Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ивановский Государственный Энергетический Университет им. В.И. Ленина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Отражение_и_преломление_электро-магнитных_волн

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.03.2015

Размер:

261.83 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Лекция №1. Отражение и преломление электромагнитных волн.

Эта задача сводится к использованию граничных условий для векторов E и H в виде равенства

Eτ1 = Eτ 2 и Hτ1 = Hτ 2 .

(1)

Ограничимся случаем плоских волн и введём систему координат XYZ . Ось Z всегда перпендикулярна границе раздела, а оси X и Y лежат в плоскости раздела двух сред.

Тогда граничные условия для линейно поляризованных волн и плоской границе раздела

запишутся в виде

E = Ex ,

H = H y

Ex1 = Ex2 , H y1 = H y 2

при z = 0

Рис. 1. Вектора Sr, E и H в падающей, отраженной и преломленной волнах.

Sr =

[Er, Hr], Hr =

ε0ε

[Sr, Hr],

4π

µ0µ

где (E, H ) ,

(E1, H1) , (E2 , H2 ) - вектора падающей,

отраженной и преломленной волн

соответственно;

S ,

и S2 - векторы направления падающей, отраженной и прошедшей

волн; ε1 и ε2 ,

µ1

и µ2

- диэлектрические и магнитные проницаемости сред.

U1Ф =

c ,

U2Ф =

- фазовые скорости волн в первой и второй среде.

ε1

ε2

Сначала	рассмотрим нормальное падение плоской волны на плоскую границу раздела
двух сред.	Определим, как будет меняется угловая скорость ω при отражении и

преломлении волны.

Тогда обозначим через ω1 , ω2 частоты отраженной и преломленной волны соответственно и предположим, что ω =ω1 ≠ ω2 .

Для амплитуд линейно поляризованных волн в комплексной форме можно записать:

E	= Re E00 exp[iω(t − z / u1)],	H =	ε1 E
E1 = Re E10 exp[iω1 (t − z / u1 )],		H1 =	ε1 E1
E2	= Re E20 exp[iω2 (t − z / u2 )],	H2 =	ε2 E2

Учитывая взаимную ориентацию векторов S , E и H (правая тройка), перепишем граничные условия (1) (Eτn1 = Eτn 2 ) в виде:

E + E1 = E2 , H − H1 = H2	(2)
Связь между модулями
H = n1E , H1 = n1E1 , H2 = n2 E2	( n1 = ε1 , n2 = ε2 )

т.к.

µ ∂H	= − ∂E	, E = f (x −υt),		µ ∂H	= − f = −	1 ∂E	= −	µε	∂E
µ ∂H	= − ∂E	, E = f (x −υt),		µ ∂H	= − f = −	1 ∂E	= −	µε	∂E
c ∂t	∂x			c ∂t		υ ∂t		c	∂t
ε ∂E = − ∂H , υ =			c , µH =
ε ∂E = − ∂H , υ =			c , µH =		ε E ← const
c ∂t	∂x		εµ
c ∂t	∂x		εµ

Записанные граничные условия должны выполнятся для t				при z = 0 .
E	eiωt + E eiω1t = E	20	eiω2t	(3)
00	10	20
Из (3) следует, что t это возможно лишь при
ω =ω1 =ω2				(3а)

Из полученного соотношения следует, что нет никаких физических причин для изменения частоты при отражении или преломлении света на границе двух сред (диэлектриков).

Тогда с учетом (3а) уравнение (3) принимает следующий вид:

+ E

= E

или

− H

E , H

E + E = E и

E − E = n2 E

(3б)

Выразив E10

и E20 через E00 , получим

E10

= n1 −n2

= E00

E20

2n1

E00

амплитудные соотношения

(4)

n1 +n2

Возможны два случая:

При

n1 > n2

электрическое поле

падающей и отраженной волны совершает

знаки E10 иE00

векторов H и H1

синфазное колебание, т.к.

совпадают,

а для

будет

существовать отличие фаз на π (или

λ ).

При n1 < n2

фазы

E1 и E отличаются на π , а

H1 и

H совершают синфазные

колебания.

