книги из ГПНТБ / Тиходеев П.М. Световые измерения в светотехнике (фотометрия)

которые образуют перпендикуляр к поверхности СР с координатными

упрощении записи Р + г2 = А ; 2Ьг = В и т. д.) интегрируются. В итоге

не находится в плоскости, проходящей через перпендикуляр к кругу, т. е. ось OZ и точку, для которой вычисляется освещенность. Пусть

Такое выражение впервые было получено акад. В. А. Фоком (1924 г.) иным путем, именно, с помощью векторного исчисления

(см. п. 33).

61

Выражение (29. 2) можно записать короче, если вместо отрезков прямых ввести только углы. Опуская сравнительно простые преоб­ разования, можно придти к такому выражению (см. рис. 29. 4):

Это выражение остается неизменным для любой светящейся поверхности, лежащей внутри эллиптического конуса и ограничен­

ся освещенность. Эллиптический конус имеет углы при вершине:

Выражение (29. 4) пригодно для расчета освещенности от светя­ щегося эллипса; для этого с помощью приемов аналитической гео­

шар q (рис. 29. 5), который имеет одинаковую яркость по всей внеш­ ней поверхности, причем эта

освещенности, которая получается в той же точке от светящегося круга диаметра BE, являющегося основанием прямого конуса ВСЕ. Вершиной последнего является точка С, а образующей — касатель­ ная к шару (ВС, ЕС).

62

Согласно выражению (25. 24) освещенность dE в точке С от шаро­

Это выражение можно получить более простым путем, если обра­ титься к интегрированию выражения (25. 26) [см. и. 25]. Очевидно, для этого нужно спроектировать всю поверхность полушара радиуса, равного единице (по правилу о взаимозаменяемых поверхностях радиус полушара может быть взят каким угодно), на плоскость, касательную к освещаемой поверхности. Площадь проекции равна площади большого круга шара, т. е. л. Следовательно, интегрирова­ ние выражения (25. 26) в данном случае дает Е = л -L.

30. Освещенность от светящегося прямоугольника, треуголь ника и многоугольника. Телесный угол, опирающийся на прямо­ угольник. Прямоугольник со сторонами а и b имеет по всей площади одинаковую яркость L (рис. 30. 1). Требуется вычислить осве­ щенность (Е) в точке С на плоскости S, параллельной прямоуголь­ нику; при этом точка С лежит в месте пересечения плоскости 5 с перпендикуляром, восстановленным из вершины Л прямоугольника. Выделяют на прямоугольнике элементарную площадку dx-dy, коор­ динаты которой х и у. Освещенность от нее dE в точке С, согласно выражению (25. 24), равна (яркость L одинакова в направлениях к С):

63

■так как

Рис. 30. 1.

щенность, пересекает светящийся прямоугольник в точке А. Через нее проводятся две линии, параллельные сторонам прямоугольника. Светящийся прямоугольник таким путем разделен на четыре части: 1, 2, 3 и 4, для каждой из которых применимо выражение (30. 1). Полная освещенность Е определится как сумма:

Если перпендикуляр из точки С пересечет плоскость, в которой расположен светящийся прямоугольник, вне его площади (рис. 30. 3), то опять через эту точку пересечения проводятся две линии, парал­ лельные сторонам ‘светящегося прямоугольника. Стороны послед­ него удлиняются до пересечения с линиями, проведенными из точки Л, так что получаются четыре прямоугольника (/, 2, 3, 4), в сумме составляющие один, для которого применимо выражение (30. 1). Оно применимо и для прямоугольников (2 + 3) и (3 + 4). Освещен­ ность Ех от прямоугольника аЪ (или 1) вычисляется в предположе­ нии, что все прямоугольники имеют одну и ту же яркость:

64

Изложенный прием введения в рассмотрение воображаемых светящихся поверхностей, для которых расчетные математические выражения известны, причем действительная светящаяся поверх­

(рис. 25. 8 ), можно получить такое выражение для освещенности Е от светящегося треугольника (рис. 30. 4):

нием плоскостей АСВ и 5; Р2 — угол, соответственно между плоско­ стями ACD и 5; рз — угол между плоскостями BCD и 5.

