книги из ГПНТБ / Тиходеев П.М. Световые измерения в светотехнике (фотометрия)

II

(25. 15)

Сопоставляя выражения (25. 12) и (25. 15), нетрудно найти для одной и той же освещаемой точки:

что справедливо при оговоренных ранее условиях расположения светильника и поверхностей, на которых лежит точка.

2. Пусть теперь освещаемая поверхность (или касательная к не плоскость) также вертикальна, а угол (3 между нею и вертикальной

При этом по-прежнему

cos е = ——=^===-. (25. 18)

Рис. 25. 5.

Следовательно,

Данное выражение (25. 19), как видно, отличается от (25. 15)

Пусть перпендикуляр к освещаемой наклонной поверхности лежит в одной плоскости с вертикальной осью светильника и составляет угол а с горизонтальной поверхностью (рис. 25. 6 ). Угол падения

В и д о и з м е н е н и е о б щ е г о в ы р а ж е н и я Д л й

о с в е щ е н н о с т и . Ранее выведенное выражение (25. 7) можно видоизменить. На основании выражения (25. 12) освещенность Ег в точке В на горизонтальной поверхности XOY

р____ Ic'h______

г" (К а*НЬ-+А*)3 '

Это выражение показывает, что при вычислении освещенности наклонной поверхности можно частично воспользоваться данными для освещенности горизонтальной плоскости, которые имеются в виде

правилу косинусов). Требуется вычислить освещенность (dE) поверх­ ности (dS), находящейся на расстоянии / от поверхности dq. Линия, соединяющая обе поверхности, составляет углы е и г с перпендику­ лярами к светящейся и освещаемой поверхностям. По выражению (23. 4), освещенность (dE) равна:

52

Следовательно,

_ L-dq■cos e- cos i

(25. 24)

Это и есть общее выражение для освещенности, которым часто поль­ зуются при вычислениях ее от светящихся поверхностей конечных размеров.

Так как

где da — телесный угол, вершина которого опирается на середину освещаемой поверхности (dS), а образующая скользит по границе светящейся поверхности {dq), то

Пусть освещаемая поверхность dS окружена поверхностью полушара, центр которого совпадает с серединой площадки dS, а ось перпендикулярна к этой же площадке (рис. 25. 8 ); радиус шара равен единице. Тогда телесный угол da выделяет на поверхно­

ции поверхности, выделенной телесным углом (из полушара) на осно­ вание полушара (причем освещаемая поверхность лежит на этом основании). Этим представлением выражения (25. 26) иногда поль­ зуются для облегчения вычислений (см., например, п. 29), в частно­

заключается в следующем. Можно вообразить шаровую поверхность произвольного радиуса /0, которая соприкасается с освещаемой поверхностью dS (рис. 25. 9), так что плоскость, проходящая через dS, является касательной к этой шаровой поверхности. Далее вообра­ жается и вторая шаровая поверхность радиуса 2 10, описанная вокруг освещаемой поверхности, причем центр ее находится на dS.

53

о

Очевидно, t/ю измеряется отношением d ^ /4 /о, где dql есть площадь шара, выделяемая телесным углом из шаровой поверхности радиуса 2/„. Этот же телесный угол вырезает на поверхности малого шара (радиуса /0) площадь dQ. Нетрудно видеть, что

Задача теперь сведена к вычислению площади dQ или J dQ = Q на вспомогательной шаровой поверхности и к нахождению отноше­ ния ее к квадрату диаметра этого шара, или, что все равно, к отно­ шению площади шаровой поверхности, выделяемой телесным углом dсо (или со) из соприкасающегося шара, ко всей поверхности этого шара; последнее отношение умножается на я. Площадь шаровой поверх­ ности dQ (или Q) может вычисляться, например, по правилам сфери­

Из данного выражения явствует, что если имеются две идеально матовые поверхности, то они посылают друг к другу одинаковый световой поток. Это, очевидно, справедливо п для идеально матовых поверхностей конечных размеров. Изложенное положение иногда

рый упал бы от этой последней (S) на первую (q), если бы поверх­ ность S имела ту же яркость.

