции).

Часто у обратной функции меняют ролями обозна­чения функции и аргумента, т. е. вместо х = (у) пишут y =(x). Например, функция у =2х —3 имеет обратную функцию

Графики взаимно обратных функций y = f(x) и у=f~^l(x) симметричны относительно прямой у = х (рис. 5).

Теорема. Если функцияy = f(x) имеет отличную от

нуля производную в некоторой точке, а ее обратная

функция х =(y) определена

на E(f) и дифференцируема в соответствующей точ­ке у,

то

(1)

Доказательство.

Рассмотрим сложную функ­цию По определению Рис 5

обратной функции

для любого .По теореме о производной слож­ной функции имеем

или

откуда и следует формула (1).

Пример I. Найти производную функции у =] -1; 1[.

Решение. Данная функция является обратной для функции х = sin у, .По формуле (1) имеем

.

Так как

то

(2)

Если где

то

()

Аналогично можно доказать формулы:

§ 6. Неявная функция и ее производная

Пусть функция f задана уравнением

y = f(x) , (1)

связывающим переменные х, у и разрешенным относи­тельно у. Такое задание функции называется явным.

Например, у = Зх² — 5, у = sin Зх, у =.

Если функция f задана уравнением

F (х, у) = 0, (2) связывающим переменные х, у и неразрешенным относительно у, то такое задание функции называется не­явным.

Например, 2х — Зу + 6 = 0, х² + е+ 3 = 0.

Заметим, что не всякое уравнение вида (2) задает неявную функцию. Так, уравнение х² + у² + 4 = 0 не определяет функцию, потому что ему не удовлетворяет ни одна пара действительных чисел х и у.

Чтобы найти производную функции у по аргументу х, заданной уравнением (2), дифференцируем по х ле­вую часть этого уравнения, считая у функцией от х и результат приравниваем нулю (так как производная правой части 0' = 0); получим линейное уравнение от­носительно у', из которого находим искомую производ­ную у'.

Пример. Найти производную функции

х² + ху — 2у³ + 5 = 0.

Решение.