О с в е щ е н н о с т ь о т с в е т я щ е г о с я м н о г о у г о л ь - н и к а. Если многоугольник разделить на треугольники, проведя диа­ гонали, то освещенность от многоугольника вычисляется, как сумма освещенностей от всех треугольников. При этом, если пользоваться предыдущим выражением (30. 2), то в алгебраической сумме окажутся некоторые члены, отличающиеся только знаком и потому сокра­ щающиеся. Это те, которые относятся к диагоналям. Таким образом, выражение

и Р,- берутся только те, которые относятся к сторонам его. Освещенность от поверхности сложного очертания (с кривыми

линиями) может! быть вычислена приближенно, если очертание поверхности заменить прямолинейными отрезками, чтобы получить многоугольник. При этом необязательно, чтобы он был плоским.

Другой способ приближенного решения заключается в том, что сложная по очертанию поверхность разделяется на несколько таких частей, наибольший линейный размер которых не превосхо­ дит, например, Vl0 расстояния от освещаемой точки. Удобно делить

iiii Maclii, равные по площади. Каждая часть заменяется светящейся

у г о л ы т к. При некоторых вычислениях телесных углов может оказаться полезным выражение для вычисления телесного угла со, опирающегося на прямоугольник. Для упрощения записи длина перпендикуляра из вершины телесного угла на плоскость, в которой

31. Световой поток с круга на круг и с прямоугольника на прямо угольник. Чтобы вычислить световой поток, падающий от светяще­ гося с одинаковой яркостью по всем своим местам круга на другой, освещаемый круг, можно воспользоваться, например, выражением (29. .3) для определения освещенности в некоторой точке освещаемого круга и затем произвести интегрирование по всей поверхности этого круга. В общем случае конечное выражение получается несколько сложным. В частном случае расположения обоих кругов в параллель­ ных плоскостях и притом так, что центры их лежат на одной перпен­ дикулярной линии к обеим плоскостям, задача решается проще. Как известно из геометрии, указанное расположение кругов отве-

66

Чает тому, что эти круги являются сечениями одного и того же шара (рис. 31. 1). Пусть верхний круг, имеющий радиус а и яркость L, освещает круг радиуса Ь, находящийся на расстоянии /.

Вся поверхность шара, расположенная ниже светящегося круга, получает одинаковую освещенность (см. п. 24). Световой поток, падающий на часть шара (на шаровой сегмент), лежащий за осве­ щаемым кругом, является именно тем потоком, который падает на этот круг. Следовательно, можно вычислять, поток, который

за освещаемым кругом, ко всей площади поверхности шара (Sj -1- S 2), освещаемой светящимся кругом. В аналитической геометрии дока-

Рис. 31. 2.

зывается, что поверхность шарового пояса или шарового сегмента равняется длине наибольшей окружности шара 2л -г, умноженной на высоту шарового пояса I или сегмента С.

Следовательно,

Отношение С/(С -{- /) удобно заменить таким, в которое входили бы только радиусы обоих кругов и расстояние между ними. Произведя необходимые преобразования, можно получить:

Fa+b = Fb+a = - ^ 2L [а2+ b2 + l2— У (a2 -f b2+ l2)2 — 4a2b2). (31. 1)

В силу правила обратимости поток с первого круга на второй равен потоку со второго на первый, если они имеют одинаковую яркость, что и позволяет записать, как Fa+b = Fb_>a.

Поток с круга на кольцо или с кольца на кольцо вычисляется путем приемов, схожих с указанными в п. 30.