Из соотношений (4) вытекает правило: "При отражении света от оптически более плотной среды ( n1 > n2 ) происходит потеря полуволны ( λ2 ) или изменение фазы на π "

Отметим, что				колебания амплитуд E00					,	E20 , как и H00 ,	H20 , а значит и векторов E ,
E2 , как и H , H2				всегда синфазные.
Введём энергетические коэффициенты отражения R(r)											или пропускания Τ(τ) , как
отношение средних потоков энергии соответствующих волн:
R =	c E H		/	c EH , Τ =	c E		H		/	c EH	(5)
	4π 1	1		4π	4π	2		2		4π

Используя уравнение (4) (для нормального падения волны), получим закон сохранения энергии (т.к. поглощение отсутствует) в виде:

E10

− n2

R =

+ n

(5а)

4n1n2

Τ =

E20

+ n

и R + Τ =1.

(5б)

Например: при прохождение видимой части спектра через стекло с n2 =1,5 при n =1

	−1	2			4n2
n2
			≈ 4%,	а Τ = (n	+1)2	≈ 96% стекло не может служить зеркалом.
R = n +1
2				2

Рассмотрим наклонное падение электромагнитной волны на плоскую границу раздела двух диэлектриков:

z nr

γ r

0 x

z′	Волна распространяется в направлении z′ со
	скоростью u1 ; n - нормаль вдоль z′; x , y , z - текущие
	координаты точки на плоскости; cosα, cos β иcosγ -
	направляющие косинусы.

	rr			x cosα + y cos β + z cosγ
	rn			x cosα + y cos β + z cosγ
E = Re E00 exp iω t −		= Re E00 exp iω t −			(6)
E = Re E00 exp iω t −	u	= Re E00 exp iω t −		u	(6)
	1			1
Для z = 0 и cos β = 0 нормаль n			в падающей волне будет лежать в плоскости ZX .

Пусть нормаль в отраженной и преломленной волне соответственно. Рассмотрим случай, когда E ↑↑Yj - линейно поляризована.

i = i′

E = Re E00 exp iω t − x cosαu+1 z cosγ ,

x cosα1 + y cos β1 + z cosγ

E1 = Re E10 exp iω1

t −

(6а)

x cosα2 + y cos β2 + z cosγ2

= Re E20 exp iω2 t

−

Граничные

условия

при

z = 0 для

тангенциальных

составляющих

вектора

напряженности электрического поля будут иметь следующий вид

Eτ + Eτ1

= Eτ2

(7)

Они должны выполняться в любой момент

t и для любых координат x и y .

Из уравнений (6а) и уравнения (7) получим

x cosα

x cosα1

+ y cos β1

x cosα2 + y cos β2

−

iω t − u

iω1 t −

iω2 t

(8)

+ E

= E

20τ

00τ

10τ

Уравнение (8) справедливо лишь при выполнении следующих условий:

1)ω =ω1 =ω2 .

2)cos β1 = cos β2 = 0 . u1 u2

Из выполнения второго условия мы получили, что в плоскости ZX							(cos β = 0) лежит не
только нормаль nr		в падающей волне, но и нормали в отраженной и преломленной волнах
( nr1 и nr2 ).
3)	cosα = cosα1		= cosα2 .
	u	u	u	2
	1	1		2

Из этого следует, что cosα = cosα1 α = ±α1 или					α = −α1	–	закон отражения

электромагнитных волн. В терминах дополнительных углов можно написать

ii′

α−α

Stτ

cosα

cos β

γ2

α2

α +γ =π / 2

sin γ

α2 +γ2 =π / 2

sin γ2

α1

, u

Siτ

Srτ

sin γ

Рис. 2

= n - Закон Снеллиуса.

sin γ

ωi =ωr =ωt -

т.е.

частота

колебаний,

вынуждаемых

электрическим вектором Ei

световой волны совпадают с частотами вынуждающей силы (ωi ). k i S iτ = k r S r τ = k t S tτ

Это означает, что законы отражения и преломления Снеллиуса являются следствием граничных условий для уравнений Максвелла.

Формулы Френеля.

Для каждого момента времени модуль вектора напряженности можно представить в виде:

E = E||2 + E2 , где E и E|| - проекции на границу раздела сред. Их удобно выбрать таким образом, чтобы E|| лежала в плоскости падения, а E колебалась в плоскости перпендикулярной плоскости падения.

Рассмотрим отдельно два случая:

1.Вектор E лежит в плоскости падения электромагнитной волны.

