книги из ГПНТБ / Шляпоберский В.И. Элементы дискретных систем связи

Из приведенного примера видно, что при переходе от системы счисления с большим основанием к системе счисления с меньшим основанием количество разрядов числа возрастает. Так, в деся­ тичной системе число 125 трехразрядное, а в двоичной—семи­ разрядное.

Для определения количества разрядов искомого числа в новой системе счисления воспользуемся известным соотношением, со­ гласно которому, используя п разрядов при любом основании R, максимально можно образовать А различных чисел, где

Очевидно, что для выражения А чисел в любой другой системе счисления с основанием Q необходимо использовать т разрядов, чтобы

Q"1> А,

или

Поэтому для выражения наибольшего двухразрядного числа десятичной системы 99 в двоичной форме требуется семь двоич­

10

Предположим, что при преобразовании последовательности пе­ редаваемых символов в последовательность чисел используются не десятичные (2.1), а двоичные числа:

чисел достаточно уметь передавать и принимать всего лишь две цифры 0 и 1, что не представляет трудности.

Например, цифра 0 может передаваться электрическими коле­ баниями с частотой / ь а цифра 1 электрическими колебаниями

с Частотой /г- Благодаря этой особенности двоичная система счисления ис­

пользуется в большинстве современных дискретных систем связи при преобразовании информационных символов (знаков) в их численное выражение.

Процесс преобразования информационных символов в соот­ ветствующие им числа называется кодированием. При этом после­ довательность информационных символов обычно называют пер­ вичным алфавитом, а соответствующие им численные выражения вторичным алфавитом, или кодом.

Основные определения и классификация кодов

К основным определениям относятся такие понятия, как кодо­ вая комбинация, элемент и элементарный импульс.

Совокупность двоичных цифр (нулей и единиц), образующих двоичное число, соответствующее какому-либо информационному символу, называется кодовой комбинацией.

Под элементом понимают одну двоичную цифру (0 илй 1), входящую в кодовую комбинацию. Так, например, кодовая ком­ бинация символа а» (2.9) состоит из четырех элементов.

Под элементарным импульсом будем понимать электрический сигнал, передаваемый в течение определенного отрезка времени и соответствующий одному элементу кодовой комбинации.

Длительность передачи одного элемента будем обозначать бук­ вой /о-

Классификацию различных кодов целесообразно вести по сле­ дующим признакам.

В зависимости от системы счисления, используемой при пре­ образовании первичного алфавита во вторичный, различают двух­ позиционные и многопозиционные коды. К первым относятся все коды, использующие двоичную систему счисления. К многопози­ ционным относятся все коды, число позиций которых больше двух.

По степени помехозащищенности коды делятся на обыкновен­ ные и корректирующие. В свою очередь обыкновенные коды де­ лятся на равномерные и неравномерные, а корректирующие — на

11

коды с обнаружением ошибок и коды с обнаружением и исправ­ лением ошибок.

По экономичности, т. е. по среднему числу элементов, исполь­ зуемых для передачи одного символа, коды делятся на оптималь­ ные и неоптимальные.

§ 2. ОБЫКНОВЕННЫЕ КОДЫ

Коды, у которых все возможные комбинации, образуемые из данного числа элементов, используются для передачи информа­ ции, называются обыкновенными.

В обыкновенных равномерных кодах превращение одного эле­ мента комбинации в другой, например 1 в 0 или 0 в 1, приводит к появлению новой комбинации, а следовательно, к приему оши­ бочной информации.

Рассмотрим несколько наиболее распространенных обыкновен­ ных кодов.

в табл. 1 и содержащих меньше 5 элемен­ тов, добавляют слева столько нулей, сколько необходимо для полу­ чения пятиэлементных комбинаций.

После указанных преобразований все 32 комбинации табл. 1 будут содержать по 5 элементов. Такой код называется равномер­ ным пятиэлементным.

12

На рис. 3 приведены примеры нескольких кодовых комбинаций пятиэлементного равномерного кода для случая, когда единица

равно 5^о- Аналогичным образом строится шестиэлементный равномер­

ный код, который позволяет получить 26 = 64 различные комби­ нации.

