РГЗ по физике 1633

Министерство образования Российской Федерации Ивановский государственный энергетический университет

Кафедра физики

ВОЛНЫ.

ВОЛНОВЫЕ И КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА

Расчетно−графические задания по физике

Иваново 2004

Составители: М. В. Дмитриев, В. Х. Костюк, Г. А. Шмелёва

Редактор М. Н. Шипко

Настоящие задания предназначены для обеспечения самостоятельной работы студентов по теме “ Волны. Волновые и квантовые свойства света”.

В заданиях учтены особенности учебных планов различных факультетов. Дана таблица вариантов контрольной работы для студентов заочной формы обучения.

Рецензент кафедра физики Ивановского государственного энергетического

университета

2

1. УПРУГИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси X, имеет вид:

ξ = ACos(ωt − kx + ϕ0 ) ,

где ξ – смещение частицы среды, имеющей координату x в

Для одномерной волны уравнение волновой поверхности имеет

вид:

ϕ = ωt - kx + ϕ0 .

Скорость перемещения волновой поверхности равна:

dx = ω = λ = λv = V ,

Уравнение волны, распространяющейся в среде с затуханием: ξ = A0e− χt cos(ωt - kx + ϕ0 ),

где χ – коэффициент затухания; A0 – амплитуда волны в точке x = 0 .

Объёмная плотность энергии упругой волны:

w = ρA2ω2Sin2 (ωt - kx +ϕ0 ),

где ρ – плотность среды.

Поток энергии, переносимый волной через поверхность площадью

S , равен:

Fw = U × S = VwSCosα ,

где α – угол между вектором скорости и единичным вектором нормали к

поверхности S . Интенсивность волны:

3

I = U = wV = 12 ρA2ω 2V .

Уравнение плоской электромагнитной волны:

где E0 , H 0 – амплитуды векторов напряженности электрического и

магнитного поля соответственно. Модули амплитуды векторов напряжённости магнитного и электрического поля связаны соотношением:

здесь c = 1 ε 0 μ0 – скорость электромагнитной волны в вакууме;

n = εμ – показатель преломления среды.

Объемная плотность энергии электромагнитной волны:

Плотность потока энергии электромагнитной волны, называемая вектором Пойнтинга, равна:

где V – групповая скорость волны. В среде, обладающей дисперсией,

групповая скорость связана с фазовой скоростью волны соотношением:

u = dω = V − λ dV . dk dλ

В вакууме вектор Пойнтинга равен :

4

P = wc.

Интенсивность электромагнитной волны:

Давление плоской электромагнитной волны:

P = w(1 + R) cos2 α ,

где R – коэффициент отражения, α – угол между направлением распространения волны и нормалью к поверхности.

Коэффициент отражения света в случае его падения по нормали к поверхности равен:

Задача 1. Тонкая длинная струна с закрепленными концами натянута вдоль координатной оси Х. Если вывести струну из положения равновесия, то все частицы струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные колебания). В каждый момент времени струна находится в плоскости ХОУ. В процессе колебания величина отклонения частиц струны от положения

равновесия y зависит от координаты x и

времени t. Найти зависимость y(x,t). Решение. При фиксированном

значении t график функции y(x,t) представляет форму колеблющейся струны в момент времени t (рис.1).

Частная производная dy/dx= yx' (x,t) дает угловой коэффициент к

касательной в точке с абсциссой х.

Для заданного значения х функция y(x,t) определяет закон движения точки струны с координатой х вдоль прямой, параллельной оси

5

OY, производная dy = y'(x,t) есть скорость движения этой точки,

dt t

вторая производная d 2 y – ускорение.

dt 2

Выделим бесконечно малый участок струны М1М2, проектирующейся на ось ОХ интервалом [x,x+dx]. На него действуют силы натяжения T1 и T2 . При малых колебаниях частиц струны угол

наклона касательной к любой точке струны мал, α ≈ sin α ≈ tgα . Приняв, что величина силы натяжения вдоль струны постоянна и равна T0 , получим

− T1 sinα1 + T2 sinα2 = T0 (sinα2 − sinα1 )

2

T0 (tgα 2 − tgα1 ) = T0 [ y`x (x + dx, t) − y`x (x, t)] = T0 d 2y dx, dx

где tgα1 = y`x (x, t), tgα 2 = y`x (x + dx, t).