Выберем систему координат так, чтобы плоскость XOY совпала с плоскостью раздела,

r	Ei\|\|		Srτ	а плоскость ZOX	с плоскостью падения, причем	ось
Si		Hτ	Er\|\|	OZ направим из среды с показателем преломления		n1 в
	Hi	ϕ ϕ′	Er\|\|	среду с n2 .
	ε1			среду с n2 .
	ε1			x
	ε2	0	Et \|\|	Углы между Si	и St с осью Z обозначим через ϕ и ψ
		ψ	Et \|\|	(падения и преломления), а угол между OZ и Sr через
		H t	r	(падения и преломления), а угол между OZ и Sr через
		H t	r	π −ϕ′ (ϕ′ - угол отражения)
		z	St	π −ϕ′ (ϕ′ - угол отражения)

Рис. 3а	(j = i, r,t)
E j = Ei\|\| + Ei

Так как Erj|| ZOX , то граничные условия будут иметь следующий вид:

E		cosϕ + E			r\|\|	cosϕ	= E	cosψ,
	i\|\|				r\|\|		t\|\|	(9)
			−n E		= n E		.	(9)
n E			−n E	r\|\|	= n E		.
	1	i\|\|	1	r\|\|		2 t\|\|




		x
	Six = sinϕ	x
	Six = sinϕ
		ϕ
	Srx = sinϕ′	ϕ
		Si
	Stx = sinψ

ki Siτ

= kr Srτ = kt Stτ

sinϕ

sinϕ′

sinψ

k jc

ϕ =ϕ′

− законотражения,

sinϕ = u1

= 1 =

ε1

− законпреломления

sinψ

ε2

Введя амплитудные коэффициенты отражения и преломления r|| и t|| и решая систему

уравнений (9), получим следующие выражения:

r	=	Er\|\|	=	sin 2ϕ −sin 2ψ	=	tg(ϕ −ψ)	(10)

\|\|		Ei\|\|		sin 2ϕ +sin 2ψ		tg(ϕ +ψ)

t	=	Et\|\|	=	2sinψ sinϕ			(11)

\|\|		Ei\|\|		sin(ϕ +ψ) cos(ϕ −ψ)

2.Вектор E перпендикулярен плоскости падения электромагнитной волны.

r		Hi			Hτ	r	В	этом	случае граничные условия будут иметь
r		Hi			Hτ	Sτ	В	этом	случае граничные условия будут иметь
Si							следующий вид:
Ei				ϕ ϕ′	E r		следующий вид:
Ei	ε1			ϕ ϕ′	E r		Ei + Er		= Et ,
	ε1					x	Ei + Er		= Et ,	(12)
	ε2					x		(Ei − Er ) cosϕ = n2 Et cosψ.		(12)
	ε2			0	H t		n1	(Ei − Er ) cosϕ = n2 Et cosψ.
				ψ	H t		Тогда для амплитудных коэффициентов отражения и
				Et			Тогда для амплитудных коэффициентов отражения и
				Et	r		преломления получим следующие формулы:
				z	St		преломления получим следующие формулы:
				Рис. 3б
r =	Er		= −sin(ϕ −ψ)							(13)
r =			= −sin(ϕ −ψ)							(13)
	E			sin(ϕ +ψ)
	i
t =	Et	=		2sinψ cosϕ
t =	E	=		sin(ϕ +ψ)
	E			sin(ϕ +ψ)
	i									(14)
										(14)

Соотношения (10), (11), (13) и (14) называются формулами Френеля. Установим с помощью этих формул соотношения между фазами i, r иt волн.

Из уравнений (11) и (14) следует, что при любом значении углов ϕ и ψ знаки Et|| , Ei|| и

знаки Ert|| , Eri|| совпадают между собой, т.е. преломленная волна во всех случаях

оставляет без изменения фазу падающей волны.

Из уравнений (10) и (13) следует, что для отраженных и падающих волн существует зависимость фазы колебаний от угла падения и относительного коэффициента

преломления n =		n1		:
преломления n =		n		:
		n
			2
а) ϕ >ψ , т.е. n2 > n1 или n >1
					Er и Ei
			π		Er и Ei
при	ϕ +ψ <		π
при	ϕ +ψ <		2

					Er\|\| и Ei\|\|
					Er\|\| и Ei\|\|

↑↓ противоположныпофазеипознаку

↑↓ пофазе(знаку)

						↑↓ пофазе(знаку)

		π	Er и Ei
при	ϕ +ψ >	π			и E	↑↑ пофазе(знаку)
при	ϕ +ψ >	2	E	r\|\|	и E	↑↑ пофазе(знаку)
		2		r\|\|	i\|\|
б) ϕ <ψ , т.е. n2 > n1			или n <1
						↑↑ пофазе(знаку)

	ϕ +ψ < π		Er и Ei
при	ϕ +ψ < π				и E	↑↑ пофазе(знаку)
при		2	E		и E	↑↑ пофазе(знаку)
		2		r\|\|	i\|\|
						↑↑ пофазе(знаку)
		π
при	ϕ +ψ <	π	Er и Ei
при	ϕ +ψ <	2			и E	↑↓ пофазе(знаку)
		2	E		и E	↑↓ пофазе(знаку)
				r\|\|	i\|\|
				r\|\|	i\|\|

	E0r		2		n2	E0t	2
				и Τ =				от угла ϕ .

