Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

22.84 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 5234 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

330 г л . VII. СИСТЕМЫ С О Т КЛ О Н Я ЮЩ И М С Я А РГ УМ ЕНТ ОМ

Заметим, что gt зависит и от параметра е, который в про цессе доказательства рассматривается как фиксированное число. Для сокращения записи мы эту зависимость не ука

зываем.		теперь		функции		F,	F* £ Cn (D, y),
Рассмотрим
H, H* £ Cm (D, у)			и положим		rpFiH
	gt		T ^ 1' (gl), gt				(go),	(1.16)
где go = gt0,					1 Z,to
	go ~		gt„-
Тогда, на основании (1.14) и (1.15), имеем
d(gj — gt)	<Я (е, D, D) V(F*t F, H \					H) +
dt								(1.17)
			+ Я(е, D, D) (1		-f- 2y) \| go — go\|.
где обозначено
V (F \ F , H*, H ) =		6up (I F* (t, g) — F {t, g)\| +
				+ \H * (t,g )-H (t,g )\).				(1.18)
Решая это дифференциальное неравенство, находим
= \T Z ? '(g 0)-				* ZJa Ы І <
	<	j ^ ~ g 0\| ^ eAO)(1+W" ,c' +
-f V.(f*’ Р'			(fiUB,D,D)(l+2y)l<-g — 1), t£R.					(1.19)
Рассмотрим теперь				преобразование			Щ	(2)
							St,g — (Sl.g,	St,g)

функций (F, H) £ Cn (D , y) xC m (D , Y) в функции St<g(F, H) =

= iSS’g (F,		H),	S%(F, H)]\
			0
S{ä(F , Я) =			J V (t,t + z)X{t + z- T lfig y,
	F[t +		z, TF;(H(g)];					F[t + z — Д, T t HA,t (g)];
H \ t +	z,	T z;tHF (g)Y,				H [ t	+	z - Д, Т	РЛ . і	(g)l, e} dz, 1( 1.20)
H l t + z ,				о		H [ t				TF-	(g);
H l t + z ,				J		H [ t				TF-	(g);
S\% ( F	, H) =		e		W ( t , t		+	z ) Y { t +	z-,	T Fzf
	F[t + z, T Ff( g ) Y							F[1 + z — Д,			\,t (g)J;
		T Ff		(g)];			+ z — Д, TZXt (g)l; e} dz. )

§ 1. У Р А В Н Е Н И Я С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я А Р ГУМ ЕНТ ОМ

331

Покажем, что при подходящем выборе величин D и у как функций е преобразование St,g отображает множе ство Сп (D, у) * Ст (D , Y) в себя и является сжатием.

Для этого оценим функции St,g (F, Я) и S * (F*, Я*) —

*•«о

- S t.b(F, Я).

Из (1.20), учитывая условия 3° — 5°, а также неравен

ства (1.13) и (1.19), находим
IS \l (F, H)\< J k . { M (8) +						41 (8, Д	£>)},
\|S < ; \ ( ^ * ) - 5 \|1 ( F ,				Я )1<
	0									I
			< [/(A (e, D, D)(l + 2Y)U O—got 4-
				0	+	(e, Д	D) V(F, F, Я H)\ X
				0
X	(1 _\|_ e X (e,D ,D )(l+ 2 v )A )			j	е І - а + М е .О ,І > ) ( Н - 2 ѵ ) ]\|г у 2			=	^	2 ) .
			—oo							( 1.2 1)
										( 1.2 1)
	Подберем теперь величины D и у как функции е таким
образом, чтобы			D (е) -> 0,			у (е) -»■ 0 при е -> 0			и	чтобы
для всех 8 С		е	(е << 80) выполнялись неравенства
	(М(е) +	4Це, D ,D )D }< D					(і = 1,2),
Х(е, Д D)(l + 2 Ѵ) <				~	<	~ ,			і	(1.22)
	2/СД (в, D, D) (1 + 2у)			^	e\(g'D,D)(і+2ѵ)Д) <- у;				і	(1.22)
	2/СД (в, D, D) (1 + 2у)			^	e\(g'D,D)(і+2ѵ)Д) <- у;
.	^8’ Д’ D> (1		eM8	,D.D)(l+2 v)A) <■ 1			(г =	1, 2).