Световой поток ^ 12 с прямоугольника на такой же прямоугольник, расположенный в параллельной плоскости, определяется так (рис. 31. 2). Составляется выражение для освещенности от светяще­ гося прямоугольника в некоторой точке освещаемого прямоугольника;

Оно умножается На элемент площади, чтобы вычислить свето" вой поток, падающий на нее. Это дифференциальное выражение затем интегрируется по всей освещаемой поверхности. Получается

Равенство Fu — F32 вытекает из того, что: 1) поток с 1-го прямоуголь­ ника на 4-й равен потоку с 4-го на 1-й (при одинаковой яркости) в силу обратимости и 2 ) поток с 3-го прямоугольника па 2 -н равен потоку с 4-го па 1-й вследствие одинакового взаимного расположе­ ния и равенства соответственных размеров. Следовательно,

Поступая подобными способами, можно найти выражение и для потока FАВ прямоугольника А на другой прямоугольник В иного размера, но с параллельными сторонами. Оно содержит довольно много членов. Если середины прямоугольников лежат на одной линии, перпендикулярной к ним обоим, то выражение получается проще:

F Ab ^ Е (|+3+5+7) (2+4+6+в) + Е 56— Е (3+5) (4+6) — Е(5+7) (б+8>. (31. 5)

Развивая дальше подобные приемы, можно решить задачу о потоке с одной рамки на другую.

68

32. Примеры сложения световых величин. Из принятых опр делений для световых величин и из предыдущего изложения нетрудно сделать заключение, при каких условиях можно говорить о сложе­ нии световых величин. Ниже приводятся разъяснительные примеры. Пусть имеется несколько источников света (рис. 32. 1) (a, b, с, d). Если каждый из них посылает на всю поверхность световые потоки Fas, Fbs, Fcs и Fds, то эти потоки на поверхности 5 складываются арифметически, следовательно, падающий на нее поток Fs равен:

Fs ^ Fas + Fbs -г Fcs + Fds.

световыми потоками от каждого источника света. Тдким образом, освещенности складываются арифметически.

Силы света от нескольких источников света можно было бы скла­ дывать, притом также арифметически, если бы они имели одно и то же направление и исходили из одной и той же светящейся точки, т. е. сложение могло бы быть произведено, если бы источники света как бы объединились в один. В некоторых случаях практики условно арифметически складывают силы света одного направления у источ­ ников света, близко расположенных друг подле друга.

Яркости также могут складываться арифметически. Так, в пре­ дыдущем примере, если поверхность (5) рассеянно отражает (см. п. 34) часть падающего на нее света, то, следовательно, она имеет опре­ деленную яркость при отражении потока от каждого из освещающих ее источников света; причем яркости складываются арифметически при совместном освещении поверхности световыми потоками от нескольких источников. Если поверхность (S) часть света про­ пускает, а не только отражает (пусть, например, эта поверхность заменена молочным стеклом, рассеивающим свет — и отраженный

69

и пропущенный им), то, следовательно, она приобретает яркость и от проходящего света, например, от светового потока источника света (е), расположенного по другую сторону от поверхности. Яркость от проходящего света арифметически складывается с яркостью от отраженного света. Если бы поверхность (S) светилась собствен­ ным светом (например, если бы это была поверхность накаленного тела) и потому имела бы определенную яркость, то при освещении ее добавочным светом (в случае, если бы поверхность отражала часть падающего на нее света), она приобрела бы дополинтелг пую яркость; причем яркость от собственного свечения и яркость от отраженного света (а также и проходящего) складывались бы арифметически.

яркостей окажется меньше действительных яркостей соответствен­ ных светящихся поверхностей вследствие потерь света при прохо­ ждении его сквозь прозрачное тело (5) и при отражении от него.

Светности складываются так же, как и яркости. Вычитание световых величин, т. е. уменьшение одной световой величины, если противоположно ей направлена другая (подобного же вида) световая величина, не имеет места в действительности (но условно может быть допущено для теоретических световых расчетов).

33. Представление световых величин как векторов. Вектор осве

щенности. Сила света, удельная сила света, яркость (и коэффи­ циент яркости) и, при некоторых условиях, освещенность кроме количественного своего значения имеют еще то или иное направле­ ние. Поэтому их можно изображать в виде отрезков прямых опре­

(см. те же рисунки). Отрезки нередко называют векторами или, точнее, радиус-векторами точек кривой или поверхности. Подоб­ ное векторное или графическое изображение и представление сле­ дует отличать от применения понятия векторной величины к свето­ вой величине, как это делается в теоретической физике, т. е. в соот­ ветствии с условиями векторного исчисления.

70