§ 15. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция y = f(x),x[a; b], непрерывна на отрезке [а; b], дифференцируема во всех точках этого отрезка и имеет на нем конечное число критических точек первого рода.

Очевидно, что если данная функция монотонна на отрезке [а; b], то наибольшее и наименьшие значения достигаются на концах этого отрезка, а именно:

1) если функция f(x) возрастающая, то f(а)-наименьшее значение и f(b)—наибольшее значение;

2) если функция f(x) убывающая, то f(a)—наиболь­шее значение и f(b)— наименьшее значение. Если функция f(x) не является монотонной, то свое наибольшее значение на отрезке [а;b] она дости­гает либо в одной из то­чек максимума, либо на одном из концов этого отрезка. Точно так же наименьшее значение на отрезке [а; b] функция f(x) достигает либо в одной из точек минимума, либо на одном из концов отрезка [а; b] (см., например, рис.18)

Рис 18

Таким образом, чтобы найти наибольшее и наимень­шее значения функции f(x) на отрезке [а; b] нужно:

1) найти критические точки первого рода данной функции;

2) вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу ]а;b[ и на концах отрезка [a; b];

3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значе­ния функции у = f(x) = х⁴ -2х² + 5 на отрезке [-2; 3]

Решение. 1) Находим критические точки данной функции: у' = 4x³ - 4х, 4х³ - 4х = 0, откуда

= -1,

=0 и

2) Находим: f(-2)= 12, f(-1) = 4, f(0)=5, f(1) = 4 и f(3)= 68.

Итак, = 68, = 4.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач.

20