Такой подбор D = D (e) и у = у (E) всегда возможен, поскольку М (е) -> 0, Я, (е, D, D) -»■ 0 при е -> 0, D -*■ 0.

Тогда, согласно (1.21) и (1.22), окончательно получаем

\|S ^ (F ,tf )\|< D (e )	(/ = 1, 2),
!5 « .( F * , H * ) - $	U F , H ) \ <	(123)
< 7 ( е ) и о - ^ 0\|+	-1-ѵД,Я,Я,Я)	(і = 1, 2). j

332 ГЛ. VII. СИСТЕМЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я АР ГУ МЕ НТ О М

Из (1.23), в частности, следует
I	. (F, H) -	S il (F, H)I	< y(B )\g0- g \		(i= 1,2),
						(1.24)
I S&. (F. Я) -		(F, H)\ <	4 - V (F, F, Я, Я)			(i = 1, 2).
						(1.25)
Из	неравенств	(1.23) и (1.24)		видно, что для каждого
0 < 8 < е преобразование			St,g	отображает		множество
Сп (D (е), у (е)) X Ст (D (е),			у (е)) в себя.		Кроме того,

это отображение является сжатием, так как, складывая

неравенства	(1.25)	(для і =	1, 2),	имеем
v[S(,!>„(F,tf),		Я),	S?l(F,H), S i3 ,(F ,//)]<
				< i_v(F, F, Я, Я).
Поэтому, в силу принципа сжатых отображений, урав
нение
		Ф = 5 и Ф				(1.26)
имеет решение в классе функций Сп (D , у) X Ст (D , у) и
притом единственное. Обозначим его
	F = f(t,g,B), H = h(t,g,e).					(1.27)
Функции / (t, g, е) и h (t, g,				г), как функции		классов
С„ (D , у) и Ст (£>, у), удовлетворяют всем условиям теоремы.
Покажем теперь, что соотношения (1.12) определяют
интегральное многообразие для системы (1.1).
Согласно (1.20), (1.26) и (1.27), имеем					(іг_ д;	Л2;
	о
f{t,S ,B )=	Jо	t + z) X ( t + z;		Tl:Uë)\
f{t,S ,B )=	V(t,	t + z) X ( t + z;		Tl:Uë)\	fz-
	—oo
					д;	e)d2 ,	j
h {t, g, e) =	e J Г	(/, * + г) У (/ +		г; T # (g);	/ г; /г_ д; А,;
	—oo				hz-A,	e) dz,	,
					hz-A,	e) dz,	,
						(1.28)

	§ 1.	У Р А В Н Е Н И Я О О Т К Л ОН Я ЮЩ И МС Я				А Р ГУМ ЕНТ ОМ	333
где	для	краткости обозначено		/г =		/ (t + г; Tzj (g)', е)
и т. д.
	Заменим в (1.28) g на		(g) и заметим, что, соглас
но	нашим обозначениям		Т!і \ t0(Ы		= gt, То,\ (g0)		= g0»
имеем тождественно
		п-'іЛ'рІЛ
		і z,t I t—t	\~ t t		, t 9 y
		і z,t I t—t	= Tf,l}Z -	—0			(1.29)
		rpf,h	__ rpT,nf.h				(1.29)
			* —10—A,t0’
	Учитывая эти тождества, введем в правых частях соот
ношений		(1.28) новую переменную			интегрирования		т =
=	Z Ң- і	и положим

	h(t,	Tft \ , t 0(g), е) = Уі..
В результате получим
	і
Х( =	) V (t, т)Х(х, gT, хх, Хт_д, ух, Ух-А, e)dr,
—оо
	t
yt = е	j	W {t,x)Y (т, gx, т, т-д, ут, Ут-д, е) dr.

(1.30)

}(1.31) I

Дифференцируя эти равенства по / как	по параметру
и принимая во внимание (1.5), находим
dx	yt, у,_д, e),
- J - = A(t)xt + А г (t) xt_д + X (t, g<( дс/_д,	yt, у,_д, e),

= eß (ef)y, + еДДе*) у*_д + еУ(t, g(, xt, х*_д, y„ у*_д, e).

(1.32)

С другой стороны, по самому определению оператора

Т [ ' \ , t0 имеем

® У) + G (t, gf, х„ yt, е).