Если со светящейся поверхности q, имеющей яркость L , падает поток dFi на поверхность dS, то освещенность этой последней (Es) равна:

Если бы поверхность dS имела яркость Lq, то весь испускаемый (или отражаемый) ею поток d f s равнялся бы [по выражению (24. 9) ]:

dFs = я -Ly-dS,

?4

Пусть поверхность dS посылает на поверхность q световой поток

мая некоторой светящейся поверхностью (д), численно равна светиости (Hq) этой последней поверхности (<7), умноженной на отноше­ ние: потока (dF2), падающего с поверхности dS на поверхность q ко всему потоку (dFs), испускаемому ею (т. е. dS), если бы она была светящейся (или же равна яркости Lq освещающей ее поверхности, умноженной на я и на то же отношение потоков). Полученное выра­ жение (25. 30) представляет собою ранее найденное равенство (25. 26), видоизмененное в соответствии с выражениями (25. 27) и (25. 28).

Такой обратимостью можно пользоваться при расчетах осве­ щенности или яркости (см. пример в п. 29). Если бы поверхности были разных яркостей (Lq) и (Ls), то потоки, посылаемые одной поверхностью на другую, относились бы, как яркости посылающих поток поверхностей:

Весь световой поток», испускаемый поверхностью q при яркости Lq, равен:

Fq = n - L q-g\

а поверхностью S при яркости Ls:

Fs — n 'Ls-S.

Здесь q и 5 означают площади соответственных поверхностей. Отсюда

Деля почленно выражение (25. 31) на найденное отношение, полу­ чают:

F1 . _ _S_

(25. 32)

Fq Fs q

т. e. доли световых потоков, посылаемых одной поверхностью к дру­ гой, обратно пропорциональны размерам их площадей. Это действи­ тельно независимо от отношения яркостей обеих поверхностей. Следует обратить внимание, что при пользовании выражением (25. 32) для вогнутой поверхности под полным потоком (Fq и Fs)

55

надлежит понимать именно поток, отходящий от всех ее частей (а не от вогнутой поверхности в целом), т. е. включая и ту долю потока, которая затем вновь падает на эту же поверхность. Иными словами, надо строго придерживаться условии, на основании кото­ рых сделай вывод выражения (25. 32).

Если имеется замкнутая полость произвольного очертания, имеющая идеально матовую внутреннюю поверхность одинаковой яркости (рис. 25. 10), то световой поток, испускаемый некоторой

26. Взаимозаменяемые светящиеся поверхности. Если dq — часть светящейся внутренней поверхности шара (рис. 26. 1), имеющая яркость L, то освещенность (Е) в центре шара на поверхности, перпендикулярной к радиусу (/), проведенному в середину поверх­ ности dq, равна (на основании ранее изложенных соображений):

и если эта поверхность имеет преж-

нюю яркость L, то освещенность точки С сохраняется неизменной. Пусть теперь тот же телесный угол d со вырезает некоторую произволь­ ную поверхность dq2, имеющую яркость L. Освещенность (Е) от нее

поверхности dq2 на шаровую поверхность, описанную из точки С радиусом / 2. Очевидно, выражениеdq2-cos е//| можно рассматривать

как упоминавшийся выше телесный угол d со. Следовательно, осве­ щенность Е равна:

Е = L-d со,

как и от части шаровой поверхности,

55

Изложенное показывает, что освещенность точки С не зависит от вида освещающей ее поверхности, заключенной внутри телесного угла d (.о и от расстояния до нее. Предполагается, что освещающая поверхность является идеально матовой. Ясно, что данное положение справедливо и для поверхностей и телесных углов конечных раз­ меров.

