книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления

310 Г Л . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

поведение исследуемой системы описывается системой дифферен­ циальных уравнений порядка п, то в систему уравнений (7.7.16) будут входить п уравнений для дисперсий и п (п — 1)/2 уравнений для корреляционных моментов выходных сигналов (Ѳ^ = Ѳ;-г). Следовательно, порядок системы уравнений (7.7.16) будет равен

N = п + п (п — 1)/2 = п (п + 1)/2. В таблице 7.7.1 приведена зависимость порядка системы дифференциальных уравнений для дисперсий и корреляционных моментов выходных сигналов от порядка исходной системы.

Следовательно, изложенным методом целесообразно пользо­ ваться, только если порядок исходной системы невысок. В про­ тивном случае следует пользоваться одним из общих методов, описанных в § 7.2.

Если исследуемая система и белые шумы на ее входах стацио­ нарны, то для определения установившихся значений дисперсий и корреляционных моментов выходных сигналов следует в системе

дифференциальных уравнений (7.7.16) положить Ѳ,;- = 0. Тогда искомые характеристики точности работы системы определятся из системы линейных алгебраических уравнений

Заметим, что изложенный метод пригоден и в случае, когда входные сигналы не являются белыми шумами, но могут быть пред­ ставлены в виде преобразования белых шумов некоторой линейной системой — формирующим фильтром,—описываемой системой обык­ новенных дифференциальных уравнений конечного порядка. В этом случае к дифференциальным уравнениям, описывающим автоматическую систему, следует добавить дифференциальные уравнения, описывающие формирующий фильтр. При этом надо помнить, что заданный случайный процесс на выходе формирую­ щего фильтра практически всегда устанавливается лишь после затухания переходного процесса в нем. Поэтому дифференциаль­ ные уравнения для моментов выходных переменных формирующего фильтра следует начинать интегрировать раньше, чем уравнения для моментов выходных сигналов исследуемой системы и их кор­ реляционных моментов с выходными сигналами формирующего фильтра. И лишь спустя некоторое время, превосходящее время

переходных процессов в формирующем фильтре, можно начинать совместное интегрирование всех уравнений.

Если входной случайный сигнал системы стационарен, то фор­ мирующий фильтр и действующий на него белый шум стационарны. В этом случае дифференциальные уравнения для моментов выход­ ных сигналов формирующего фильтра в установившемся режиме превращаются в алебраические. Определив из этих уравнений моменты выходных сигналов формирующего фильтра, можно подставить их в дифференциальные уравнения для остальных мо­ ментов.

П р и м е р 7.7.1. Определить дисперсию на выходе системы, описывае­ мой дифференциальным уравнением первого порядка

которой равно нулю, а спектральная плотность и корреляционная функция определяются формулами (7.6.32). Начальное значение У при t = 0 является случайной величиной с нулевым математическим ожиданием и известной дис­ персией Dy (0).

В примере 7.6.2 показано, что случайную функцию X (t) можно рас­ сматривать как результат бесконечно долгого действия белого шума еди­ ничной интенсивности на апериодическое звено с постоянной времени Т = 1/а

и коэффициентом усиления К — ~\/2DІа.. Следовательно, случайная функ­

ция X (t) связана с белым шумом V единичной интенсивности дифферен­ циальным уравнением

Y<= - a ( t ) У Н -У 2,

Так как вследствие стационарности X (t) нас интересует только установив­ шееся значение дисперсии случайной функции на выходе формирующего

фильтра, то в последнем уравнении нужно положить Ѳ22 = 0, после jiero получим, как и следовало ожидать, Ѳ22 = D. Первые два уравнения (7.7.23)

312 гл. 7.МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ТОЧНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

при этом примут вид

Ѳи — — 2а, (t) -f- 20J2,

(7.7.24)

012= — [я (t) -}- a]012+ D.

Эту систему уравнений следует проинтегрировать при начальных условиях Ѳц (0) = Du (0), Ѳ12 (0) = 0. Дисперсией на выходе рассматриваемой системы является величина Ѳц. Если коэффициент а (t) не зависит от времени, а (t) = a ,

и требуется определить установившееся значение Ѳц, то, полагая Ѳц = Ѳі2 =

=0, получаем два алгебраических уравнения

—2аѲц + 2Ѳі2 — 0, I

(7.7.25)

— (а -\~с£) 012 D = 0. J

Решая эти уравнения, получаем установившееся значение дисперсии выход­ ной переменной системы:

Г л а в а 8

ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

§ 8.1. Основные свойства нелинейных систем

Согласно данному в § 1.4 определению нелинейной системой на­ зывается динамическая система, для которой не выполняется принцип суперпозиции. Система является нелинейной при нали­ чии в ней хотя бы одного элемента, для которого не выполняется принцип суперпозиции. Из этого определяющего свойства нели­ нейных систем вытекают другие присущие им характерные черты, связанные с тем, что процессы в нелинейных системах и собствен­ ные их движения гораздо разнообразнее и сложнее процессов и движений в линейных системах. Так, в нелинейных системах возможны без внешних возмущений устойчивые колебания опре­ деленной амплитуды и частоты, называемые обычно автоколеба­ ниями. Такие режимы невозможны в линейных системах. Система может иметь несколько различных видов устойчивых периодиче­ ских процессов с разными частотами и соответствующими вполне определенными амплитудами. Такие режимы нелинейной системы являются результатом внутренних нелинейных свойств элементов системы. Появление и установление того или иного вида периоди­ ческого режима зависит от начальных условий. Таким образом, в отличие от линейных систем, в нелинейной системе сам характер собственных движений (колебания, затухающие колебания, рас­ ходящиеся колебания, апериодический процесс) зависит от началь­ ных условий. Одна и та же система при различных начальных условиях может совершать различные по своему характеру движе­ ния. Так, например, если маятнику в состоянии покоя сообщить в некоторый начальный момент толчок, т. е. начальную скорость, то при достаточно малой начальной скорости он будет совершать

ной системе могут наблюдаться особые случаи резонанса, несвой­ ственные линейным системам и характеризующиеся неоднознач­ ной зависимостью амплитуды вынужденных колебаний от часто­ ты. Резонанс в нелинейной системе возможен и на дробной частоте, т. е. на частоте, равной некоторой доле частоты входного воз­ мущения. Наконец, некоторым нелинейным системам свойственны

314 Г Л . 8. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

явления параметрического возбуждения и резонанса, заключаю­ щиеся в том, что в системе возникают колебания при периодиче­ ском изменении какого-либо ее параметра.

Особые свойства нелинейных систем широко используются в технике. На этих свойствах основано генерирование электро­ магнитных колебаний, выпрямление переменного тока, умножение и деление частот и другие процессы. Существует большое число нелинейных автоматических систем, в которых рационально ис­ пользуются нелинейные характеристики отдельных элементов и на этой основе получаются хорошие практические результаты. По динамическим качествам нелинейные автоматические системы во многих случаях превосходят линейные системы.

Однако в некоторых случаях нелинейности характеристик являются вредными факторами. Их надо либо устранять, либо выбирать режимы работы таким образом, чтобы нелинейности не оказывали существенного влияния на процессы в системе.

Особенности поведения нелинейных систем и многообразие процессов в них создают трудности точного их математического описания и теоретического изучения. Несмотря на это, задачи исследования нелинейных систем, несравненно более трудные, чем задачи исследования линейных систем, постепенно приобрета­ ют в современной технике все более актуальное значение. Можно выделить две основные проблемы теории нелинейных систем.

Первая проблема — исследование влияния нелинейностей ха­ рактеристик некоторых реальных элементов на процессы в сис­ темах, которые в основном являются линейными и проектируются как линейные. В этих случаях наличие нелинейных зависимостей изменяет только количественные характеристики процессов в сис­ темах. Необходимо учесть их влияние или спроектировать систе­ му так, чтобы процессы в ней не выходили из границ линейности характеристик элементов.

Вторая проблема — исследование принципиально нелинейных систем, имеющих в своем составе нелинейные элементы, которые определяют характерные особенности динамических процессов

втаких системах. Эта проблема включает задачи анализа процессов

внелинейных системах и синтеза систем, обладающих заданными

динамическими характеристиками.

§ 8.2. Типовые нелинейности автоматических систем

Реальные элементы автоматических систем, строго говоря, в большинстве случаев нелинейны, и лишь в известных пределах можно считать их линейными. Так, например, закон Ома дает линейную зависимость падения напряжения на сопротивлении от тока. Однако в действительности сопротивление проводника зави­ сит от его температуры, которая в свою очередь зависит от протека­

ющего по проводнику тока. Вследствие этого зависимость падения напряжения от тока получается значительно более сложной и совсем не линейной. И лишь при допущении, что ток изменяется в достаточно малом диапазоне, чтобы можно было пренебречь изменением сопротивления, можно принять зависимость падения напряжения от тока в проводнике линейной. Точно так же, как мы видели в § 3.2, зависимость напряжения на выходе потенцио­ метра от перемещения движка лишь приближенно можно считать линейной. И даже более точная нелинейная зависимость, получен­ ная в § 3.2, является идеализированной и вследствие этого при­ ближенной. В действительности напряжение на выходе потенцио­ метра мало изменяется при перемещении движка до тех пор, пока имеется контакт движка с данным витком, и быстро изменяется при разрыве контакта с данным витком и входе движка в контакт с новым витком. Вследствие этого действительная зависимость напряжения на выходе потенциометра от перемещения движка близка к ступенчатой кривой, и лишь при достаточно малой тол­ щине проволоки можно пренебречь зубцами и считать эту кривую плавной, как это было сделано в § 3.2.