(1.33)

Таким образом, функции (1.30) представляют собой реше ние системы дифференциальных уравнений с запаздываю-

334 г л . , VII. СИСТЕМЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я А Р ГУМ ЕНТ ОМ

щим аргументом (1.1), сводящееся при t = t0 к g,

f (t0, gt,. 8). h (t, gl«, e).

Следовательно, соотношения (1.2) действительно опреде ляют интегральное многообразие для системы (1.1).

Докажем теперь устойчивость интегрального многообра зия St ,A , т. е. покажем, что траектории любых решений системы (1.1), начальные функции которых лежат в области определения многообразия, с течением времени будут притягиваться к многообразию по экспоненциальному за кону.

Для этого рассмотрим следующую интегро-дифференци-

альную систему		уравнений:
			U			к
x t —	V (t, to)®i(to,	е) +	j	V i f , т +	А ) (т + А)Фі(т, e)dx +
	і	U-А
	і
+	J V (t, т) X (т, gx, хх, хт_ д, ух, Ух- а, е) dt,					t > t 0,
	t.			*0
				*0
9, = W(t, t0)O2(t0, e) +			e	W ((,x + А)B1(ex +		еД) X
			t0~ A
		t
X Ф2 (г, e) dt +		8 f VP (t, x) Y (x, gx, xx, xx- A, Ух, Ух-&, e)dx,
		tn
						t > t 0'
dgt =	cü(t) + Ü (t, gt, x„ yn 4), t > t 0
dt
						(1.34)
с начальными условиями
x t -	Фх (t, 8), yt =-. Ф2 (t, e) для t£				[/„ — А, t0], gu = g0,
ГД6		ФгФ2 € Ct M .				(1.35)

r'~ Применяй к правым частям уравнений (1.34) те же спо собы оценок, что и выше (при оценке функций (1.20)), до кажем существование и единственность решения системы уравнений (1.34).

	* 1. У Р А В Н Е Н И Я С О Т КЛ О Н Я Ю Щ И МС Я А Р ГУМ ЕНТ ОМ					335
Для этого, как и прежде, вместо системы (1.34) рассмот
рим систему			'о
			'о
X =	V (/,*„) Ф ^о, е)+		j	V (t,x + Д) Лх(т + А)Ф!(т, e)dt+
				д
+	j	V (t, t + z) X (t +		z, gz, хг, xz- L, yz, уг~\, е) dz,
	h -	t
				*0	t > t 0.
y = W ( t, і0)Ф2(і0, e) +				*0	W (t, x + А) В ^гх + гА) x
y = W ( t, і0)Ф2(і0, e) +			8	J	W (t, x + А) В ^гх + гА) x
				<o-A
	X ф 2 (т, e) dx -f- e		\|	№ (/, t -f z) x
		X Y (t + г, gz, хг, Хг-\, уг, Уг-д, е) dz, * >				f0,
=	a>(t) + G(t, g, X, у, г),				t > t 0

с теми же начальными условиями

X (t) = Фх (t, е), у (t) = Ф2 (/, е) для t£ [ t0 — А, /0], g (<0) = g0. (1.37)

Решение этой системы будем искать методом последо вательных приближений. Возьмем произвольные непрерыв

ные функции	/о (t, g,jz)		и /іо(/, g, е), определенные для
t > t0, g £ Rk, г £ (0, e],			удовлетворяющие условию Лип
шица
I f l i t ,	g ' ,	е) —/о (/, g", e)\|<Y \|gf' — g " \,
Ihl(t, g',			(1.38)
		e) — ho(t, g", e )\|< Y \|g ' — 4f"\|,

и начальные функции Ф2 (t, е), Ф2 (t, е) так, чтобы для всех £ •< ez, t > t0 выполнялись неравенства

g,		е)\| +	/С1і;іФ	Л (Л)< 0 (е ),
\hl(t,	g,	е)\| +	К2^ \|Ф	2\|\|(Д)< 0 (8 ),	(1.39)
e ^ e ,	D(e1) < m in (p, a),

336 г л . VII. СИСТЕМЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я А Р ГУМ ЕНТ ОМ

где е, р, а — определенные раньше числа,

\|\|Ф£\|(А> = sup	\|Ф( (t,		в))	(i ==	1, 2),
L \ = 1 + ~т~(еаЛ -	1}-	=	1 +	п г	(ееаА - J)’

а, Ki (i = 1 , 2 ) — постоянные из условия (1.7), Llt u - постоянные, для которых

