книги из ГПНТБ / Проектирование и расчет железнодорожного пути с учетом военных требований учебник

личные значения. Например, для рельсов на деревянных шпалах он бывает от 1 до 15 кг/см3 в летнее время и до 60 кг/см3 — зимой. При железобетонных шпалах коэффициент С может быть значи­ тельно выше.

Статический расчет верхнего строения пути

Рассмотрим расчет рельса как балки, лежащей на сплошном упругом основании. Балка шириной Ь0 на сплошном упругом осно­ вании 'находится под воздействием единичной вертикальной сосре­ доточенной силы Р (рис. 6.2). Момент инерции сечения балки обо­ значим через I, модуль упругости — Е.

Выберем систему координат так, чтобы направление силы Р ^проходило через начало координат. За положительную ось X при­ мем правую часть продольной оси неизогнутой балки; ось У будем считать положительной при направлении ее вниз.

- При выбранной системе координат изгибающий момент М счи-

1

таем положительным, если он вращает сечение балки против ча­ совой стрелки от левых сил, т. е. создает изгиб оси балки выпук­ лостью в сторону отрицательных ординат.

Дифференциальное уравнение упругой линии балки, как из­ вестно из строительной механики, имеет вид

М1_

~ЁТ Р

где р—радиус кривизны упругой линии в точке, в которой дей­ ствует изгибающий момент М.

370

Обозначив поперечную силу через Q, а интенсивность реактив­

ного погонного отпора через q (рис. 6.3), по теореме Журавского имеем:

Значение q можно выразить также через модуль упругости рельсового основания и, имея в виду, что

q = —Cy, b0— — иу.

Тогда

i = + E I % ? = - * » ■

Отсюда получим дифференциальное уравнение изогнутой оси

где k — коэффициент относительной жесткости рельсового основа­ ния и рельса.

Интегрируя дифференциальное уравнение (6.5), получим у = Ctekx cos kx-\- C2ekxsin kx-]- Cze~kxcos kx - f Q r ^ s in kx.

Постоянные интегрирования Съ C2, C3, Ci определяются, ис­ ходя-из граничных условий.

171

е~кх, получим

у= (Cscos kx -f- C4sin йх).

2.При л = 0, у' = 0

у' = — ke~kx[Cs(cos йх-р sin йх) — С4 (соэйх—sin kx)] = 0 ;

—k (C3—C4) = 0; C3- C 4= 0 иСз = С4= С.

Подставляя найденные величины в предыдущую формулу, имеем

J2 EI ■

3.Последовательно дифференцируя уравнение (6.7), получаем.

у1— — 2 k Се~кх sin йх;

у11= 2 k2Ce~kx{sin kx — cos kx)-,

y111= 4kzCe~kxcos kx.

172

Подставив значение С в уравнение (6.7), получим

Подставим £Y в уравнение (6 .8),

(cosAx+sin£x).

У = 2 и е

Это выражение представляет собой уравнение изогнутой оси рельса. Известно, что М = — Ely11. Если сюда подставить вто­ рую производную от у и значение EI, то получим

Р

М = — £_<ar(cos k x —sinkx).

Обозначив

g-/t.r(cos kX -[- Sin kx) — [X;

Реактивный отпор балки на оплошном упругом основания на единицу длины в любом сечении будет

Pk

g = — й у = _ — 1|.

173

При переходе от балки на сплошном упругом основании к рель­ су, лежащему на шпалах, следует иметь в виду, что отпор сосре­ доточивается на шпалах, поэтому давление Q на шпалу будет равно

Q = ql= uyl

Pk

2 и

Эпюры М, Q и у приведены на рис. 6.5. При этом эпюры Q и у показаны одной и той же кривой в разных масштабах.

Рис. 6.5. Эпюры изгибающих моментов, поперечных сил и прогибов:

а — эпюра моментов М \ б — эпюра поперечных сил и прогибов Q , у.

Если принять Р = 1, то эпюры М, Q и у от единичной силы, на основании теоремы о взаимности перемещений, будут одновре­ менно и линиями влияния.

174

При воздействии на элементы пути системы грузов, имеем:

зами, заменяющими действие системы колес, смежных с расчет­ ным. Влияние колес, отстоящих более чем на 3 м от расчетного се­ чения, практически столь незначительно, что им обычно пренебре­ гают.

Кроме того, следует иметь в виду, что колеса, смежные с рас­ четным, находятся, как правило, в отрицательных участках линии влияния р (рис. 6 .6 ) и оказывают разгружающее действие при ош

Рис. 6.6. Схема загружения рельса как балки на сплошном упругом основании.

ределении изгибающего момента. Однако те же колеса увеличи­ вают величину поперечной силы и прогиба рельса под расчетной нагрузкой Р.