Применение равномерных кодов позволяет сравнительно про­ сто строить передающие и приемные устройства автоматизирован­ ных дискретных систем связи.

При передаче любой дискретной информации по реальным ка­ налам связи всегда теряется некоторая часть информации из-за влияния помех. Так в случае применения обыкновенных двоичных кодов под влиянием помех на месте единицы может появиться нуль или наоборот. Это приводит к регистрации в месте приема другой используемой комбинации, а следовательно, к приему дру­ гого знака.

Степень воздействия помех на передаваемую кодированную

происходят независимо друг от друга. Тогда по теореме умноже­

* Под положительным импульсом понимают импульс постоянного тока, по­ являющийся в цепи при подключении к ней источника с заземленным отрицатель­ ным полюсом. Изменение полярности источника приводит к изменению направ­ ления тока в цепи, т. е. к передаче отрицательного импульса.

13

Изложенный принцип построения кода поясняют приведенные на рис. 5 примеры нескольких кодовых комбинаций, на которых 1 передается токовым импульсом, а 0 — бестоковым.

Из рисунка видно, что время, необходимое для передачи каж­ дого знака, неодинаково. Самая короткая комбинация в коде (буква Е) по продолжительности равна 4/0, а самая длинная — 2210 (цифра 0). В среднем при передаче кодом Морзе требуется около 9,5 элементарных импульсов на знак (с учетом структуры русского языка). Данная величина характеризует экономичность кода.

Сопоставляя код Морзе с равномерными кодами, видим, что он примерно в полтора раза менее экономичен, чем шестиэлемент­ ный код, и в этом один из его недостатков.

К положительным свойствам этого кода следует отнести вы­ сокую помехоустойчивость и возможность приема на слух, благо­ даря чему он находит широкое применение в радиосвязи.

Высокая помехоустойчивость кода Морзе обусловлена в основ­ ном тем, что при приеме на слух процесс преобразования сигнала в сообщение осуществляется человеком, который при достаточном опыте может различать сигналы, значительно пораженные поме­ хами.

§ 3. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КОРРЕКТИРУЮЩИХ КОДОВ

Для повышения достоверности приема дискретной информа­ ции применяются корректирующие (помехозащищенные) коды.

Идея построения корректирующих кодов состоит в том, что из

нии С элементов одна используемая комбинация не превращалась

15

в другую. Соотношение между S и А зависит от того, каковы тре­ бования к помехозащищенности кода.

Таким образом, помехозащищенность корректирующих кодов обусловлена введением в код избыточности.

Как указывалось выше, корректирующие коды делятся на коды с обнаружением ошибок и коды с обнаружением и исправ­ лением ошибок. Причем в зависимости от количества обнаружи­ ваемых (исправляемых) ошибок корректирующие коды делятся на коды с обнаружением одиночной, двойной, тройной и т.д. оши­ бок. Заметим, что исправление более двух ошибок усложняет ко­ допреобразующие устройства и снижает экономичность кода.

Очевидно, что коды, имеющие большую избыточность, обла­ дают и большей помехоустойчивостью. Однако использование та­ ких кодов должно быть экономически оправдано. В каналах связи с невысоким уровнем помех можно применять коды, исправ­ ляющие, например, все ошибки вплоть до тройных. Но появление в таких каналах тройных и даже двойных ошибок будет на­ столько редким явлением, что искажения, обусловленные ими, практически несущественно скажутся на качестве связи, поэтому целесообразнее применить код с меньшей избыточностью, исправ­ ляющий, например, одиночные ошибки. Это позволит увеличить пропускную способность системы связи и упростить кодопреобра­ зующие устройства.

В настоящее время известно большое количество различных корректирующих кодов.

Для оценки экономичности и эффективности кодов с обнару­ жением ошибок введем понятие коэффициента избыточности Ктб и коэффициента обнаружения К0бп-

Коэффициент избыточности кода определяется по формуле

зуются определяемым теоретически или экспериментально коэф­ фициентом обнаружения ошибок.