В качестве нулевого приближения для х и у возьмем функции

и (*. 8. ф 1

- е) =

fo (*. g>z) + v (*, *о)ф і (*о, е) +

(

V (і,т +

А) Ax(т + Д) Фх (т, е) dr,

t > t 0>

h0(t, ё,

ф 2. e)'— ho (t, g ,e) +

w (t, ^о)ф 2 (^О) e) +

W(t,

T +

A)ß, (ет +

еД)Ф2(т, e)dx,

t > t 0,

і«-д

fo(t,

g, Фі, e) =

Фх (t,

e), h0 (t,

g, Ф2, e) = Ф2 (/, e)

для t £ [ t0 —

Д, t0\.

t0, согласно неравенствам

(1.7),

Тогда

для

e <

ex,

(1.38)

(1 39),

находим

IM*, g

, ф1.

8 ) | < D ( 8 ) < p ,

IM*. g> ф 2 . e ) K D (e)<or,

IM*.

ф ь

g \

ФІ, e)| <

(1-40)

V 18' -

g" I +

KiL'ie-**-'* ІІФ -

ФІ |!(Л>,

I К I(*. g'. ф 2, e) — h0 (t, g", Ф 2, e)| <

7 \g' -

g" I +

к 2L ^ -eв(,- <•,Iф 2 -

ф ; і(Л).

Рассмотрим теперь уравнение

-%• = ®(0 + G(*. g, f0(t, g, Фь 8), h0(t, g, Ф2, e), e). (1.41)

S 1. У Р А В Н Е Н И Я С О Т КЛ О Н Я Ю Щ И МС Я А РГ УМ ЕНТ ОМ

337

Задаваясь начальными условиями t = /0, g — g0, мы можем построить решение этого уравнения, которое, в силу ограничений, наложенных на функции G, /0, /і„> существу ет и единственно.

Обозначим его в виде

g’f h° = Tt°LhU (g0, Фъ Ф2).

Если gt — два различных решения уравнения (1.41), то для их разности справедлива оценка

g t - g t \ < \ g o - g o \		+
+	\K*VW (ф ;,ф ;, Фг. Фг)	(éЛ<1+2	— е		), (1-42)
	а + К(1 + 2у)
где	К* = шах {K-JL’x, К2Рд, 0 < аг<			а.

Чтобы построить первое приближение для х и				у,	подставим
в правые части первых двух		уравнений	(1.36)		вместо g2y
хг и уг соответственно выражения
	(gKФі, фа), /о V + 2	; т[:?° (g, Фѵ Ф2), ФХ) е],

h0[t + z; T[f°(g, Фь Ф2), Ф2, е].

Оценивая полученные равенства с учетом условий 3°— 5°, а также неравенств (1.40) и (1.42), находим

IM*, g, ф ь ф 2 . e)|<Z>(e),

IM*. g> ф і, ф 2» е)|<Я (е),

\|/і (*, g',	ф ь ф2 , S) - /х (/, g", ФІ Ф ; е)\| <
< На(е. D) Iff' — g”I +			ИІ(8, D)e~“,('“ M (A> (Фь	ФІ, Ф2, Ф2),
I К (t, g', Фі, Ф2, е)—/іх(/, g", ФІ, Ф2, e)\| <
< Tli (8,	D) I g' -	g" I +	-ПІ (e, D) e~a^ v w (Ф),	ф\, Ф2, Ф2),
где e <	e2 (e2 <	ex) 0 <	а 2 < аг, щ (e, D) 0,	т)х (e, D) -> 0,

pi (e, D) -■ К гЬ\, г] (e, D)			K2	при e->-0, D-+-0.
Продолжая процесс построения приближений для х и у,
мы получим последовательности функций
/о>	/і»	/г>	• • •	I /«>••• I
^0>	^1>	^2і	• ' •	> *Ч> • • • >

3 3 8 г л . ѴИ. СИСТЕМЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я АР ГУ МЕ НТ О М

которые сходятся равномерно относительно t и g к некото рым функциям

/ (<, g , Фі, Ф„ в), Л (t, g, фь Ф„ e)	(1.43)
для всех е < е3 (es <С е2), t > f 0. Эти функции	будут удов

летворять первым двум уравнениям (1.36) и начальным условиям (1.37), причем они будут единственным решением системы (1.36):