Найдем зависимость коэффициентов R =	E				n	E
		oi			1	oi

Стоит отметить, что Er|| и Er зависят от ϕ по-разному.

При ϕ +ψ → π2 , tg(ϕ +ψ) → ∞ и R// → 0 , а R ≠ 0 , т.к sin(ϕ +ψ) →1.

Следовательно, при некотором угле падения отразится только электромагнитная волна вполне определенной поляризации. При ϕ +ψ = π2 (E)|| волны не отразится вообще.

Вектор E в отраженной волне будет колебаться перпендикулярно плоскости падения, или говорят, что отраженный свет поляризован в плоскости падения.

Следовательно, плоскость поляризации света соответствует плоскости,

перпендикулярной направлению колебаний вектора E .

Впервые этот факт экспериментально наблюдал Малю.

Если

ϕ +ψ = π , то

sinψ = cosϕ n2

= sinϕ1

= sinϕ1 = tgϕ

sinψ

cosϕ1

tgϕб

= n

- Закон Брюстера, а угол ϕб называется углом Брюстера.

Можно наблюдать линейную поляризацию волны, т.е. зависимость ϕ от n .

Для видимой области спектра и стекла с n =1,5 , ϕб = 57°.

Sri

Sr r

n2 > n1

S i

n2 < n1

90 °

Srt

)

(Er )|| = 0

Если связать наличие отраженной волны с вынужденными

колебаниями электронов во второй среде, то в направлении,

(Si )|| ϕб

ϕб

(Sr

) = 0

перпендикулярном

нормали

к преломленной волне,

не

90°

должна распространяться энергия, т.к. электрон не излучает

(Et )||

направлении,

вдоль которого осуществляются

его

колебания. Это относится лишь к колебаниям электронов в

(St )||

плоскости

падения

волны,

происходящим

в результате

действия

на

них

(Et )|| .

(Et ) будет

раскачивать

электроны в

направлении,

перпендикулярном плоскости падения, и такое излучение будет распространяться без помех.

При ϕ =ϕ1 = 0 угол ψ также будет равен нулю.
	E0i − E0r		=	n1		cosψ	.

	E	+ E		n cosϕ
	0i	0r	2		1
Из		этой	формулы следует, что при нормальном падении волны (ϕ1 = 0 и ψ = 0 )

			E0r	2			− n2	2
			E0r			n1	− n2
							+ n
никакого изменения поляризации не происходит, т.к. R =			E		= n		+ n	.
			oi		1		2
А при скользящем падении (ϕ →	π ) R	и R стремятся к единице.
	2	//
	2

Это явление можно наблюдать, если смотреть на гладкую поверхность реки ясной ночью. Противоположный берег и звёзды будут ярко отражаться, в то время как, если смотреть на воду в направлении перпендикулярном поверхности, будет видна лишь глубина или дно, а не отражение. Этим же объсняется

Полное отражение света происходит, когда r||2 = r2 =1.

Для характеристики меры и степени поляризации обычно вводят функцию ∆ частичной поляризации:

∆= I − I|| 100%

I + I||

Итак, подведём итог:

)

= tg(ϕr −ϕt ) (E

)

= tg(ϕ −ψ )

tg(ϕr +ϕt )

tg(ϕ

+ψ )

(E0t )||

2sinψ cos

(E0i )||

sin(ϕ +ψ ) cos(ϕ −ψ )

+ψ) =

При tg(ϕ +ψ) → ∞ (ϕ

(E )		(E0r ) = − sin(ϕ −ψ )
(E )		(E0r ) = − sin(ϕ −ψ )
0i	\|\|			sin(ϕ +ψ )
0i	\|\|
		(E	)	= 2sinψ cosϕ
		0t		sin(ϕ +ψ )
				sin(ϕ +ψ )
будет равно нулю, а R ≠

(E0i )

0 , tgϕ = tgϕбр = n2 . n1

Характер между падающей и отраженной волной следующий: n1 > n2 (ϕ <ψ ) .