в которых не поддается обнаружению.

Прежде чем перейти к рассмотрению особенностей построения корректирующих кодов на конкретных примерах, введем понятие кодового расстояния d.

16

§ 4. КОДЫ С ОБНАРУЖЕНИЕМ ОШИБОК

При построении кода, обнаруживающего одну ошибку, необхо­ димо использовать только такие комбинации, для которых d = 2.

Нетрудно показать, что если общее количество возможных ко­ довых комбинаций А = 2п, то количество комбинаций, отличаю­ щихся друг от друга на две позиции, S = 2n_1.

Поясним принцип обнаружения ошибки на примере трехэле­ ментного кода.

Выберем из восьми возможных комбинаций четыре, отличаю­ щиеся одна от другой на две позиции: 001, 010, 100, 111. Теперь предположим, что в комбинации 010 первый элемент исказился и она принята как 110. Эта комбинация отличается от используе­ мых (001, 100 и 111) всего на одну позицию, что свидетельствует о приеме искаженной комбинации. При этом неправильной реги­

Код с четным числом единиц образуется путем добавления к комбинации m-элементного кода одного элемента, чтобы коли­ чество всех единиц в новом (т + 1 ) разрядном числе было четным.

Такой код позволяет обнаружить нечетное число ошибочно принятых элементов, т. е. появление или пропадание нечетного числа единиц. Четное количество пропавших или появившихся единиц не обнаруживается.

Коэффициент избыточности кода, подсчитанный по формуле

(2.12), равен

т

т + 1 •

Коэффициент обнаружения /Собп можно подсчитать, если из­ вестна вероятность искажения элемента ра.

Согласно биноминальному закону распределения теории веро­ ятностей, вероятность I кратной ошибки в кодовой комбинации, состоящей из п элементов, равна

где <7 = 1 — рэ.

Вероятность правильности приема комбинации

Риа — Чп (полагая / = 0).

Вероятность обнаруживаемой ошибки будет равна сумме ве­ роятностей появления нечетного числа ошибок (одиночной, трой­ ной и т. д.):

Вероятность всех ошибок как обнаруживаемых, так и необнаруживаемых равна

Р0ш = 1 — яп-

При передаче достаточно большого числа комбинаций Q можно считать, что количество комбинаций, ошибки в которых

несправедливо, поэтому реальный коэффициент обнаружения оши­ бок кодов, построенных по принципу добавления одного элемента, будет ниже расчетного.

Если необходимое число передаваемых комбинаций равно 32 (25), то простейший обнаруживающий ошибку код будет со­ стоять из шести элементов (рис. 6). При этом будут обнаружи­ ваться все одиночные, тройные и пятерные ошибки. Согласно (2.16) коэффициент обнаружения шестиэлементного кода

С \р эЧЪ

Коба'

18

Основываясь на ряде экспериментальных данных, можно При­ пять, что для шестиэлементного кода К0бп = 0,795. Как видно, ко­ эффициент обнаружения кода невелик — 20% искаженных кодо­ вых комбинаций не обнаруживаются.

Коды с постоянным числом единиц и нулей в комбинациях

Типичным примером кодов с постоянным числом единиц и ну­ лей в комбинациях является семиэлементный код с отношением единиц и нулей 3/4, т, е. код, каждая комбинация которого содер­ жит три единицы и четыре нуля (рис. 7). При таком соотношении единиц и нулей в семиэлементном коде мож­

одна из единиц переходит в нуль, а один из нулей в единицу. Искажение такого вида называется смещением.

Очевидно, что при переходе двух единиц в нуль и двух нулей в еди­ ницу искажения также не обнаруживаются.

Однако вероятность появления необнаруживаемых ошибок весьма мала.

Согласно (2.14) вероятность ошибочного приема одной из трех единиц равна C\p9q2, а вероятность ошибочного приема одного

из четырех нулей — Cip3q .

Если пренебречь весьма малой вероятностью того, что будут

Эта зависимость изображена графически на рис. 4, из кото­ рого видно, насколько рассматриваемый код повышает надеж­