Таким образом, практически любая автоматическая система является нелинейной и лишь приближенно может считаться линей­ ной. Однако нелинейности такого характера оказывают пренебре­ жимо малое влияние на свойства системы, вследствие чего теория линейных систем, изложенная в предыдущих главах, дает хоро­ шие результаты в применении к практическим задачам.

Как было отмечено в предыдущем параграфе, в состав автомати­ ческих систем часто входят существенно нелинейные элементы, которые существенно изменяют характер системы и придают ей такие свойства, которые никак не могут быть исследованы в рамках линейной теории. Среди нелинейных элементов автоматических систем особую роль играют так называемые безынерционные нели­ нейности, не обладающие заметным запаздыванием. Мы будем называть элементарным безынерционным звеном любую систему,

выходная переменная которой в каждый данный момент времени зависит только от значения входной переменной в тот же момент времени и не зависит от того, как изменяется входная переменная до данного момента. Таким образом, оператором элементарного безынерционного звена является обычная функциональная зависи­ мость между входной и выходной переменными. Эта функциональ­ ная зависимость называется характеристикой элементарного безынерционного звена.

Очевидно, что безынерционные усилители, входящие в состав линейных систем, являются элементарными безынерционными звеньями с линейными характеристиками.

В задачах практики обычно всегда удается все нелинейные свойства системы отнести к безынерционным звеньям, т. е. считать

316 Г Л . 8. Х А РА К ТЕ РИ С ТИ К И Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ

с достаточной точностью любую систему состоящей из ряда линей­ ных систем и элементарных нелинейных безынерционных звеньев, соединенных различными связями.

Характеристики элементарных нелинейных звеньев можно разделить на слабые нелинейности и существенные нелинейности.

К первой группе относятся такие нелинейные характеристики, которые при малом диапазоне изменения входного сигнала или при малом его отклонении от изме­ няющегося среднего значения могут быть заменены линейными. Отклоне­ ние от линейной зависимости между входным и выходным сигналами у таких элементов объясняется влия­ нием особенностей их устройства, естественным ограничением мощности источников энергии или насыщением.

Такие характеристики можно аппро­ ксимировать полиномами или выра­ зить через однозначные аналитические функции. На рис. 8.2.1 приведена типовая характеристика усилителя

с насыщением. Насыщение наступает постепенно при больших значениях входного сигнала х. Такая зависимость может быть при­ ближенно аппроксимирована нечетным полиномом невысокой сте­ пени или какой-нибудь другой дифференцируемой функцией, например линейной комбинацией сину­ сов. Наличие подобных нелинейностей в системе часто мало сказывается на ее динамике, а именно при малых значе­ ниях входных сигналов таких нелиней­ ностей система ведет себя как линейная и только при больших входных сигналах проявляются ее нелинейные свойства, которые необходимо учитывать.

Ко второй группе относятся нели­ нейные характеристики, которые явля­ ются существенно нелинейными функ­ циями, например разрывными или близ­ кими к разрывным. Зависимость между

входной и выходной переменными для таких элементов чаще всего может быть приближенно представлена в виде кусочно-линейных функций. Пример типовой существенно нелинейной характеристи­ ки приведен на рис. 8.2.2.

Нелинейности второй группы чрезвычайно разнообразны, а эле­ менты с такими характеристиками имеют широкое применение в автоматических системах. Преобразование любого входного

сигнала этими нелинейными элементами всегда нелинейное. Типо­ вые характеристики элементарных нелинейных звеньев приведены в приложении 5. Там же приведены формулы, показывающие зависимость выходной переменной у от входной переменной х. Для некоторых нелинейных звеньев выходная переменная у зави­ сит не только от значения входной переменной х, но и от направ­

ления ее изменения, т. е. от знака скорости х. Характеристики таких звеньев оказываются неоднозначными функциями входной переменной х.

Мы будем обозначать характеристику любого элементарного

Однако каждый раз будем оговаривать, однозначна или неодноз­ начна эта нелинейность или будем указывать в числе аргументов

функции ф величину sgn х.

Нелинейности 1, 2, 3, 4 в приложении 5 характерны для раз­ личных усилителей. Нелинейность 5 характерна для устройств специального типа, применяемых для форсирования управляюще­ го сигнала при больших рассогласованиях. Нелинейности 5 и 6 являются идеализированными характеристиками многих электро­ магнитных приборов и других устройств. Характеристики 7, 8 и 13 являются неоднозначными. Характеристика 7 типична для трехпозиционных, а характеристика 8 типична для двухпозици­ онных переключающих элементов. Нелинейность 13 характеризует обычно зависимость между входным и выходным сигналами в механических передачах. Нелинейности 9, 10, 11 характеризуют работу различных радиотехнических элементов, выпрямителей или других устройств, обеспечивающих выпрямление или функци­ ональное нелинейное преобразование сигнала. Характеристика 12 типична для обыкновенного электромагнита или двигателя нерегулируемой тяги.