/(*, g, Фъ Ф2,е )~ Ѵ ( і, дФ і(*0,е).+

+ \ V (t, T + Д) At (T - f А) Ф х (т, e) dx +

'o-Ä

+\ V(t, t + Z)X(t + 2, Tfz’j(g , Фі.ФгІ./г./г-Д, К, ftz-д, б)<&,

U-t

(1.44)

А (/, Я, Фі, Ф*. е) = W (t, t0) Ф2, (/„, е) +
	t0	W (t, х +			Д) Bi (ет + еА) Ф2 (т, е) dx -f-
+ 8	j	W (t, х +			Д) Bi (ет + еА) Ф2 (т, е) dx -f-
	—А
		+	е		1	W (/, t + г) X
					t0-t
X Y ( t +		Z, Tfz’ht (g, Ф„ Ф2), ft, /г_д, К						/іг_д, e)dz, (1.45)
где			г;				Фх, Ф .) Ф і, Ф а, e],
h	= f It			T[*t (g,
К = h It +
		+	г;		7*? (g, Ф1( Ф2), Фь Ф2, е].
Кроме того, для функций (1.43) справедливы неравенства
Ш*. g, фX, ф 2 . е)1 < D (е),
] А(/, g, Фх, Ф2, e)\|<D (e),
\f(t, g', Фі, Фі, е) - f ( t ,					g", ФІ, ФІ, е)\|<
< р (е, D) W	-	g"I +	Р* (в, D) е- а« - {' Ч А) (Ф\, ф\, Ф2,						ФІ),	(
І h (t, g', Фі, Ф'2, е) — h (t, g", ФІ, ФІ, е)\| <										j
< Л (е, D) I g' -		g" I +	л* (e, D) е- “('-'-Ѵ Л)(Ф1( ФІ, Ф2) ФІ),							\|
									(1.46)
где e < 8 3,	р (е, D)-> 0,					г\| (е, D) ->-,0,		р* (е, D)	/Сх^-і,
X]* (г, D)-* К2Ь*2 при			е->-0, D->Q.

5 1. У Р А В Н Е Н И Я с О Т КЛ О Н Я Ю Щ И МС Я А Р ГУМ ЕНТ ОМ

3 3 »

Доказательство этих утверждений требует громоздких выкладок, и мы его здесь не приводим.

Покажем теперь, что функции (1.43) удовлетворяют первым двум уравнениям (1.34).

Для этого заменим в тождествах (1.44) g на T[’lt a,t0(g0, Ф,,Ф2). Используя затем соотношения (1.29) и вводя новую переменную интегрирования т — / + г, убеждаемся, что функции

ët ~	(goi Фі, Ф2>8)>
	X, =	/[/;	т[\,<Лёо, Фі, Ф2); Фц Ф2; в],
	Уі =	hit;	Tfi \ t o(g0, Фі. ф 2); Фі; ф 2; в]

представляют собой решение Интегро-дифференциальной системы (1.34) с начальными условиями (1.35). Для этих функций, очевидно, также справедливы неравенства (1.46).

С другой стороны, решения интегро-дифференциальной системы (1.34), удовлетворяющие начальным условиям (1.35), являются также решениями системы дифференци альных уравнений с запаздыванием (1.1) с начальными

условиями (1.9), в которых фі (t, e) — Фх (t, e),		ф2 (t, e) =
= Ф2 (/, e). В этом легко убедиться непосредственно диф
ференцированием первых двух уравнений	(1.34) с учетом
( 1 .5 ) , ( 1 .6 ) .
Покажем, что верно и обратное утверждение, т. е. что
всякое решение хт, ух, gx системы (1.1)	с	начальным»

условиями (1.9) является решением системы (1.34) при тех же начальных условиях.

Доказательство проведем только для второго уравне ния в (1.1) и (1.34). Для этого подставим решение хх, ух, gx во второе уравнение в (1.1), умножим слева полученное

тождество на	W (і, т) и проинтегрируем затем в пределах
от t0 до t:
t	t
jV (*. x ) - ^ - d x = e§W (t, T ) В (ex) yxdx +
	tQ
	t
	+ e j* W (t, T) ß x (ex) yx^ A dx +
I.
+ e j	W (t, x) Y (T, gx>xx, хх_д, y x, і/х_д, e)dx. (1.47)

<<< < Предыдущая 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 5234 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