27. Яркость цилиндра. Яркость шара. Пусть каждый элемент

поверхности цилиндра (рис. 27. 1) имеет одинаковую яркость; при этом поверхность является идеально матовой (п. 24). Цилиндр, сле­ довательно, представляется одинаково ярким по высоте и по ширине. Нити накаливания элек­ трических ламп часто такими и считают, что лишь приблизительно, а не вполне точно спра­

ведливо. Если высота светящегося цилиндра Ь, см | диаметр 2а и если сила света его в плоскости, перпендикулярной оси, равна /, то яркость L цилиндра, на основании предыдущих рассужде­

ний и выражения (11. 4), равна:

Рис. 27. 1.

<27Л)

так как проекция поверхности цилиндра на плоскость, перпенди­

тящегося шара имеет одинаковую яркость L и если при этом поверх­ ность является идеально матовой, то шар (как и цилиндр) пред­ ставляется одинаково ярким по всей своей поверхности (и как бы плос­ ким). Если сила света шара равна I, то яркость его L может быть

28. Освещенность от светящейся нити. Освещенность от полосы.

ние DF от АВ равно KN = d. Дтина DK = Ьх и длина KF = Ь2. Толщиною нити по сравнению с расстоянием ее от плоскости S пренебрегают, но учитывают диаметр нити 2а для вычисления силы

57

Освещенность dE в точке С от этого участка на основании выраже­ ния (25. 24) равна (при замене dq = 2a-dx):

В тех случаях, когда длина (b) светящейся нити невелика по сравне­ нию с расстоянием (/) до места, для которого вычисляется освещен­

ность, т. е. Ы2 ] / / 2 + d2 мало, можно принять:

Разложив в ряд и отбросив члены второго порядка малости, после упрощений получают приближенное выражение:

Для освещенности Ег от светящейся точки имели бы

„ L-2a-b 1

Член же

L-2a-b 6- + 12rf-

Р' 8/2

является как бы поправкой, дающей возможность учесть отступле­ ния от закона квадратов расстояний. Произведение яркости на пло­ щадь L -2а-Ь часто условно считается силой света светящейся нити.

Если надо вычислить освещенность от светящейся полосы, шири­ ною очень малой по сравнению с длиной, то можно воспользоваться

то надо еще ввести множителем (в числитель) косинус угла между этими плоскостями. Если ширина полосы значительна — надо при­ менять выражения, данные в п. 30.

29. Освещенность от светящегося круга, шара и полушара Круг q (рис. 29. 1) равномерно светится по всей площади с ярко­ стью L; радиус его -равен а. Требуется вычислить освещенность (Е) в точке С, лежащей па перпендикуляре, восстановленном из центра круга. При этом точка С лежит на плоскости S, параллельной кругу. Расстояние от С до центра круга равно /. Рассматривают сначала освещенность dE в точке С, которая получается от бесконечно узкого кольца, выделенного на круге; радиус кольца взятх и ширина его dx. Согласно выражению (25. 24)

dE — L •2я • х ■dx ■ - - ......... _ 1 .— —5-,

VP + x* ^Г- + д-а

так как

59

Это же выражение может быть получено по правилу обратимости. Для этого надо вычислить поток Fqs, который упадет на круг q с поверхности 5 при яркости ее L (или, что все равно, при светиостн ее„Я):

Здесь' Q — площадь поверхности шарового сегмента, радиус основания которого равен а, а ал — радиус шара (рис. 29. 2). По известным правилам

Q = 2я-о2 (1 — cos 2г0) = 4л -d*-sin2 iQ.

Следовательно,

Итак, имеется выражение для светового потока, который, со­ гласно положению об обратимости, падает с круга q на поверхность5. Чтобы определить освещенность поверхности 5, очевидно, надо зна­ чение светового потока Fos разделить на площадь поверхности S:

Es — О — л • L •sin2 i0 = Н sin2 i0,

т. е. получено выражение, в точности совпадающее с ранее найден­ ным. Этот способ вычислений в некоторых случаях оказывается более простым и наглядным.

Освещенность от круга в любой точке на как угодно расположен­ ной плоскости, но при том условии, что лучи света от всякой точки на круге попадают в освещаемую точку с одной стороны плоскости, может быть вычислена так. Начало координат помещается в центре

60