По значениям изгибающего момента М нормальные напряже­ ния от изгиба в сечении балки можно определить по формуле

Применительно к статическому расчету рельса как балки на сплошном упругом основании эту формулу можно записать иначе

а = ^ (Per —f~ S P Pep) K2/CM2,

где S p PCp— эквивалентный груз, учитывающий воздействие на рельс колес, смежных с расчетным.

175

Величина напряжений на шпале под подкладкой и на балласте под шпалой определяется значением поперечной силы Q. На осно­ вании уравнения (6.9) величина поперечной силы под расчетным колесом экипажа равняется

Ы

Q = ~2 ~ (рст+ У] Рср кг.

При расчете верхнего строения железнодорожного пути стан­ дартные деревянные шпалы, прочность которых доказана много­ летним эксплуатационным опытом, проверяются только на смятие под подкладками

‘ИЛИ

где ш — площадь подкладки, смг; [а]ш—допускаемое напряжение на смятие древесины поперек

волокон;

I — расстояние между осями шпал.

Нагрузка от подвижного состава через рельсы и шпалы пере­ дается на балласт и земляное полотно. Усилия, воспринимаемые шпалой, распределяются по балласту неравномерно. Наибольшее давление балластный слой получает в подрельсовом сечении. Если вертикальную силу, передаваемую через рельс на шпалу, выразить через Q, то величину напряжения в балласте под шпа­ лой можно определить по формуле

Напряжения в балластном слое изменяются по нелинейному закону. На графике (рис. 6.7) представлена эмпирическая зависи­ мость изменения напряжений -по глубине балластного слоя. Дан­

176

ные получены в результате экспериментальных исследований, про­ веденных в ЦНИИ МПС.

Вычисление напряжений на основной площадке земляного по­ лотна можно выполнить, пользуясь методами теории упругости. Однако получаемые формулы громоздки и непригодны для опера­ тивных' расчетов. Кроме того, теория упругости дает решения

на основной площадке земляного полотна необходимо учитывать повторяемость приложения нагруз­ ки. Вагонная нагрузка может вызвать большую деформацию, чем разовое приложение более значительной локомотивной нагрузки. Поэтому за расчетную принимается вагонная нагрузка.

‘ Расчет рельса как балки на многих равноупругих опорах не дает в конечном итоге простых и удобных для практического при­ менения формул, как это имеет место при рассмотрении рельса в виде балки на сплошном упругом основании.

Однако этот метод может иметь самостоятельное значение в тех случаях, когда в процессе восстановления железных дорог возни­ кает необходимость расчета прочности пути при увеличении междушиальных расстояний.

При пользовании методом равноупругих опор следует соста­ вить и решить систему из 3 п -j- 3 уравнений, где п —число опор.

Расчеты рельса как балки, лежащей на многих упругих опорах, очень упростились после того, как проф. В. В. Григорьев в 1928— 1930 гг. построил линии влияния и вычислил таблицы к ним, даю­ щие возможность сравнительно просто и быстро определять изги­ бающие моменты и опорные давления. Им был разработан метод расчета неразрезных балок, лежащих на многих упругих опорах, с использованием принципа Максвелла о взаимности перемещений.

Проф. В. В. Григорьев показал, что расстояние от исследуемого' сечения рельса, на котором влияние груза, стоящего на рельсе, становится ничтожно малым, равно 5— 6 междушпальным проме­ жуткам. Поэтому при теоретическом расчете напряжений в рельсе им принято число опор расчетного участка п = 12 при определении изгибающего момента, и « = 1 0 — при определении величины по­ перечной силы. Соответствующие линии влияния подобны линиям влияния, полученным при расчете рельса как балки на сплошном упругом основании, и отличаются от последних лишь значениями ординат.

стика опоры.

Упругой характеристикой опоры называется коэффициент про­ порциональности между действующей на опору силой Р и вызы­ ваемой ею упругой осадкой опоры у р

д —

Ур

Численно эта величина равна силе, которую необходимо при­ ложить к опоре, чтобы вызвать ее осадку на единицу длины.

Условием равновесия вертикальных сил и вертикальной реак­ ции основания является

178

2— площадь шпалы;

С— коэффициент постели шпалы.

Схема упругой осадки шпал представлена на рис. 6 .8 .

Рис. 6.8. Схема упругой осадки шпал:

а — железобетонная шпала; б - деревянная шпала, у — осадка в под­

рельсовом сечении.

Коэффициентом изгиба шпалы а называется отношение средч ней осадки к осадке в подрельсовом сечении

р

Для расчета рельса как балки на отдельных упругих опорах

При известных ординатах р и ц значения изгибающего момен­ та М, поперечной силы Q и прогиба у при использовании метода расчета рельса как балки на многих равноупругих опорах опреде­ ляются по формулам:

М = 1'£ Р к

Q = yPrr,

0_ у- D