Для волн, у которых Er\|\| ≠ 0 , а E = 0 следует, что (Er )\|\|			и (Ei )\|\| будут синфазными, если
ϕ <ϕбр и будут находиться в противофазе, если ϕ >ϕбр .
Для волн, у которых Er\|\| = 0 ,	а E ≠ 0 следует, что (Er ) и (Eri )			будут совпадать по
фазе при ϕ ≠ϕбр .
При этом сложно добиться больших значений углов,			так как при	n2 <1 (к примеру,
				n
				1
стекло-воздух: ϕбр < 45°)	sinϕ	= n2 = n <1, откуда	следует, что возможно такое
	sinψ	n1

значение угла, при котором sinψ >1, чего не может быть. Следовательно, должно выполняться условие sinψ > n , что возможно, когда n <1, т.е. когда свет идет из более преломляющей среды в среду с меньшим показателем преломления.

Угол ϕ такой, что sinϕ = n называется критическим (предельным). При этом sinψ =1.

При выполнении условий, что преломленной волны не будет, и весь свет отразится в первую среду, угол ϕ называется углом полного внутреннего отражения.

sinψ → sinnϕ

cosψ → ±

−

sin2

sinϕ

sin2

>1, т.е. cosψ

= ±i

sin2

−1

Значение

cosψ = +i

sin2

−1 отпадает, т.к. при

удалении

амплитуда бесконечно

возрастает, что физически невозможно.

Комплексное выражение для амплитуд r и t

означает, что амплитуды отличаются еще

и по фазе.

Er||

sinϕcosϕ −sinψ cosψ

= −

sinϕcosψ −sinψ cosϕ

sinϕcosϕ +sinψ cosψ

sinϕcosψ +sinψ cosϕ

i||

Рассмотрим два возможных случая:

а)

r||

2 =

2 ,

2 +

2 =

r||

2 +

i||

следовательно, в этом случае интенсивности отраженного и падающего света

равны, т.к.

(ψ

)

Er||

sinϕcosϕ

=1,

= −

−cosϕ

=1,

= 1

sinϕcosϕ

cosϕ

= 1,5

i||

т.е. падающая волна отражается всегда.

б) Компоненты Er и Er|| испытывают изменение фазы по отношению к Ei и Ei|| .

Обозначим через δ и δ\|\|		перпендикулярную и параллельную составляющую
разницы фаз соответственно. Но отличается от δ\|\| , поэтому
tg	1	(δ	\|\|	−δ		) =	cosϕ sin2 ϕ − n2
	2						sin2 ϕ

Следовательно, если sin ϕ = n ,		то		tg	1	(δ\|\| −δ ) = 0 , т.е. сдвиг фаз равен нулю, и
					2

плоскополяризованный свет остается плоскополяризованным, не переходя в эллиптическиполяризованный.

Эллиптическая поляризация возникает (sinϕ = n) при δ|| −δ = 45°.

Двукратное полное внутреннее отражение под углом 45° в стекле дает изменение фазы

на

, т.е. аналогично действию пластинки толщиной λ .

ϕ ϕ

Если Ei|| = Ei , то

Er||

, и, т.к. δ|| −δ =

, то свет

ϕ = 54°37′

получается поляризованным по кругу.

n =1,

Параллелепипед

Френеля

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.03.2015833.54 Кб19ОТВЕТЫ 1-15.doc
#
07.03.2015489.47 Кб11Ответы на Вопросы для подготовки 5курс Щебнев.doc
#
07.03.2015378.97 Кб10Ответы на Вопросы для подготовки 5курс Щебнев.docx
#
07.03.2015376.35 Кб3Ответы на Вопросы для подготовки 5курс Щебнев.docx
#
07.03.2015327.95 Кб22ответы на экзамен ТЕОРИЯ.docx
#
07.03.2015261.83 Кб18Отражение_и_преломление_электро-магнитных_волн.pdf
#
07.03.2015386.56 Кб23отчет - копия.doc
#
07.03.201517.3 Mб57отчет готов.doc
#
07.03.2015145.41 Кб10ОТЧЕТ об изменениях капитала.2014.doc
#
07.03.2015289.28 Кб20отчет по практике (ИЭК).doc
#
07.03.20156.99 Mб90Отчет по практике.doc