Следует отметить, что приведенные в приложении 5 типовые нелинейности характеризуют не только названные элементы. Одна

ита же нелинейность может выражать зависимость между входным

ивыходным сигналами для ряда типовых нелинейных элементов,

основанных на различных физических принципах. Иными слова­ ми, одна и та же нелинейность может характеризовать функцио­ нальные свойства различных реальных элементов. Пользуясь характеристиками нелинейных звеньев, можно определить выход­

ную переменную звена, если входная переменная задана как функция времени.

Однако при теоретических, а иногда и при экспериментальных исследованиях нелинейных систем не всегда удобно пользоваться реальными характеристиками нелинейных звеньев. Во многих случаях возможно и целесообразно заменить реальные нелиней­

ности некоторыми приближенными (в некотором смысле экви­ валентными) зависимостями между входной и выходной перемен­ ными. Особенно широкое распространение получили различные методы линеаризации нелинейностей, основанные на замене дей­ ствительных зависимостей между входными и выходными перемен­ ными приближенными линейными зависимостями. При этом, само собой разумеется, линеаризацию необходимо производить так, чтобы учесть хотя бы приближенно, в среднем нелинейные свойства элементов (т. е. чтобы для линеаризованных элементов не выполнялся принцип суперпозиции).

§ 8.3. Линеаризация нелинейных характеристик путем разложения в ряд

Во многих практических задачах изменение входного сигнала нелинейного звена бывает настолько малым, что нелинейная характеристика в пределах изменения входного сигнала может быть приближенно заменена линейной.

Линеаризация нелинейности состоит в замене характеристики нелинейного звена приближенной линейной зависи­ мостью, определяемой первыми членами разложения характеристики в ряд Тей­ лора. Это можно сделать только для однозначных дифференцируемых функ­ ций ф (X).

Пусть нелинейная характеристика Ф (х) является дифференцируемой функ­ цией. Если входной сигнал х нелиней­ ного звена мало отклоняется от неко­ торого среднего значения х0, то, при­ меняя формулу Тейлора и отбрасывая

остаточный член выше первого порядка относительно Ах = х — х 0,

Замена нелинейной зависимости (8.2.1) приближенной линейной зависимостью (8.3.1) с геометрической точки зрения представляет собой замену кривой у = ф (х) касательной к ней в точке х0

(рис. 8.3.1).

Реально действующие в автоматических системах сигналы обыч­ но содержат помехи, представляющие собой случайные функции времени. Поэтому входной сигнал нелинейного звена в атоматической системе, как правило, является случайной функцией време­

где тх (t) — математическое ожидание входного сигнала, включа­

сигнала, имеющая равное нулю математическое ожидание. В этом случае практически удобно производить линеаризацию нелиней­ ной характеристики относительно центрированного входного случайного сигнала, т. е. взять за центр разложения математи­ ческое ожидание входного сигнала. При этом нелинейную харак­ теристику надо разложить в ряд Тейлора относительно центриро­ ванной случайной функции Х° и отбросить члены ряда выше пер­

Замена нелинейной зависимости выходного сигнала от вход­ ного приближенной зависимостью (8.3.3) при переменном матема­ тическом ожидании входного сигнала равноценна замене кривой у = ер (х) подвижной касательной к ней в точке х = тх (<), кото­ рая «обкатывает» кривую у = ср (х) с течением времени. Таким образом, приближенная зависимость (8.3.3) линейна только относительно случайных колебаний (флуктуаций) Х° входного сигнала и остается нелинейной относительно полезного сигнала тх. Вследствие этого принцип суперпозиции для линеаризованной характеристики несправедлив.

Степень точности линейной зависимости (8.3.3) может быть оценена по максимально возможной величине отброшенных чле­ нов в области практически возможных реализаций случайных сигналов [53].

§8.4. Гармоническая линеаризация нелинейных характеристик

Вцелом ряде практических задач, связанных с исследованием нелинейных систем, приходится рассматривать действие на нелинейное звено сигнала в виде синусоидальных колебаний

постоянной амплитуды а:

Выходной сигнал нелинейного звена в этом случае также будет периодическим. Этот периодический выходной сигнал для неко­ торых типовых нелинейных звеньев с нечетными характеристиками показан на рис. 8.4.1. Однако при гармонических колебаниях входной переменной колебания выходной переменной нелинейно­ го звена уже не будут гармоническими.

Любая периодическая функция может быть разложена в ряд Фурье. Поэтому выходной сигнал нелинейного звена при синусо­ идальном входном возмущении всегда может быть представлен