Масса участка струны M1M 2 равна

6

T

где V 2 = ρ0 – положительная постоянная величина.

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами называется одномерным волновым уравнением. Оно описывает свободные колебания струны.

В случае бесконечно длинной струны общее решение волнового

уравнения имеет вид:

y(x, t) = ϕ(x − Vt) +ψ (x + Vt) .

Функция ϕ (x − Vt) в момент времени t=0 описывает перемещение волны вдоль оси ОХ в положительном направлении со

волну, распространяющуюся вдоль оси ОХ в обратном направлении. Если точки струны колеблются по гармоническому закону

y(x,t) = Acos(ω (Vt - x)), то вдоль струны будет распространяться

V

волна со скоростью V, описываемая гармонической функцией.

Задача 2. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4см от источника колебаний, в момент времени t=T/6 равно половине амплитуды. Найти длину волны.

Задача 3. По какому закону изменяется с расстоянием амплитуда незатухающей цилиндрической воны?

7

Решение. Поток энергии, переносимой волной через цилиндрическую поверхность радиуса R, пропорционален интенсивности волны и площади поверхности S

Φ = IR 2πRh ,

где h – высота цилиндра. Этот же поток энергии переносится волной и через цилиндрическую поверхность радиуса r. Следовательно,

IR 2πRh = Ir 2πrh ,

Интенсивность волны пропорциональна квадратуамплитуды I ~ A2

Если источником волн является тонкая нить; то амплитуда AR

выбирается равной амплитуде волны на расстоянии R=1 м от оси нити. Закон убывания амплитуды с расстоянием от источника принимает вид:

A = AR . r

1.1. Написать уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси Х. Частицы среды колеблются вдоль оси Z. Известно, что амплитуда волны равна А, циклическая частота ω, начальная фаза π/6, длина λ. Рассеянием энергии пренебречь.

1.2.Получить дифференциальное уравнение, решением которого является функция y(x, t) = A cos(wt − kx).

1.3.Получить дифференциальное уравнение, решением которого является функция y(x,t) = Aexp(−γx) cos(wt − kx). Какой физический

смысл имеет коэффициент γ ?

1.4. Плоская монохроматическая волна распространяется вдоль оси Υ. Амплитуда волны А=0,05 м. Считая, что в начальный момент времени смещение точки Р, находящейся в источнике, максимально, определить

8

смещение от положения равновесия точки М, находящейся на расстоянии y=λ/2 от источника колебаний в момент времени t=T/6.

1.5.В условии задачи 1.4 определить разность фаз колебаний точек

Ми Р.

1.6.В некоторый момент времени t1 в точке х1=0 фаза плоской монохроматической волны равна нулю. Какова будет фаза волны в точке

х2=10-3 м в тот же момент времени? Какова будет фаза волны в точке х2 в момент времени t2=10-2 c? Длина волны λ=10-4 м.

1.7. Плоские волны переходят из среды, в которой фазовая скорость волны равна V, в среду, в которой фазовая скорость в два раза больше. Что происходит при этом с частотой ω и длиной волны λ ?

1.8. Какие из приведённых функций можно использовать при описании волновых движений: у = А(х − Vt)2 , y = A(x − Vt) ,

y= Aln(x + Vt) ?

1.9.Записать уравнение цилиндрической волны. Установить закон, по которому меняется амплитуда и интенсивность цилиндрической волны

сизменением расстояния от источника.

1.10.Записать уравнение сферической волны. Установить закон, по которому меняется амплитуда и интенсивность сферической волны с изменением расстояния от источника.

1.12. В поглощающей среде вдоль оси Х распространяется плоская волна. Определить расстояние, на котором амплитуда волны уменьшается

в е раз. Коэффициент затухания волны известен и равен γ .

9